2019-2020学年江苏省扬州市广陵区树人中学九年级(上)期中数学试卷

2019-2020学年江苏省扬州市广陵区树人中学九年级（上）期中
数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）若2x =是关于x 的一元二次方程280x mx -+=的一个解．则m 的值是( )
A ．6
B ．5
C ．2
D ．6-
2．（3分）用配方法解方程2450x x --=时，原方程应变形为( )
A ．2(1)6x +=
B ．2(2)9x +=
C ．2(1)6x -=
D ．2(2)9x -=
3．（3分）对甲乙两同学100米短跑进行5次测试，他们的成绩通过计算得：x x =乙甲，2_S 甲，2_S 乙，下列说法正确的是( )
A ．甲短跑成绩比乙好
B ．乙短跑成绩比甲好
C ．甲比乙短跑成绩稳定
D ．乙比甲短跑成绩稳定 4．（3分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若3a =，4b =，则sin B 的值为( )
A ．45
B ．35
C ．34
D ．43
5．（3分）下列有关圆的一些结论，其中正确的是( )
A ．任意三点可以确定一个圆
B ．相等的圆心角所对的弧相等
C ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D ．圆内接四边形对角互补
6．（3分）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =，tan 2B =，则AC 的长为( )
A ．1
B ．2
C ．5
D ．25
7．（3分）如图，A 、B 、C 在O 上，50A ∠=︒，则OBC ∠的度数是( )
A ．50︒
B ．40︒
C ．100︒
D ．80︒
8．（3分）如图，在半圆O 中，直径4AB =，点C 、D 是半圆上两点，且84BOC ∠=︒，
36BOD ∠=︒，P 为直径上一点，则PC PD +的最小值为( )
A ．4
B ．23
C ．22
D ．2
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
9．（3分）数据18，24，28，30，33，26的中位数是 ．
10．（3分）已知圆锥的底面半径为3，母线长为7，则圆锥的侧面积是 ．
11．（3分）已知扇形所在圆的半径为6，所对的弧长为4π，则扇形的面积为 ．
12．（3分）已知a 为锐角，且满足tan(10)3a +︒=，则a 为 度．
13．（3分）在ABC ∆中，sin 0.5|tan 3|0A B -+-=，则ABC ∆是 三角形．
14．（3分）如图，直线PA 、PB 、MN 分别与O 相切于点A 、B 、D ，8PA PB cm ==，
PMN ∆的周长是 ．
15．（3分）若一元二次方程2450mx x ++=有两个不相等实数根，则m 的取值范围 ．
16．（3分）已知a 、b 是方程22210x x --=的两个根，则223a a b ++的值是 ．
17．（3分）如图，AB 是O 的一条弦，点C 是O 上一动点，且30ACB ∠=︒，点E 、F 分别是AC 、BC 的中点，直线EF 与O 交于G 、H 两点，若O 的半径为8，则GE FH +的最大值为 ．
18．（3分）如图，将边长为8的正方形纸片ABCD 沿着EF 折叠，使点C 落在AB 边的中点
M 处．点D 落在点D '处，MD '与AD 交于点G ，则AMG ∆的内切圆半径的长为 ．
三、解答题（共10小题，满分0分）
19．计算：
（1）2sin303cos604tan45︒+︒-︒
（2）2tan 6042sin30cos45︒+︒︒
20．解下列方程：
（1）(4)3(4)x x x +=-+；
（2）(21)(3)6x x +-=-．
21．某校初三（1）班部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题．
（1）初三（1）班接受调查的同学共有多少名？
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育活动C ”所对应的圆心角度．
22．甲、乙两个袋中均有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标的数
值分别为7-，1-，3，乙袋中的三张卡片上所标的数值分别为2-，1，6．先从甲袋中随机取出一张卡片，用x 表示取出的卡片上标的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y
表示取出的卡片上标的数值，把x 、y 分别作为点A 的横坐标、纵坐标．
（1）用适当的方法写出点(,)A x y 的所有情况；
（2）求点A 落在第二象限的概率．
23．已知关于x 的一元二次方程2(2)20x m x m -++=．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根为1，求方程的另一个根．
24．商场销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元；为扩大销售，增加盈利，
减少库存，商场决定采取适当降价措施．在试销期间发现，当每件商品售价每降价1元时，商场平均每天可多销售2件．据此规律，若商场每天要盈利1200元，每件商品售价应降价多少元？
25．如图，BE 是O 的直径，点A 在EB 的延长线上，弦PD BE ⊥，垂足为C ，连接OD ，
AOD APC ∠=∠．
