2拉氏变换及其应用
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0 0 0
t
0
1
2
1
2
t
t时，f1 (t ) 1(t ) 0 f1 (t ) f 2 ( )d f1 (t ) 1(t ) f 2 ( )d
0 0 t
L[ f 1 (t ) f 2 ( ) 氏变换等于其象 函数除以 s n。
5、终值定理
原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。 证：由微分定理 L[ f (t )] f (t )e st dt sF ( s) f (0)
0
lim f ( t ) lim sF ( s ) t s0
L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0) s[ sF ( s) f (0)] f (0) s 2 F ( s) sf (0) f (0)
依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏 变换 L[ f n (t )] s n F (s) s n1 f (0) s n 2 f (0) f n 1(0)
L[af1(t ) bf 2 (t )] aL[ f1(t )] bL[ f 2 (t )]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的 拉氏变换之和。 2、比例定理
L[ Kf (t )] KF (s)
2-2 拉氏变换的运算定理
3、微分性质
若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。 零初始条件下 L[ f n (t )] s n F ( s)
f (t )dt f (t ) lim f (t ) f (0) 0
t
右边 lim [ sF ( s ) f (0)] lim sF ( s) f (0) lim f (t ) lim sF ( s )
t s 0 s 0 s 0
6、初值定理：
同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为
1 1 ( 1) 1 ( 2 ) L[ f (t )dt ] 2 F ( s ) 2 f (0) f (0) s s s 若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0
2
则有
1 L[ f (t )dt ] n F ( s ) s
拉式反变换——部分分式展开式的求法
M (s) b0 s b1s bm1s bm F ( s) n (m n) n 1 D(s) s a1s an1s an
m
m1
（1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s) 总能展开成 如下简单的部分分式之和
等式两边对s趋向于0取极限
注：若 t→∞ 时f(t)极 lim f (t ) 限 不存 t 在，则不能用终值 定理。如对正弦函 数和余弦函数就不 能应用终值定理。
左边 lim f (t )e
s 0 0 0 st
dt lim f (t )e st dt
0 s 0
0
9、卷积定理
两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个 象函数的乘积。 t 即 L[ f (t ) f ( )d ] F (s) F (s) 证明： L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] [ f1 (t ) f 2 ( )d ]e st dt
拉氏变换的定义式
f t F s Lf t 0 est dt
条件是式中等号右边的积分存在(收敛)。
由于是一个定积分， t将在新函数中消失。因此， F(s)只取决于s，它是复变数 s的函数。拉氏变换将 原来的实变量函数 f(t)转化为复变量函数F(s) 。 拉氏变换是一种单值变换。 f(t)和F(s)之间具有一一对应的关系。
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 t 1 2 t 1 3t f (t ) e e e 6 15 10
0
t dt t dt 1 t 1 lim 0 0 0 0
单位脉冲函数的拉氏变换：
1 1 st F ( s) (t )e st dt lim e st dt lim e s 0 0 0 0 0
若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要 将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式 的拉氏变换在表中可以查到。 例1： 1 1 1 1 F ( s) ( ) ( s a )( s b) b a s a s b
e at e bt 则f (t ) ba 1 例2：求 F ( s ) 2 的逆变换。 s ( s 1) 1 1 1 1 2 解： F ( s) 2 s ( s 1) s s s 1
4、积分性质
若
L[ f (t )] F ( s)
则
1
F ( s) f 1 (0) L[ f (t )dt ] s s
式中 f (0) 为积分 f (t )dt 当t=0时的值。 证：设 h(t ) f (t )dt 则有 h(t ) f (t ) 由微分定理可以知道：
cn c1 c2 F ( s) s p1 s p2 s pn
