非线性系统和采样控制系统

二、典型非线性特性
1、死区特性 （不灵敏区特性）
输出
输入
0 y ( t ) k x ( t ) a sgn x ( t )
x ( t ) a x ( t ) a
特征：当输入信号在零值附近变化时，系统没有输出。当输 入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关系。 测量、放大元件的不灵敏区；调节器和执行机构的死区 等等。 对系统性能的影响：死区非线性特性导致系统产生稳态 误差，且用提高增量的方法也无法消除。
描述函数：
Y Y 1 j 1 N ( X ) e 1 1 X X
谐波平衡分析法： 系统开环部分可分离为： 非线性环节N(A) 线性部分G(s) 非线性特性的描述函数表示了正弦输入信号作用 下，输出信号的基波分量与输入信号之间在幅值和相 位上的相互关系，也就是包含有等效增益及等效相移 两方面的信息。 谐波平衡法：应用描述函数所提供的信息去分析 非线性系统的性能。
其中： Y1
2 2 A1 B1

A1 1 arctg B1
一般高次谐波的振幅小于基波的振幅，因而为进行 近似处理提供了可靠的物理基础。
描述函数： 输入为正弦函数时，输出的基波分量与输入正弦量 的复数比。
输入： x(t) =Xsinωt
( t ) Y s in( t ) 输出的基波分量： y 1 1
非线性系统的特征方程为 即： 称
1 N ( X )G( j) 0 1 G( j) N( X )
1 为描述函数的负倒幅相特性。 N (X )
如果满足上式，表示 G( j ) 与
系统将出现自持振荡。
1 N (X )
有交点，此时非线性
将非线性的负倒幅特性和线性部分的极坐标图绘制在一个 复平面中，根据二者的相对位置可分析非线性系统的稳定 性。 一、非线性系统稳定
2、饱和特性
输出
k x ( t ) y ( t ) ka sgn x ( t )
输入
x ( t ) a x ( t ) a
特征：当输入信号超出其线性范 围后，输出信号不再随输入信号 变化而保持恒定。
放大器的饱和输出特性、磁饱和、元件的行程限制、 功率限制等等。 饱和特性对系统性能的影响： 使系统在大信号作用下开环增益下降，因而降低了 稳态精度。
4、继电器特性 理想继电器
输出
输入
输出
具有饱和死区的 单值继电器
滞环的继电器
具有死区和滞环的继电器 包含有死区、饱和、滞环特 性
继电器特性对系统性能的影响
带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对 其他动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特 性的综合效果
三、非线性系统的特点
3、间隙特性（回环） 输入输出之间具有多值关系
输出
输入
k x ( t ) a y ( t ) k x ( t ) a c sgn x ( t )
y ( t ) 0 y ( t ) 0 y ( t ) 0
齿轮传动中的齿隙、铁磁元件的磁滞现象等。 间隙特性对系统性能的影响： 间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动态特性变坏
１、系统的稳定性
非线性系统的稳定性不仅与系统的结构参数有关， 而且与初始状态有关。 ２、系统的自持振荡 非线性系统即使无外界作用，也可能会发生某一 固定振幅和频率的振荡，称为自持振荡。
３、频率响应畸变
非线性系统在输入为正弦函数时，输出为包含一定数 量的高次谐波的非正弦周期函数。
线性系统分析可用叠加原理，在典型输入信号下系 统分析的结果也适用于其它情况。
B i

2 /
0
如果非线性环节N 的特性是对称的，则A0=0。
n ( t ) ( A i t B i t ) icos isin
i 1

非线性特性的线性化表示方法：以输出n(t)的基波分 量近似地代替整个输出。亦即略去输出的高次谐波，将输 出表示为
y ( t ) A cos t B sin t Y sin( t ) 1 1 1 1
第七章
非线性系统的分析
一、非线性系统基本概念
线性控制系统： 由线性元件组成，输入输出间具有叠加性，由线性 微分方程描述。
非线性控制系统： 系统中有非线性元件，输入输出间不具有叠加性，由 非线性微分方程描述。
非本质非线性: 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。 本质非线性 用小偏差线性化方法不能解决的非线性。
针对一任意非线性系统，设输入 x =Xsinωt ，输出为 n(t) ，则可以将n(t)表示为傅立叶级数形式：
A n ( t ) 0 ( A i t B i t ) icos isin 2 i 1
其中： A i

1
1
2 /
0
n (t)cos i tdt n (t)sin i tdt
非线性系统不能应用叠加原理，没有一种通用的方 法来处理各种非线性问题。 对非线性系统分析研究的重点是： （1）系统是否稳定； （2）有无自持振荡； （3）若存在自持振荡，确定自持振荡的频率和振幅； （4）研究消除或减弱自持振荡的方法。
四、分析非线性系统的方法：相平面分析法、谐波平衡分析法 1、相平面分析法 相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确 方法。 描述二阶系统的二阶微分方程可以用两个一阶微分方程 描述： x x
1 2
2 f (x1, x2) x
以x1为横轴，以x2为纵轴的二维状态平面称为相平面。 当 t 变化时，x1(t)对于x2(t)在相平面上形成的运动轨 迹称为相平面轨迹，简称相轨迹。 相轨迹的斜率为不定值的点称为奇点。奇点也必然是 平衡点。
2、谐波平衡分析法 非线性特性的一种线性近似表示——描述函数 描述函数是非线性特性的一种线性近似表示。用描述 函数后，非线性系统可近似视为线性系统，用线性系统理 论去分析，甚至设计。 考虑一非线性环节N，其输入为x(t)，输出为n(t)。 描述函数法：找出一个线性函数 y(t)去逼近n(t)，并且 要求按照均方误差最小的准则衡量，这种逼近是最佳的。