（1）求证：AP 是O 的切线．
（2）若O 的半径是4，43AP =，求图中阴影部分的面积．
26．如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 与O 相交于点D ，点E 在O 上，
且DE DA =，AE 与BC 交于点F ．
（1）求证：FD CD =；
（2）若8AE =，3tan 4
E ∠=，求O 的半径．
27．等腰ABC ∆的直角边10AB BC cm ==，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，均以1/cm 秒的相同速度作直线运动，已知P 沿射线AB 运动，Q 沿边BC 的延长线运动，PQ 与直线
AC 相交于点D ．设P 点运动时间为t ，PCQ ∆的面积为S ．
（1）求出S 关于t 的函数关系式；
（2）当点P 运动几秒时，PCQ ABC S S ∆∆=？
（3）作PE AC ⊥于点E ，当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度是否改变？证明你的结论．
28．在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：若点P 在图形M 上，点Q 在图形N 上，称线段PQ 长度的最小值为图形M ，N 的密距，记为(,)d M N ，特别地，若图形M ，N 有公共点，规定(,)0d M N =
（1）如图1．的半径为2，
①点(0,1)A ，(4,3)B ，则(,)d A O = ，(,)d B O = ；
②已知直线3:4L y x b =+与O 的密距6(,)5
d L O =．求b 的值； （2）如图2，C 为x 轴正半轴上一点，C 的半径为1，直线343y x =-
+与x 轴交于点D ，
与y 轴交于点E ，直线DE 与C 的密距1(,)2
d DE C ，请直接写出圆心C 的横坐标m 的取值范围．
2019-2020学年江苏省扬州市广陵区树人中学九年级（上）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）若2x =是关于x 的一元二次方程280x mx -+=的一个解．则m 的值是( )
A ．6
B ．5
C ．2
D ．6-
【分析】先把x 的值代入方程即可得到一个关于m 的方程，解一元一方程即可．
【解答】解：把2x =代入方程得：4280m -+=，
解得6m =．
故选：A ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，此题比较简单，易于掌握．
2．（3分）用配方法解方程2450x x --=时，原方程应变形为( )
A ．2(1)6x +=
B ．2(2)9x +=
C ．2(1)6x -=
D ．2(2)9x -=
【分析】把常数项5-移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4-的一半的平方．
【解答】解：由原方程移项，得
245x x -=，
等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得
24454x x -+=+，
配方得2(2)9x -=．
故选：D ．
【点评】本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍
数．
3．（3分）对甲乙两同学100米短跑进行5次测试，他们的成绩通过计算得：x x =乙甲，
2_S 甲，2_S 乙，下列说法正确的是( )
A ．甲短跑成绩比乙好
B ．乙短跑成绩比甲好
C ．甲比乙短跑成绩稳定
D ．乙比甲短跑成绩稳定 【分析】根据方差的意义：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．观察数据可知甲队的方差小，故甲比乙短跑成绩稳定．
【解答】解：22S S <乙甲，
∴甲比乙短跑成绩稳定．
故选：C ．
【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n 个数据，1x ，2x ，n x ⋯的平均数为x ，则方差2222121[()()()n S x x x x x x n
=-+-+⋯+-，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
4．（3分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若3a =，4b =，则sin B 的值为( )
A ．45
B ．35
C ．34
D ．43
【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：由勾股定理可知：5c =，
4sin 5
b B
c ∴==， 故选：A ．
【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
5．（3分）下列有关圆的一些结论，其中正确的是( )
A ．任意三点可以确定一个圆
B ．相等的圆心角所对的弧相等
C ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D ．圆内接四边形对角互补
【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质进行判断即可得到正确结论．
【解答】解：A 、不共线的三点确定一个圆，故本选项不符合题意；