式中 pi (i 1,2,, n)是D( s) 0的根 M (s) ci 是常数 ci [ ( s pi )] s pi D( s )
c3 1 c1 c2 例1 : F (s) ( s 1)( s 2)( s 3) s 1 s 2 s 3
拉氏反变换。记为 L1 [ F ( s )] 。 由F(s)可按下式求出 1 C j 1 st f (t ) L [ F ( s)] F ( s )e ds(t 0) 2 j C j
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极 点的实部。 直接按上式求原函数太复杂，一般都用 查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s) 必须是一种能直接查到的原函数的形式。
【例2-4】求指数函数f(t)=
的拉氏变换 1 ( s a ) t 1 at st ( a s ) t F ( s) e e dt e dt e 0 0 sa sa 0
f(t) δ (t) F(s) 1 f(t) sinwt F(s)
lim f (t ) lim sF ( s )
t 0 s
证明方法同上。只是要将 s 取极限。 7、位移定理： a.实域中的位移定理 若原函数在时间上延迟 则其象函数应乘以 e s
，
L[ f (t )] e
s
F ( s)
b.复域中的位移定理 象函数的自变量延迟a，原函 数应乘以 e at at 即： L[e f (t )] F ( s a)
w (s 2 w2 )
e
at
几个重要的拉氏变换
1(t)
t
1/s
coswt
2
s
(s 2 w2 )
1s
at
e sin wt
e cos wt
at
at
e
1/(s+a)
w ( s a) 2 w 2 sa ( s a) 2 w 2
2-2 拉氏变换的运算定理
1、叠加定理（线性性质）
s 2s 2 1 1 s lim (1 e ) lim （ 1 1 ） 1 1! 2! 0 s 0 s
泰勒级数展开
【例2-3】求δ(t)与1(t)间的关系
1、单位阶跃函数对时间的导数即为单位 脉冲函数。 2、反之，单位脉冲函数对时间的积分即 为单位阶跃函数。
例.求阶跃函数f(t)=A· 1(t)的拉氏变换。
A F ( s) Ae dt e s
st 0 st 0
A s
【例2-2】求单位脉冲函数δ(t)的象函数
单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。 t 函数的特点：
单位脉冲函数的定义：
t lim t
1 1 L[h(t )] sL[h(t )] h(0) L[h(t )] s L[h(t )] s h(0) 1 1 L[ f (t )] h(0) s s 1 1 1 F ( s ) f (0) s s
即：
F ( s) f 1 (0) L[ f (t )dt ] s s
f (t ) L1[ F ( s)] t 1 e t
例3.
1 F (s) 的逆变换 2 s ( s 1) a b c 解：F ( s ) s s 1 ( s 1) 2 则a ( s 1) 2 bs( s 1) cs 1 对应项系数相等得 a 1, b 1, c 1 1 1 1 F (s) s s 1 ( s 1) 2 f (t ) 1 e t te t
在初始条件为零的前提下，原函数的n阶 导数的拉氏式等于其象函数乘以 s n 。
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e
0 st
dt s f (t )e
0
st
dt f (t )e
st
0
sF (s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
通常称 f(t)为原函数， F(s)为象函数。
【例2-1】求单位阶跃函 (Unit Step Function) 原函数1t 0t 0 象函数Fs 1 1t 0 s 1(t)的象函数 在自动控制原理中， 单位阶跃函数是一个突 加作用信号，相当一个 开关的闭合(或断开)。 在求它的象函数前， 首先应给出单位阶跃函 数的定义式。
0 t
f 2 ( ) d f 1 ( )e s ( ) d
0 0
f 2 ( )e
0
s
d f 1 ( )e s d F2 ( s ) F1 ( s )
0
即得证。
2-3 拉氏反变换
定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为
第二章 拉普拉斯变换及其 应用
2-1 2-2 2-3 2-4
拉氏变换的概念 拉氏变换的运算定理 拉氏反变换 应用拉氏变换求解微分方程
2-1 拉氏变换的概念
拉普拉斯变换（The
Laplace Transform） （简称拉氏变换）是一种函数的变换，经变 换后，可将微分方程式变换成代数方程式， 并且在变换的同时即将初始条件引入，避免 经典解法中求积分常数的麻烦，因此这种方 法可以使微分方程求解的过程大为简化。 拉氏变换是经典控制理论的数学基础。
0
t
[ f 1 (t )1(t ) f 2 ( ) d ]e st dt
0 0
f 2 ( ) d f 1 (t )1(t )e st dt
0 0
令t , 则 L[ f 1 (t ) f 2 ( ) d ]
8、时间比例尺定理
原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍， 则象函数及其自变量都增加（或减小）同 t 样倍数。即： L[ f ( )] aF ( as ) a 证：
