等离子体的描述方法

等离子体的动力论和流体描述

等离子体既然是与电磁场做相互作用，首先看电磁场对等离子体的影响。我们对带电粒子的单粒子运动的理论已经有了一些认识，但对于等离子体是如何影响电磁场的，还需要有所了解。从Maxwell方程组可以看到，主要是电荷分布和电流分布（以及边界条件）决定了电磁场。而电荷分布与等离子体各个带电成分的密度分布有关。如果没有新的复合和电离过程，密度分布满足连续性方程。

对流体进行描述，考察各个物理量随着时间的变化，常用的是欧拉法，即考察固定的地点上物理量随时间的变化，另外一种方法是拉格朗日法，是考察固定的物质上的物理量随时间的变化。因为物质是移动的，因此不但随时间变化，也随空间变化。我们分别就这两种方法，考察等离子体的连续性方程。

连续性方程

假设等离子体没有产生（电离）、没有消失（复合），一块等离子体的数量会保持不变。

()0d n V dt

∆= 这里是随体微分，即拉格朗日法描述流体。为了了解体积元的变化，先看看流体中一段长度元的变化。

21

=-l r r

经过时间t ∆之后，新的位置为 ()2

1221121()()()()t t t t

'''=-=+∆--∆=+-∆=+⋅∇∆l r r r v r r v r l v r v r l l v 即d dt =⋅∇l l v ，应用这个结果，考

察一个小体积元V x y z ∆=∆∆∆，因而，

d x dt x

∆∂=∆∂x v ，取x 分量，x v d x x dt x ∂∆=∆∂，因此， ()()()0d dn d x d y d z n V V n y z x z x y dt dt dt dt dt dn n V dt

∆∆∆∆=∆+∆∆+∆∆+∆∆=+∇⋅∆=v 电流分布不但与等离子体各个带电成分的密度分布有关，而且与它们的运动速度有关。动力论的描述使用分布函数f(t, x , v )，不但包含密度信息，也包含了带电粒子的速度信息。这是在相空间中的密度分布，类似r

于普通的密度分布，不过空间变为6维。为了便于想象，我们考虑一维的运动，这样，分布函数的相空间就是2维的（x ，v ），可以直观的画出。

分布函数(,,)f t x v 描述等离子体的状态，其中,x v 分别看作独立的变量。

从分布函数可以求出密度分布，即将所考察区域内的所有速度的粒子统计得到。其他宏观物理量也可以用类似方法求得。

(,)(,,)v n t f t d =⎰x x v v 错误!未找到引用源。 一般来说，宏观物理量可以通过计算速度的加权平均获得：

1(,)(,,)(,)v

t f t d n t ψ=ψ⎰x x v v x 错误!未找到引用源。 最常见的分布是Maxwllian 分布： 322

02exp()2M T mv f n m T π⎛⎫=- ⎪⎝⎭

动力论方程

相空间的连续性方程是动力论方程。如果等离子体中的带电粒子没有新生或者复合，其数量在相空间

中守恒，即得关于分布函数f 在6维相空间中的守恒型方程： ()()0f d d f f t dt dt

∂∂∂+⋅+⋅=∂∂∂x v x v 错误!未找到引用源。

结合具体的等离子体粒子的运动过程，有实际的关系 (),(,)(,)d d q t t dt

dt m

==+⨯x v v E x v B x 错误!未找到引用源。 考虑到,x v 分别看作独立的变量，且上(0.4)式的

加速度中，虽然含有速度v ，但仍有()0∂⋅⨯=∂v B v ，

因此方程(0.3)化为 ()(,)(,)c f f q f f t t t m t ∂∂∂∂⎛⎫+⋅++⨯= ⎪∂∂∂∂⎝⎭v E x v B x x v 错误!未找到引用源。

其中方程右端代表碰撞引起的等离子体分布函数的变化。由于碰撞是带电粒子相互靠近时发生的，上(0.5)式左边的电磁场如果使用较大尺度的平均的量，就要将代表等离子体粒子附近的电磁场引起的碰撞效应归结到方程右端的碰撞项中。

矩方程

由动力论方程，可以推导宏观物理量所满足的方程。设()ψv 仅是速度的函数，对方程(0.5)做积分()v

d ψ⎰v v ，得 ()()()c v

f n n n d t m t ∂∂∂ψ∂ψ+⋅ψ-⋅=ψ∂∂∂∂⎰F v v x v 错误!未找到引用源。

其中用到在无穷远处分布函数为0的假设。

（1）取1ψ=，得连续性方程 ()0n n t ∂∂+⋅=∂∂u x

错误!未找到引用源。

因为碰撞前后虽然速度改变，但位置不变，因此全速度空间积分之后，碰撞项的积分贡献为0。

（2）取ψ=v ，得种类为α的带电粒子的运动方程： 1()()()n n n n t m m m αααααααααβααβαββαααανμ≠

∂∂+⋅+-=--∂∂∑P F u u u u u x 错误!未找到引用源。

这里，=u v 是流体速度，()()nm =--P v u v u 是压力张量，αβν是碰撞频率，m m m m αβαβαβ

μ=+是约化质量，计

算碰撞项的积分时，考虑每次碰撞引起的动量变化相当于质量为μ的质点，速度（v α-v β）方向（θ）转变了

90°，但由于碰撞转向的经度角（ϕ）是随机的，大量事例统计平均之后平均速度为0，得到式中的动量变化。上式可以简化为 ()()

d n m n q dt n ααααααααβααβαββα

νμ≠∂=-⋅++⨯∂--∑u P E u B x u u 错误!未找到引用源。

（3）取i j v v ψ=，为了简化起见，忽略碰撞项，得到压力满足的方程为（这里 c = v - u ，在绝热近似下可以忽略热运动3次项的平均）

()()()0i j ij i j j i i j ij i j i jk j ik k k nmu u P n Fv F v t

nmu u P mn c c u P u P ∂+-+∂∂⎛⎫+⋅++++= ⎪∂⎝⎭∑u c e x 错误!未找到引用源。对于i = j 情况并对三维进行求和，可得能量方程

221313()()02222nmu nT nmu nT nq t ∂∂⎛⎫++⋅+++⋅-⋅= ⎪∂∂⎝⎭

u q u P E u x （其中磁场效应为0：()()0i i i

q v q ⨯=⨯⋅=∑v B v B v ），化简之后的形式为

()213()022d n mu T nq dt ∂++⋅+⋅-⋅=∂q u P E u x