B 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不符合题意；
C 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项不符合题意；
D 、圆内接四边形对角互补，故本选项符合题意．
故选：D ．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，半圆与弧的定义，圆内接四边形的性质，熟练掌握定义与性质是解题的关键．
6．（3分）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =，tan 2B =，则AC 的长为( )
A ．1
B ．2
C ．5
D ．25
【分析】根据正切的定义得到12
BC AC =，根据勾股定理列式计算即可． 【解答】解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，tan 2B =，
∴2AC BC
=， 12BC AC ∴=
， 由勾股定理得，222AB AC BC =+，即2221(5)()2
AC AC =+， 解得，2AC =，
故选：B ．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做A ∠的正切是解题的关键．
7．（3分）如图，A 、B 、C 在O 上，50A ∠=︒，则OBC ∠的度数是( )
A ．50︒
B ．40︒
C ．100︒
D ．80︒
【分析】根据圆周角定理可得100BOC ∠=︒，然后根据BO CO =可得OBC OCB ∠=∠，进而可利用三角形内角和定理可得答案．
【解答】解：50BAC ∠=︒，
100BOC ∴∠=︒，
BO CO
=，
∴∠=︒-︒÷=︒，
(180100)240
OBC
故选：B．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．（3分）如图，在半圆O中，直径4
AB=，点C、D是半圆上两点，且84
BOC
∠=︒，
+的最小值为()
∠=︒，P为直径上一点，则PC PD
BOD
36
A．4B．23C．22D．2
【分析】作点D关于AB的对称点DE，连接CD，交AB于点P，根据题意得出
⊥，垂足为F，根据等腰三角形的性质得出30
∠=︒，
C ∠=︒，过点O作OF CE
120
COE
由直角三角形的性质以及勾股定理得出CF，即可得出CE，PC PD
+的最小值即为CE的长．
【解答】解：作点D关于AB的对称点DE，连接CE，交AB于点P，
过点O作OF CE
⊥，垂足为F，
∠=︒，
BOD
∠=︒，36
84
BOC
∠=︒，
COE
BOE
∴∠=︒，120
36
∴∠=︒，
30
C
AB=，
4
∴=，
OC
2
CF=
1
∴=，3
OF
∴=，
CE
23
∴+的最小值为23
PC PD
故选：B．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦以及最短路径问题，掌握勾股定理、垂径定理以及轴对
称是解题的关键．
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
9．（3分）数据18，24，28，30，33，26的中位数是 27 ．
【分析】将这组数据按从小到大的顺序排列后，最中间两个数的平均数就是这组数据的中位数．
【解答】解：从小到大的排列这组数为：18，24，26，28，30，33，
中位数为：(2826)227+÷=．
故答案为27．
【点评】本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
10．（3分）已知圆锥的底面半径为3，母线长为7，则圆锥的侧面积是 21π ．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【解答】解：圆锥的侧面积1237212
ππ=⨯⨯⨯=． 故答案为21π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
11．（3分）已知扇形所在圆的半径为6，所对的弧长为4π，则扇形的面积为 12π ．
【分析】直接根据扇形的面积公式12
S lR =扇形进行计算即可． 【解答】解：根据扇形的面积公式，得
11461222
S lR ππ==⨯⨯=扇形． 故答案为：12π．
【点评】本题考查了扇形面积的计算．熟记公式是解题的关键．
12．（3分）已知a 为锐角，且满足tan(10)3a +︒=，则a 为 50 度． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而得出答案．
【解答】解：tan(10)3a +︒=，
1060α∴+︒=︒，
故50α=︒．
故答案为：50．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
13．（3分）在ABC ∆中，sin 0.5|tan 3|0A B -+-=，则ABC ∆是 直角 三角形．
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性得出sin 0.50A -=，tan 30B -=，根据特殊角的三角函数值求出A ∠、B ∠的度数，再根据三角形的内角和定理求出C ∠，即可得出答案．
【解答】解：在ABC ∆中，sin 0.5|tan 3|0A B -+-=，
sin 0.50A ∴-=，tan 30B -=，
1sin 2
A ∴=，tan 3