t t st L[ f ( )] f ( )e dt a a 0 令t / a , 则原式 f ( )e sa ad aF (as)
t
0
1
2
1
2
t
t时，f1 (t ) 1(t ) 0 f1 (t ) f 2 ( )d f1 (t ) 1(t ) f 2 ( )d
0 0 t
L[ f 1 (t ) f 2 ( ) 氏变换等于其象 函数除以 s n。
5、终值定理
原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。 证：由微分定理 L[ f (t )] f (t )e st dt sF ( s) f (0)
0
lim f ( t ) lim sF ( s ) t s0
L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0) s[ sF ( s) f (0)] f (0) s 2 F ( s) sf (0) f (0)
依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏 变换 L[ f n (t )] s n F (s) s n1 f (0) s n 2 f (0) f n 1(0)
L[af1(t ) bf 2 (t )] aL[ f1(t )] bL[ f 2 (t )]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的 拉氏变换之和。 2、比例定理
L[ Kf (t )] KF (s)
2-2 拉氏变换的运算定理
3、微分性质
若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。 零初始条件下 L[ f n (t )] s n F ( s)
f (t )dt f (t ) lim f (t ) f (0) 0
t
右边 lim [ sF ( s ) f (0)] lim sF ( s) f (0) lim f (t ) lim sF ( s )
t s 0 s 0 s 0
6、初值定理：
同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为
1 1 ( 1) 1 ( 2 ) L[ f (t )dt ] 2 F ( s ) 2 f (0) f (0) s s s 若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0
2
则有
1 L[ f (t )dt ] n F ( s ) s
拉式反变换——部分分式展开式的求法
M (s) b0 s b1s bm1s bm F ( s) n (m n) n 1 D(s) s a1s an1s an
m
m1
（1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s) 总能展开成 如下简单的部分分式之和
等式两边对s趋向于0取极限
注：若 t→∞ 时f(t)极 lim f (t ) 限 不存 t 在，则不能用终值 定理。如对正弦函 数和余弦函数就不 能应用终值定理。
左边 lim f (t )e
s 0 0 0 st
dt lim f (t )e st dt
0 s 0
0
9、卷积定理
两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个 象函数的乘积。 t 即 L[ f (t ) f ( )d ] F (s) F (s) 证明： L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] [ f1 (t ) f 2 ( )d ]e st dt
拉氏变换的定义式
f t F s Lf t 0 est dt
条件是式中等号右边的积分存在(收敛)。
由于是一个定积分， t将在新函数中消失。因此， F(s)只取决于s，它是复变数 s的函数。拉氏变换将 原来的实变量函数 f(t)转化为复变量函数F(s) 。 拉氏变换是一种单值变换。 f(t)和F(s)之间具有一一对应的关系。
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 t 1 2 t 1 3t f (t ) e e e 6 15 10
0
t dt t dt 1 t 1 lim 0 0 0 0
单位脉冲函数的拉氏变换：
1 1 st F ( s) (t )e st dt lim e st dt lim e s 0 0 0 0 0
若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要 将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式 的拉氏变换在表中可以查到。 例1： 1 1 1 1 F ( s) ( ) ( s a )( s b) b a s a s b
e at e bt 则f (t ) ba 1 例2：求 F ( s ) 2 的逆变换。 s ( s 1) 1 1 1 1 2 解： F ( s) 2 s ( s 1) s s s 1
4、积分性质
若
L[ f (t )] F ( s)
则
1
F ( s) f 1 (0) L[ f (t )dt ] s s
式中 f (0) 为积分 f (t )dt 当t=0时的值。 证：设 h(t ) f (t )dt 则有 h(t ) f (t ) 由微分定理可以知道：
cn c1 c2 F ( s) s p1 s p2 s pn
式中 pi (i 1,2,, n)是D( s) 0的根 M (s) ci 是常数 ci [ ( s pi )] s pi D( s )
