专题14指数函数 高中数学黄金100题系列(解析)含答案

I ．题源探究·黄金母题

【例1】对于函数2

()()21

x f x a a =-

∈+R ： （1）探索函数()f x 的单调性；

（2）是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数？ 【解析】（1）2

21

()x f x a -

+=在(,)x ∈-∞+∞上是增函数． 证明：任取12,(,)x x ∈-∞+∞，且12x x <，

12()()f x f x －＝12

222121x x a a --+++ ＝1222+x －122

1+x ＝)12)(12()22(21221++-x x x x ． 因为12,(,)x x ∈-∞+∞，所以21210,210x x +>+>．

又因为12x x <，所以2122x x <，即12220x x -<，所以12()()0f x f x <－，即

12()()f x f x <，

所以函数2

21

()x f x a -

+=在(,)-∞+∞上是增函数． （2）假设存在实数a 使()f x 为奇函数,则()f x -＋()f x ＝0，即

2202121x x a a --+-=++，所以11

2121x x

a -=+++＝2112121

x x x +=++， 即存在实数1a =使1

(1

)2x f x --

=+为奇函数． II ．考场精彩·真题回放

【例2】【2015高考山东文】若函数21

()2x x f x a

+=-是奇函数，则使()3f x >成立的x 的取值

范围为（ ）

A ．(,1)-∞-

B ．(1,0)-

C ．(0,1)

D ．(1,)+∞ 【答案】C

【解析】由题意()()f x f x =--，即2121

,22x x x x a a --++=---所以，(1)(21)0x a -+=，解得1a =，

所以21()21x x f x +=-，于是由不等式21

()321

x x f x +=>-，得122x <<，解得01x <<，故选C ．

【例3】【2015高考天津理】已知定义在R 上的函数||

()2

1x m f x -=-（m 为实数）为偶函数,

记0.5(log 3),a f 2b (log 5),c

(2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）

A ．b c a

B ．b c a

C ．b a

c D ．b c a

【答案】B

【解析】因为||

()2

x m f x -=为偶函数，所以由()()f x f x -=，得||||22x m x m ---=，所以

||||x m x m +=-，

解得0m =，所以0.5|log 3|212a =-=，2|log 5|

214b =-=，0210c =-=．又||()2x f x =在[0,)+∞为增函数，所以c a b <<，故选B ．

【例4】【2016高考四川理】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ） （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年 【答案】B

【解析】设第n 年的研发投资资金为n a ，又1130a =，则1

130 1.12n n a -=⨯．由题意，需

1130 1.12200n n a -=⨯≥，解得5n ≥，故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200

万，故选B ．

精彩解读

【试题来源】人教版A 版必修一83页B 组第34题

【母题评析】本题以指数型函数为载体，考查函数的奇偶性与单调性问题．此类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式之一，达到考查运算能力、分析与探究问题的能力、逆向思维能力的目的．

【思路方法】考察指数型函数与对数型函数的奇偶性单调性通常有两种常规方法解决：一是利用定义来解决；二是利用函数单调性与奇偶性间的运算性质解决．已知性质求相关的参数问题通常要建立方程来解决．

【命题意图】本类题考查指数函数的奇偶性与单调性的应用．

【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等，往往以考查指数运算构成的指数型函数奇偶性、指数函数单调性的应用、指数函数的图象、

在实际生活中的应用．

【难点中心】（1）处理含有参数的指数型函数的单调性与奇偶性时，常常要运用逆向思维的方法，体现待定系数法的应用；（2）应用指数函数的图象时，常常涉及不太规范的指数型函数的图象，其作法可能较难；（3）解决指数不等式问题的方法就是化为同底的指数或对数的形式，再利用函数的单调性转化为熟悉的代数不等式求解；（4）在实际生活中的应用时如何建立与指数相关的函数模型，也是相对较难．

III ．理论基础·解题原理

考点一 指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且n ∈N *

．负

数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ．

当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩

⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n

n

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定： （1）)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n

m

；

（2）)1,,,0(1

1*>∈>=

=

-

n N n m a a a

a

n

m

n

m n

m

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 3．实数指数幂的运算性质

①r s r s a a a +⋅= (0,,)a r s >∈R ； ②()r s

rs

a a = (0,,)a r s >∈R ； ③()r

r r

ab a b = (0,,)a r s >∈R ．

考点二 指数函数的定义

一般地，函数x

y a =（0a >，且1a ≠）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域为R ．

考点三 指数函数图象与性质