B =， 30A ∴∠=︒，60B ∠=︒，
90C ∴∠=︒，
ABC ∴∆是直角三角形，
故答案为：直角．
【点评】本题考查了直角三角形的判定三角形的内角和定理，算术平方根和绝对值的非负性，特殊角的三角函数值等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．
14．（3分）如图，直线PA 、PB 、MN 分别与O 相切于点A 、B 、D ，8PA PB cm ==，
PMN ∆的周长是 16cm ．
【分析】根据切线长定理得MA MD =，ND NB =，然后根据三角形周长的定义进行计算．
【解答】解：直线PA 、PB 、MN 分别与O 相切于点A 、B 、D ，
MA MD ∴=，ND NB =，
PMN ∴∆的周长8816()PM PN MD ND PM MA PN NB PA PB cm =+++=+++=+=+=． 故答案为16cm ．
【点评】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和
这一点的连线，平分两条切线的夹角．
15．（3分）若一元二次方程2450mx x ++=有两个不相等实数根，则m 的取值范围 45
m <
且0m ≠ ．
【分析】由一元二次方程2450mx x ++=有两个不相等实数根，可得△240b ac =->且
0m ≠，解此不等式组即可求得答案． 【解答】解：一元二次方程2450mx x ++=有两个不相等实数根，
∴△22444516200b ac m m =-=-⨯⨯=->， 解得：45
m <
， 0m ≠， m ∴的取值范围为：45
m < 且0m ≠． 故答案为：45
m < 且0m ≠． 【点评】此题考查了根的判别式．注意△0>⇔方程有两个不相等的实数根．
16．（3分）已知a 、b 是方程22210x x --=的两个根，则223a a b ++的值是 4 ．
【分析】欲求223a a b ++的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【解答】解：由题意知1a b +=，12
ab =-，22210a a --=，即2221a a =+， 2232133()13114a a b a a b a b ∴++=+++=++=⨯+=．
故答案为：4．
【点评】本题考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，难度适中，关键掌握用根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题．
17．（3分）如图，AB 是O 的一条弦，点C 是O 上一动点，且30ACB ∠=︒，点E 、F 分别是AC 、BC 的中点，直线EF 与O 交于G 、H 两点，若O 的半径为8，则GE FH +的最大值为 12 ．
【分析】首先连接OA 、OB ，
根据圆周角定理，求出260AOB ACB ∠=∠=︒，进而判断出AOB ∆为等边三角形；然后根据O 的半径为8，可得8AB OA OB ===，再根据三角形的中位线定理，求出EF 的长度；最后判断出当弦GH 是圆的直径时，它的值最大，进而求出GE FH +的最大值是多少即可．
【解答】解：如图1，连接OA 、OB ，
，
30ACB ∠=︒，
260AOB ACB ∴∠=∠=︒，
OA OB =，
AOB ∴∆为等边三角形， O 的半径为8，
8AB OA OB ∴===，
点E ，F 分别是AC 、BC 的中点，
142
EF AB ∴==， 要求GE FH +的最大值，即求GE FH EF ++（弦)GH 的最大值，
当弦GH 是圆的直径时，它的最大值为：8216⨯=，
GE FH ∴+的最大值为：16412-=．
故答案为：12．
【点评】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度．确定GH 的位置是解题的关键．
18．（3分）如图，将边长为8的正方形纸片ABCD 沿着EF 折叠，使点C 落在AB 边的中点
M 处．点D 落在点D '处，MD '与AD 交于点G ，则AMG ∆的内切圆半径的长为 43
．
【分析】由勾股定理可求5ME =，3BE =，通过证明AMG BEM ∆∆∽，可得163
AG =，203GM =，即可求解． 【解答】解：将边长为8的正方形纸片ABCD 沿着EF 折叠，使点C 落在AB 边的中点M 处．
ME CE ∴=，142
MB AB AM ===，90D ME C '∠=∠=︒， 在Rt MBE ∆中，222ME MB BE =+，
2216(8)ME ME ∴=+-，
5ME ∴=
3BE ∴=，
90D ME DAB B '∠=∠=︒=∠
90EMB BEM ∴∠+∠=︒，90EMB AMD '∠+∠=︒
AMD BEM '∴∠=∠，且90GAM B ∠=∠=︒
AMG BEM ∴∆∆∽ ∴AM AG GM BE MB ME == ∴4345
AG GM == 163AG ∴=，203
GM = AMG ∴∆的内切圆半径的长423AG AM GM +-=
= 故答案为：43
【点评】本题考查了三角形内切圆和内心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质求AG ，GM 的长度是本题的关键．
三、解答题（共10小题，满分0分）
19．计算：
（1）2sin303cos604tan45︒+︒-︒
（2）2tan 6042cos45︒+︒︒
【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值；