c3 1 c1 c2 例1 : F (s) ( s 1)( s 2)( s 3) s 1 s 2 s 3
拉氏反变换。记为 L1 [ F ( s )] 。 由F(s)可按下式求出 1 C j 1 st f (t ) L [ F ( s)] F ( s )e ds(t 0) 2 j C j
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极 点的实部。 直接按上式求原函数太复杂，一般都用 查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s) 必须是一种能直接查到的原函数的形式。
【例2-4】求指数函数f(t)=
的拉氏变换 1 ( s a ) t 1 at st ( a s ) t F ( s) e e dt e dt e 0 0 sa sa 0
f(t) δ (t) F(s) 1 f(t) sinwt F(s)
lim f (t ) lim sF ( s )
t 0 s
证明方法同上。只是要将 s 取极限。 7、位移定理： a.实域中的位移定理 若原函数在时间上延迟 则其象函数应乘以 e s
，
L[ f (t )] e
s
F ( s)
b.复域中的位移定理 象函数的自变量延迟a，原函 数应乘以 e at at 即： L[e f (t )] F ( s a)
w (s 2 w2 )
e
at
几个重要的拉氏变换
1(t)
t
1/s
coswt
2
s
(s 2 w2 )
1s
at
e sin wt
e cos wt
at
at
e
1/(s+a)
w ( s a) 2 w 2 sa ( s a) 2 w 2
2-2 拉氏变换的运算定理
1、叠加定理（线性性质）
s 2s 2 1 1 s lim (1 e ) lim （ 1 1 ） 1 1! 2! 0 s 0 s
泰勒级数展开
【例2-3】求δ(t)与1(t)间的关系
1、单位阶跃函数对时间的导数即为单位 脉冲函数。 2、反之，单位脉冲函数对时间的积分即 为单位阶跃函数。
例.求阶跃函数f(t)=A· 1(t)的拉氏变换。
A F ( s) Ae dt e s
st 0 st 0
A s
【例2-2】求单位脉冲函数δ(t)的象函数
单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。 t 函数的特点：
单位脉冲函数的定义：
t lim t
1 1 L[h(t )] sL[h(t )] h(0) L[h(t )] s L[h(t )] s h(0) 1 1 L[ f (t )] h(0) s s 1 1 1 F ( s ) f (0) s s
即：
F ( s) f 1 (0) L[ f (t )dt ] s s
f (t ) L1[ F ( s)] t 1 e t
例3.
1 F (s) 的逆变换 2 s ( s 1) a b c 解：F ( s ) s s 1 ( s 1) 2 则a ( s 1) 2 bs( s 1) cs 1 对应项系数相等得 a 1, b 1, c 1 1 1 1 F (s) s s 1 ( s 1) 2 f (t ) 1 e t te t
在初始条件为零的前提下，原函数的n阶 导数的拉氏式等于其象函数乘以 s n 。
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e
0 st
dt s f (t )e
0
st
dt f (t )e
st
0
sF (s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
通常称 f(t)为原函数， F(s)为象函数。
【例2-1】求单位阶跃函 (Unit Step Function) 原函数1t 0t 0 象函数Fs 1 1t 0 s 1(t)的象函数 在自动控制原理中， 单位阶跃函数是一个突 加作用信号，相当一个 开关的闭合(或断开)。 在求它的象函数前， 首先应给出单位阶跃函 数的定义式。
0 t
f 2 ( ) d f 1 ( )e s ( ) d
0 0
f 2 ( )e
0
s
d f 1 ( )e s d F2 ( s ) F1 ( s )
0
即得证。
2-3 拉氏反变换
定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为
第二章 拉普拉斯变换及其 应用
2-1 2-2 2-3 2-4
拉氏变换的概念 拉氏变换的运算定理 拉氏反变换 应用拉氏变换求解微分方程
2-1 拉氏变换的概念
拉普拉斯变换（The
Laplace Transform） （简称拉氏变换）是一种函数的变换，经变 换后，可将微分方程式变换成代数方程式， 并且在变换的同时即将初始条件引入，避免 经典解法中求积分常数的麻烦，因此这种方 法可以使微分方程求解的过程大为简化。 拉氏变换是经典控制理论的数学基础。
0
t
[ f 1 (t )1(t ) f 2 ( ) d ]e st dt
0 0
f 2 ( ) d f 1 (t )1(t )e st dt
0 0
令t , 则 L[ f 1 (t ) f 2 ( ) d ]
8、时间比例尺定理
原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍， 则象函数及其自变量都增加（或减小）同 t 样倍数。即： L[ f ( )] aF ( as ) a 证：
t t st L[ f ( )] f ( )e dt a a 0 令t / a , 则原式 f ( )e sa ad aF (as)