偏微分方程的数值离散方法

• 形成于20世纪60年代， 一直在迅速发展。
• 在数值方法、计算技术、 科学和工程需求发展的 推动下，现在发展得更 快：应用范围不断扩大， 深入到所有与流动有关 的领域；从业人员不断 增加
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计算流体力学的应用范围
• 航空航天、汽车设计、船舶、环境、生 物制药、化学处理、石油天然气、发电 系统、电子半导体、涡轮机械、制冷、 材料、冶金、能源、聚合物加工、玻璃 加工、体育、环境等领域。
Godunov格式, TVD格式, MUSCL格式，NND格式，群速度控制法，WENO格 式, Jacobina矩阵的对角化，流通量分裂, Roe格式, 多维问题的离散
（七）不可压缩流的数值方法 人工压缩性法，投影法，SIMPLE方法。
（八）网格生成技术 结构网格的微分方程方法及多块网格、自适应网格和非结构网格介绍。
（九）湍流的数值模拟方法 湍流模型NS方程的差分法，直接数值模拟和大涡模拟简介。
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（一）计算流体力学简介
• 利用数值方法通过计算 机求解描述流体流动的 数学方程，获得空间和 时间离散位置处的数值 解，揭示流动的物理规 律和研究流动的物理特 性的学科。
• 数学方程: 质量、动量、 能量、组分和其他标量 的微分(或微分-积分)方 程组

U E Ev
F Fv
G Gv
H
t
x
y
z
• 椭圆型或椭圆-双曲型(定常)，双曲-抛物型(非定常) • 补充热力学特性和输运特性 • 数值求解：网格特别密，高分辨解难求 • 2.3.1 N-S方程的无量纲化：
理想气体 p ( 1)e
• 无粘性、热传导、质量扩散
• 定常：椭圆型，椭圆-双曲混合型， 双曲型
• 非定常：双曲型
• 数值求解：中等难度
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2.3.3 不可压缩粘性流N-S方程
u v w 0 x y z

u t

u
u x

v
u y

w
u z
Qd b10 vd





2.2 任意惯性坐标系下的N-S方程
v 0
t
v (v v) p τ b
t
E (v(E p)) q (τ v) Q b v
目的: (1) 与理论和实验的比较 (2) 减小计算误差
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2.3.2 Euler 方程
(v) 0
t v



( v

v)

p

0
t
E [v(E p)] 0
t
E：totalenergyper unit mass
状态方程 p p(,e),
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主要授课内容
（一）计算流体力学简介 （二）流体力学方程、模型方程、定解条件 （三）偏微分方程的数值离散方法 模型偏微分方程离散的基础知识，包括离散化方法，差分格式的构造，稳定性分析，
模型方程的差分逼近，有限体积法。 （四）高精度差分和数值解的行为分析 （五）代数方程求解 （六）双曲型守恒律及可压缩流的高分辨率格式
d
dt
CM
d

d dt
CV
d

(v
SCV

vb
) nds
• 控制体固定，(vb 0)且应用于质量守恒 ( 1)



t
d

ห้องสมุดไป่ตู้
S
v
nds

0
• 应用于动量守恒：( v)


vd
t


S
v(v n)dS

f

T ndS
S
t
Viscous stress tensor for Newtonian fluid:
τ 2 v (v)T

2
3
(

v)
ij
Implying Stokes hypothesis: 3 2 0 and bulk viscosity=0
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2.3 直角坐标系下N-S方程
课程基本情况
1. 学分： 学时: 36 2. 课程性质：专业课 3. 先修课程：《流体力学》、《数理方程》、《数值分
析》 4. 课程教材：《计算流体力学》,傅德薰、马延文编，
高等教育出版社，2002 5. 参考书目： 《一维流体力学差分方法》, 水鸿寿著,国防工业出版社，
1998 《Computational Methods for Fluid Dynamics》, Ferziger and Peric, Springer, 2002 6. 考核形式：平时作业+上机实践 +书面及口头报告
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应用图例
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计算流体力学的要素
• 数学模型 • 离散方法 • 计算网格(也有无网格方法，但尚未成熟) • 求解方法 • 计算结果的后处理 • Verification & Validation
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数值计算的局限性
• 总是离散近似解 • 依赖于模型
• 离散误差 • 迭代误差 • 舍入误差
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计算流体力学的发展
• 2.1 方程的意义 • 流体运动遵循质量守恒、动量方程和能量守恒 • 上述三大定律应用于任意流体元：
dM 0 dt
dP dt


f
dE 流入流体元的净热通量 流体元体积加热的能量 体积力和表面力对流体元做的功率 dt
• 任意流体元的总量
M , P, E d
CM
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流体元总量的变化率



bd
(by T -pI τ) pd τd bd



• 应用于能量守恒：( e 1 V 2)


E d
t


S
Ev
ndS



S
q
2
ndS


S
(T
n)
vds

Qd




b

vd
qd (vp)d (τ v)d
• 高精度、多分辨、高效 方法
• 湍流的直接数值模拟， 大涡模拟
• 化学反应流、多物理问 题
• 自由界面流、多相流、 流固相互作用
• 高温辐射流、磁流体力 学
• 微尺度流 • 复杂流体
• 软件需求大，求解问题 的复杂程度提高和应用 领域扩大
• 工程分析、设计优化工 具
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（二）流体力学方程、模型方程、 定解条件