4,最大公因数和最小公倍数

第 13 讲最大公因数和最小公倍数

【知识要点】

1.最大公因数：几个数公有的因数就叫做这几个数的公因数,其中最大的一个就叫做这几个数的最大公因数。数a和数b的最大公因数记作(a,b)。

2.最小公倍数：几个数公有的倍数就叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个就叫做这几个数的最小公倍数。数a和数b的最小公倍数记作[a,b]。

3.若a是b的倍数,则(a,b)=b,[a,b]=a;若a与b为互质数,则(a,b)=1,[a,b]=ab。

4.两个数的最大公因数乘以这两个数的最小公倍数等于这两个数的乘积。

即(a、b)×[a、b]＝a×b

【例题剖析】

例1.求60和75的最大公因数和最小公倍数。

例2.求72、84和18的最大公因数和最小公倍数。

思路点拨：用短除法分别求这三个数的最大公因数和最小公倍数。

例3.若a=2×2×3, b=2×3×5,则(a, b)=？[a, b]=？

思路点拔：找出a和b公有的质因数，便知其最大公因数；除了a和b公有的质因数2和3之外,还要找出a和b各自独有的质因数,便知其最小公倍数。

例4.用一个数去除53余5,去除41也余5,这个数最大是多少？

思路点拨：如果用53－5＝48,41－5＝36,则所得到的48和36一定能被这个数整除,即这个数就是48和36的最大公因数。

例5.一个两位数,被9除余7,被8除余6,被4除余2,这个两位数最小是多少？

思路点拨:若这个两位数加上2,则能同时被9、8、4整除,所以只要求出9、8、4的最小公倍数后减去2即可。

【分层训练】

★

1. 20和24的最大公因数是( ),最小公倍数是( )；

2. 15、25和45的最大公因数是( ),最小公倍数是( )。

3. (8、9)＝[8、9]＝(11、77)＝[11、77]＝

4. (4、5、7)＝[4、5、7]＝(5、15、30)＝[5、15、30]＝

5.已知a=2×2×5, b=2×3×5,则(a, b)=( )[a, b]=( )

6.已知甲数=2×3×a,乙数=3×5×a,当a=( )时,甲、乙两数的最大公因数是21;当a=( )时,甲、乙两数的最小公倍数是60。

★★

7.一个自然数,去除22少2,去除34也少2,这个自然数是( )

8.能同时被3、4、8、9整除的最大四位数是( )

★★★

9.能被2、3、5除都余1的最小数是( )

10.一个数被2除1,被3除2,被5除余4,这个数最小是多少？

第 14讲最大公因数和最小公倍数的应用

【知识要点】

运用求最大公因数和最小公倍数的方法可以解决一些实际问题

【例题剖析】

例1.一块长方形夹板长135cm,宽105cm,把它截成同样大的正方形而没有剩余.正方形的边长最大是多少厘米？共可截多少块？

思路点拨：所截成的正方形边长应是这块夹板的长和宽的最大公因数，即可求出所截的块数。

例2.用长24cm,宽16cm,厚4cm的长方体小木块,堆成一个正方体,至少要用这样的小木块多少块？

思路点拨：堆成的正方体的棱长应是24、16、4的最小公倍数，即可求出所需小木块的块数。

例3.在周长是400米的环形跑道周围每隔10米放一盆兰花,又每隔8米放－盆菊花,原来放花的地方不再放花,一共放了多少盆花？

思路点拔：放花的总数＝毎隔10米放花的盆数十每隔8米放花的盆数－重叠的盆数。

例4.从运动场的一端,每隔4米插－面彩旗,一共插了25面彩旗,现在改为每6米插一面彩旗,可以不拔出来的彩旗有几面？

思路点拔:由每隔4米插一面旗,共插了25面,就可求出全长(即4×24=96米),现改成6米插一根,说明每12米重叠(即每隔12米的那面旗可不拔),从而可推出不拔的面数。

【分层训练】

★

1,某校五年级三个班的人数分别是56、48、40人,每班要分成几个小队,每队人数要相等,队数要最少,每队应为几人？

2.原来道旁的木电线杆,每两根之间相距45米,现在要改为两根之间相距60米,如果第一根起点不动,到下一根不动的电线杆相距多少米？

3.有三根铁丝,长度分别是12cm,18cm,24cm,现在要把它们截成相等的小段,每根都不许有剩余,每小段最长是多少厘米？

4.一张长方形硬纸板,长112cm,宽80cm,把它剪成同样大的正方形,使边长是整厘米数,且不能有剩余,最少能剪多少块？

★★

5.有336支铅笔,252块橡皮块,210个文具盒,用这些文具分成每份相同的文具作为奖品,最多可以分多少份？每份中三种文具各多少？

6.一个长方体木料,长72cm,宽60cm,高36cm,要把这个长方体木料锯成同样大小的正方体木块,木块体积要大,而且不能有剩余,可以锯多少块？

7.甲每4天来校一次,乙每6天来校－次,丙每8天来校一次,如果6月1日甲、乙、丙三人同时来校,那么下一次三人同时来校是几月几日？

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8.加工机器零件经过三道工序,第一道工序每个工人每小时可做3个,第二道工序每个工人每小时可做12个,第三道工序每个工人每小时可做5个。要均衡生产,三道工序至少各配几个工人？