（2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式1132341222
=⨯+⨯-⨯=-； （2）原式1234232522
=+⨯=+=． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．解下列方程：
（1）(4)3(4)x x x +=-+；
（2）(21)(3)6x x +-=-．
【分析】（1）移项后，方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为
0转化为两个一元一次方程来求解；
（2）首先把括号去掉得到22530x x -+=，然后分解因式得到(1)(23)0x x --=，再解两个
一元一次方程即可．
【解答】解：（1）(4)3(4)x x x +=-+；
(4)3(4)0x x x +++=
(4)(3)0x x ++=，
40x ∴+=，30x +=，
14x ∴=-，23x =-；
（2）(21)(3)6
x x
+-=-，25360
x x
∴--+=，
2530
x x
∴-+=，
1)(23)0
x x
∴--=，
11
x
∴=，
23 2
x=．
【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
21．某校初三（1）班部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题．
（1）初三（1）班接受调查的同学共有多少名？
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育活动C”所对应的圆心角度．
【分析】（1）用总人数减去其它减压方式的人数，求出听音乐的人数；
（2）从而补全条形统计图，用360︒乘以“体育活动C”所所占的百分比即可；
【解答】解：（1）由题意可得初三（1）班接受调查的同学共有：1020%50
÷=名；
（2）听音乐的人数为：5010155812
----=名，补图如下：
“体育活动C ”所对应的圆心角度数：1536010850
︒⨯=︒． 【点评】此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．甲、乙两个袋中均有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标的数
值分别为7-，1-，3，乙袋中的三张卡片上所标的数值分别为2-，1，6．先从甲袋中随机取出一张卡片，用x 表示取出的卡片上标的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y 表示取出的卡片上标的数值，把x 、y 分别作为点A 的横坐标、纵坐标．
（1）用适当的方法写出点(,)A x y 的所有情况；
（2）求点A 落在第二象限的概率．
【分析】（1）根据取卡的方式，列表解答即可；
（2）点A 落在第二象限（事件)A 共有(7,1)-、(1,1)-、(7,6)-、(1,6)-四种情况，然后根
据概率公式解答．
【解答】解：（1）用列表法： 7- 1-
3 2- (7,2)-- (1,2)--
(3,2)- 1 (7,1)- (1,1)-
(3,1) 6 (7,6)-
(1,6)- (3,6) 可知，点A 共有9种情况．
（2）由（1）知点A 的坐标共有9种等可能的情况，点A 落在第二象限（事件)A 共有(7,1)-、
(1,1)-、(7,6)-、(1,6)-四种情况．
所以P （A ）49
=． 【点评】本题考查了列表法与树状图，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相
同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）m n =
． 23．已知关于x 的一元二次方程2(2)20x m x m -++=．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根为1，求方程的另一个根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△2(2)0m =-，由此即可证出方程
总有两个实数根；
（2）将1x =代入原方程求出m 值，再将m 的值代入原方程求出方程的解，此题得解．
【解答】（1）证明：△2222[(2)]41244844(2)m m m m m m m m =-+-⨯⨯=++-=-+=-． 2(2)0m -，即△0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：将1x =代入方程，
1(2)20m m -++=，
解得：1m =．
∴原方程为232(1)(2)0x x x x -+=--=，
解得：11x =，22x =．
∴另一个根为2．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记
“当△0时，方程有两个实数根”；（2）将1x =代入原方程求出m 值．
24．商场销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元；为扩大销售，增加盈利，
减少库存，商场决定采取适当降价措施．在试销期间发现，当每件商品售价每降价1元时，商场平均每天可多销售2件．据此规律，若商场每天要盈利1200元，每件商品售价应降价多少元？
【分析】设每件降价x 元，那么就多卖出2x 件，根据扩大销售量，增加盈利，尽快减少库
