最佳(MMSE)滤波

线性均方误差估计 一般化问题模型
N
yˆ(n) = ck (n)xk (n) k 1
期望信号 待估计参数
时间下标
不同参数，不同观测信 观测信号号
对非时变系统
共轭转置
N
yˆ(n) = ck* xk (n) cH x(n) k 1
注意和书(6.2.1)-(6.2.4)的比较
c

cc12** M
最佳(MMSE)线性滤波
最小均方误差估计 线性预测
MMSE滤波器设计
随机信号作为滤波器的输入(p.107-111)
传统滤波器:低通,高通,带通, 带阻对信号的不同频率分量进 行取舍 传统滤波器在很多应用场合不 符合实际需要
例子：信道均衡器设计
x1 a11 a12 L a1N y0 u1
x

x2


a21
a22
L
a2 N

Байду номын сангаас
y1


u2

M M M O M M M


xN aN1 aN 2 L aNN yN 1 uN
x = Ay u
x(n) = Ay(n) u(n)
通过对接收信号的线性组合，从x恢复出y
N 1
yˆ(n) = c(k)x(n k) k 0
滤波器设计的步骤：
确定估计器的实现结构：IIR，FIR 预先假设信号的统计特性（输入，噪声等）：独 立同分布输入 确定性能准则（目标函数），及其参数 确定优化方法：估计器系数的求解
最小均方误差准则
e(n) y(n) yˆ(n)
M 1
yˆ(n) = h(k)x(n k) k 0

Rx
(0)
Rx (1)

M
Rx* (1) L Rx (0) L
MO
Rx* (M Rx* (M
)
1)

hopt hopt
(0) (1)
M

M
ryx (0)


ryx M
(1)

Py cH d dH c cH Rc
E

y(n)
2

期望信号 平均功率
d E x(n) y (n)
观测信号和 期望信号的 互相关
E x(n)xH (n)
观测信号的 相关矩阵
滤波器系数求解
原则：

E

e(n)
2

0
c
矢量函数的求导
f (c)
Rx (M ) Rx (M 1) L R(0) hopt (M 1) ryx (M 1)
平稳过程的最佳有限冲激响应滤波－频率域解释
基于正交性原理
E[e(n)x* (n m)] 0

c1

f (c)
f (c) c


c1
M


f
(c)

cK
常用求导公式
(dH c) d c
(cH d) 0
c
(cH Rc) RT c* c
E

e(n)
2


Py

cH
d

dHc

cH
Rc
Rcopt d
可以证明，正交性原理和最小均方误 差是等价的
x, y 0
对于最小均方误差估计，当实现最佳估计时
x, e0 E{x( y xH c0 )} d - Rc0 0 xk , e0 E{x( y xH c0 )} d - Rc0 0
k 1,L , N
y
eopt
x2
x1 yˆ
MMSE参数估计主要结论
仅依赖于期望信号和输入数据 性能曲面是滤波器参数的二次函数，函数曲面是凸曲面， 且存在唯一全局最小点， 在偏离最佳估计系数时，所造成的超量误差只决定于输 入数据的相关矩阵。 正交性原理提供滤波器参数估计的直观解释和参数估计 途径 滤波器参数也可由相关矩阵的特征值和特征向量计算得 到。
N
yˆi (n) = ck xk (n) k 1
更一般化的信号估计问题：基于接收信号，构造一定结构的估计器， 从中恢复出期望的信号（又称信号估计问题）。
例子：信道均衡器设计
输入
H(z)
噪声 输出
信道模型：
L1
x(n) = h(k)y(n k) u(n) k 0
通过对接收信号不同时刻的线性组合，从x恢复出y


E

e(n)
2

c
Rcopt d 0
与6.2.11一致
min
E

e(n)
2


Py
(R1d)H
d
dH R1d

(R1d)H
R(R1d)

Py
dH R1d
正交性原理
随机矢量的内积定义为
x, y E{xy*}
正交：内积等于0
正交性原理：当实现最佳估计时，估 计误差与所采用的观测信号正交
期望信号
估计信号
5
4.5
|e|3 |e|2
4
|e|
3.5
实现最佳滤波的常用准 则：
min
E

e(n)
p

3
2.5 |e|0.5
2
1.5
1
0.5
最小均方误差线性估计：
0 -5
0
5
min
E

e(n)
2


E

y(n)

yˆ(n)
2

p 2 •导致简单的滤波器求解算法 •易于进行性能分析
平稳过程的最佳有限冲激响应滤波
考虑一般线性最优估计问题中只有一路观测信号，利用信号不同时 刻值的线性组合实现信号估计，考虑非时变问题
N
yˆ(n) = ck* (n)xk (n) k 1
M 1
yˆ(n) = ck x(n k) k 0
基于最小均方准则，可以得到
R hx opt ryx

c*N

x1
(n)

x(n)

x2 M
(n)

xN (n)
误差性能函数
min
E

e(n)
2


E

y(n)

yˆ (n)
2


E

y(n)

cH
x(n)
2

E {y(n) cH x(n)}{y(n) cH x(n)}
E {y(n) cH x(n)}{y (n) [cH x(n)]H }
E {y(n) cH x(n)}{y (n) xH (n)c}
E y(n) 2 cH E x(n)y (n) E y(n)xH (n) c cH E x(n)xH (n) c