高中数学第一章 集合与函数概念 131 单调性与最大小值 第1课时 函数的单调性课件 新人教A版必修

1.(1)下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的
是( C )
①y＝|x|＋1；②y＝|xx|；③y＝－|xx2|；④y＝x＋|xx|.
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
(2)已知函数 f(x)＝2x－ ＋x1，证明：函数 f(x)在(－1，＋∞)上为
减函数．
函数单调区间的两种求法 (1)图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间． (2)定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( × ) (2)函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3)．( √ ) (3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量” 改为“存在两个自变量”．( × )
2．函数 y＝－x2 的单调递减区间为( B )
大家好
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第一章 集合与函数概念
1 . 3 函数的基本性质
1. 3 . 1 单调性与最大(小)值
第 1 课时 函数的单调性
1．定义域为 I 的函数 f(x)的增减性
2．函数的单调性与单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是__增__函__数__或__减__函__数__，就说函 数 y＝f(x)在区间 D 上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y＝f(x) 的__单__调__区__间__．
解：函数 f(x)＝x2－2ax－3 的图象开口向上，对称轴为直 线 x＝a，画出草图如图所示．
由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性， 因此要使函数 f(x)在区间[1，2]上具有单调性，只需 a≤1 或 a≥2，
从而 a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
1．准确理解函数的单调性 (1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，是函数的一个“局 部”性质，函数在单独的一点处没有单调性． (2)定义中的 x1 和 x2 有如下三个特征： ①任意性：即“任意取 x1 和 x2”中“任意”二字不能去掉，不 能以特殊值代换． ②x1，x2 属于同一个单调区间． ③有大小之分，一般令 x1<x2.
2.(1)函数 f(x)＝|x－3|的单调递增区间是 _____[_3_，__＋__∞__)_______，单调递减区间是___(_－__∞__，__3_)____．
(2)求函数 f(x)＝x－1 1的单调减区间．
(1)树立定义域优先的原则 研究函数问题，特别是研究函数的单调性时，要先看函数 定义域，树立定义域优先的原则，如本例，若忽视定义域则将 所求参数范围扩大． (2)准确理解增、减函数的意义 增函数、减函数的定义中蕴含了在定义区间内自变量的不 等关系与相应函数值不等关系的相互转化，这一点要紧紧依赖 函数的增减性，如本例若不注意函数是减函数则易将不等式转 化错误.
解析：因为函数 f(x)在 R 上是减函数，3<5，所以 f(3)>f(5)．
3．画出函数 y＝－x2＋2|x|＋1 的图象并写出函数的单调区 间．
解： y＝－ －xx22＋ －22xx＋ ＋11， ，xx≥<00，， 即 y＝－ －（ （xx－ ＋11） ）22＋ ＋22， ，xx≥<00，的图象如图所示，单调增区 间为(－∞，－1]和[0，1]，单调减区间为(－1，0)和(1，＋∞)．
A．(－∞，0]
B．(0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．不存在
3．若 y＝(2k－1)x＋b 是 R 上的减函数，则有( C )
A．k>12
B．k>－12
C．k<12
D．k<－12
4．函数 f(x)＝2x＋1 在(1，6)上是___增_____函数(填“增”或 “减”)．
5．函数 y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是_[－__3__，__1_]．
探究点一 函数单调性的判定与证明 证明函数 f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数． [证明] 任取 x1，x2∈(2，＋∞)，且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x41－x2－x42 ＝(x1－x2)＋4（xx21－x2x1） ＝（x1－x2）x1（x2x1x2－4）.
利用定义证明函数单调性的步骤
1．函数 y＝x2－6x 的减区间是( D )
A．(－∞，2]
B．[∞，3]
解析：y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故减区间为(－∞，3]．
2．函数 f(x)在 R 上是减函数，则有( C )
A．f(3)<f(5)
B．f(3)≤f(5)
C．f(3)>f(5)
D．f(3)≥f(5)