存，每天盈利1200元，可列方程求解即可．
【解答】解：设每件商品降价x 元
由题意得：(40)(202)1200x x -+=
整理得：2302000x x -+=
解得120x = 210x =
增加盈利，减少库存，
20x ∴=
答：每件商品应降价20元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到关键描述语，找到等量关系，
然后准确的列出方程是解决问题的关键．最后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
25．如图，BE 是O 的直径，点A 在EB 的延长线上，弦PD BE ⊥，垂足为C ，连接OD ，
AOD APC ∠=∠．
（1）求证：AP 是O 的切线．
（2）若O 的半径是4，43AP =，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OP ，如图，利用等腰三角形的性质由OD OP =得到OPD ODP ∠=∠，而
APC AOD ∠=∠，则OPD APC ODP AOD ∠+∠=∠+∠，由于90ODP AOD ∠+∠=︒，易得90APO ∠=︒，于是根据切线的判定定理即可得到AP 是O 的切线；
（2）在Rt APO ∆中，利用勾股定理计算出，8AO =，即12
PO AO =，则30A ∠=︒，可计算出60POA ∠=︒，30OPC ∠=︒，再利用垂径定理PC CD =，且120POD ∠=︒，122
OC PO ==，接着在Rt OPC ∆中计算出23PC =243PD PC ==扇形面积公式和OPD OPBD S S S ∆=-阴影扇形进行计算即可．
【解答】（1）证明：连接OP ，如图，
OD OP =，
OPD ODP ∴∠=∠，
APC AOD ∠=∠，
OPD APC ODP AOD ∴∠+∠=∠+∠，
又PD BE ⊥，
90ODP AOD ∴∠+∠=︒，
90OPD APC ∴∠+∠=︒，
即90APO ∠=︒，
OP AP ∴⊥，
AP ∴是O 的切线；
（2）解：在Rt APO ∆中， 43AP =，4PO =，
228AO AP PO ∴=+=，即12
PO AO =
， 30A ∴∠=︒，
60POA ∴∠=︒，
30OPC ∴∠=︒ 又PD BE ⊥，
PC CD ∴=，
120POD ∴∠=︒，122
OC PO ==， 在Rt OPC ∆中，2OC =，4OP =，
2223PC OP OC ∴=-=，
243PD PC ∴==，
OPD OPBD S S S ∆∴=-阴影扇形
2120144323602π=
-⨯⨯ 16433
π=-．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在
判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了垂径定理和扇形的面积公式．
26．如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 与O 相交于点D ，点E 在O 上，
且DE DA =，AE 与BC 交于点F ．
（1）求证：FD CD =；
（2）若8AE =，3tan 4
E ∠=，求O 的半径．
【分析】（1）先利用切线的性质得出90CAD BAD ∠+∠=︒，再利用直径所对的圆周角是直
角得出90B BAD ∠+∠=︒，从而可证明B EAD ∠=∠，进而得出EAD CAD ∠=∠，进而判断出ADF ADC ∆≅∆，即可得出结论；
（2）过点D 作DG AE ⊥，垂足为G ．依据等腰三角形的性质可得到4EG AG ==，然后在
Rt GEG ∆中，依据锐角三角函数的定义可得到DG 的长，然后依据勾股定理可得到5AD ED ==，然后在Rt ABD ∆中，依据锐角三角函数的定义可求得AB 的长，从而可求得O 的半径的长．
【解答】解：（1）
AC 是O 的切线，
BA AC ∴⊥， 90CAD BAD ∴∠+∠=︒， AB 是O 的直径，
90ADB ∴∠=︒，
90B BAD ∴∠+∠=︒，
CAD B ∴∠=∠，
DA DE =，
EAD E ∴∠=∠，
又B E ∠=∠，
B EAD ∴∠=∠，
EAD CAD ∴∠=∠，
在ADF ∆和ADC ∆中，90ADF ADC ∠=∠=︒，AD AD =，FAD CAD ∠=∠，
ADF ADC ∴∆≅∆，
FD CD ∴=．
（2）如下图所示：过点D 作DG AE ⊥，垂足为G ．
DE AE =，DG AE ⊥，
142EG AG AE ∴==
=． 3tan 4E ∠=
， ∴34GD EG =，即344
GD =，解得4DG =． 225ED EG GD ∴=+=．
B E ∠=∠，3tan 4E ∠=
， 3sin 5AD GD B AB ED ∴∠===，即535AB =，解得253
AB =． O ∴的半径为
256． 【点评】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆的性质，全等三角形的判定和性质，
利用等式的性质 和同角的余角相等判断角相等是解本题的关键．
27．等腰ABC ∆的直角边10AB BC cm ==，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，均以1/cm 秒的相同速度作直线运动，已知P 沿射线AB 运动，Q 沿边BC 的延长线运动，PQ 与直线AC 相交于点D ．设P 点运动时间为t ，PCQ ∆的面积为S ．
（1）求出S 关于t 的函数关系式；
（2）当点P 运动几秒时，PCQ ABC S S ∆∆=？
（3）作PE AC ⊥于点E ，当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度是否改变？证明你的结论．
【分析】由题可以看出P 沿AB 向右运动，Q 沿BC 向上运动，且速度都为1/cm s ，
12
S QC PB =⨯，所以求出QC 、PB 与t 的关系式就可得出S 与t 的关系，另外应注意P 点的运动轨迹，它不仅在B 点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．
【解答】解：（1）当10t <秒时，P 在线段AB 上，此时CQ t =，10PB t =- ∴211(10)(10)22
s t t t t =⨯⨯-=- 当10t >秒时，P 在线段AB 得延长线上，此时CQ t =，10PB t =- ∴211(10)(10)22
s t t t t =⨯⨯-=-（4分）
（2）1502
ABC S AB BC ∆==（5分） ∴当10t <秒时，21(10)502PCQ S t t ∆=
-= 整理得2101000t t -+=无解（6分）
当10t >秒时，21(10)502
PCQ S t t ∆=-= 整理得2101000t t --=解得555t =±（7分）
∴当点P 运动555+PCQ ABC S S ∆∆=（8分）
（3）当点P 、Q 运动时，线段DE 的长度不会改变．
证明：过Q 作QM AC ⊥，交直线AC 于点M
易证APE QCM ∆≅∆，
2AE PE CM QM ∴====，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．
又10252
EM AC DE
==∴=
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
同理，当点P在点B右侧时，52
DE=
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
【点评】做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解．
28．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为(,)
d M N，特别地，若图形M，N有公共点，规定(,)0
d M N=
（1）如图1．的半径为2，
①点(0,1)
A，(4,3)
B，则(,)
d A O=1，(,)
d B O=；
②已知直线
3
:
4
L y x b
=+与O的密距
6
(,)
5
d L O=．求b的值；
（2）如图2，C为x轴正半轴上一点，C的半径为1，直线
343
y x
=与x轴交于点
D，与y轴交于点E，直线DE与C的密距
1
(,)
2
d DE C，请直接写出圆心C的横坐标m
的取值范围．
【分析】（1）①连接OB，如图1①，求出OA、OB即可解决问题；
②设直线
3
:
4
l y x b
=+与x轴、y轴分别交于点P、Q，过点O作OH PQ
⊥于H，设OH与
O交于点G，如图1②，可用面积法求出OH，然后根据条件建立关于b的方程，然后解这个方程就可解决问题；
（2）过点C作CN DE
⊥于N，如图2．易求出点D、E的坐标，从而可得到OD、OE，然后运用三角函数可求出ODE
∠，然后分三种情况(①点C在点D的左边，②点C与点D重合，③点C在点D的右边）讨论，就可解决问题．
【解答】解：（1）①连接OB，过点B作BT x
⊥轴于T，如图1①，
O的半径为2，点(0,1)
A，
(,)211
d A O
∴=-=．
(4,3)
B，
22
435
OB
∴=+，
(,)523
d B O
∴=-=．
故答案为1，3；
②设直线3:4l y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点P 、Q ，过点O 作OH PQ ⊥于H ，设OH 与O 交于点G ，如图1②，
4(3
P b ∴-，0)，(0,)Q b ， 4||3
OP b ∴=，||OQ b =， 5||3
PQ b ∴=． 1122
OPQ S OP OQ PQ OH ∆==， 4||5
OP OQ OH b PQ ∴==． 直线3:4l y x b =+与O 的密距6(,)5
d l O =， ∴4616||2555
b =+=， 4b ∴=±；
（2）过点C 作CN DE ⊥于N ，如图2．
点D 、E 分别是直线y x =与x 轴、y 轴的交点，
(4,0)D ∴，E ，
4OD ∴=，OE =
tan OE ODE OD ∴∠==， 30ODE ∴∠=︒．
①当点C 在点D 左边时，4m <．
OC m =，
4CD m ∴=-，
11sin (4)222
CN CD CDN m m ∴=∠=-=-． 线段DE 与C 的密距1(,)
2d DE C ， 1102122m ∴<-+， 14m ∴<；
②当点C 与点D 重合时，4m =．
此时(,)0d DE C =． ③当点C 在点D 的右边时，4m >．
线段DE 与C 的密距1(,)2d DE C ， ∴
11122CD -， ∴11(4)122
m -+， 7m ∴
47m ∴<．
综上所述：17m ．
【点评】本题是圆的综合问题，属于新定义型，主要考查了直线上点的坐标特征、勾股定理、三角函数、三角形的面积公式等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．。