四维变分同化

目标函数
uuu0
t x
（2）从u*(x,T)=0 出发积分伴随方程得到u*(x,0)
(u * ) ( u u * ) u * u w [ u ( x ,t) u o) b] s t x x
（3）根据目标函数值和梯度找到新的估计u0
（4）重复（1）－（3）迭代。
3 4DVAR实际计算过程 回到离散情况 ：
示意图：
如何求极小？下降算法. （需要梯度） 最速下降法，共轭梯度法，拟牛顿法…
得到搜寻方向后成为一维寻优。 多项式逼近：
2，变分方法和伴随模式
变分方法是求泛函极值的有力工具。
泛函的一个例子：
J u ＝ a b { w 1 [ u ( x ) u o( x b ) 2 s ] w 2 [ 2 u / x 2 ] 2 } dx
综合观测和背景场 给出的最好估计是什么？
背景场 xB, 观测场yo,分析场xa. 最大似然估计：
x a x B BT ( H HT B Q )H 1 (y o H x B )
x B K (y o H x B )
(1)
（卡尔曼滤波） （条件？）
B: 背景场误差协方差矩阵；Q: 观测场误差协方
7 加
协调，可以同时同化多时刻资料，容易
8
入其它约束。已经成功运用。
9 问题：不考虑模式误差；
10 难
B 距阵不随时间变化（为了减少求逆困
11
要简化B）；
12
伴随模式程序编写维护工作量大。
6 对改进4DVAR所作的努力
7 （1）增量方法，减少计算量（用低分辨率模式）
J (x 0 ) 1 2x 0 T B 1x 0 1 2 rR 0(H x r d r o )T Q r 1 (H x r d r)
J r o P ~ r T H r T O r 1 ( H r ( x r ) - y r ) 是什么？
δrx P r1P r2..0 .δ P0x P ~ rδ0x
P ~ rTδ~ xrP 0 TP 1 T..r.T 1 P δ~ xr
~ x r H r T O r 1 ( H r ( x r ) - y r )
（2.1）
J 是u的泛函，依赖于u 在(a,b)区间的所有取值.
（1阶）变分： J J u u J u 对 u的线性部分
先看连续情况。反演初值的一个例子：目标泛函
J1T
b
w[u(x,t)uob)s2]dxdt
20 a
uuu0 t x
（2.2） （2.3）
定解条件： u ( x , 0 ) u 0 ( x ) u ( a , , t ) f ( t ) u ( b , , t ) g ( t )
J ( x 0 ) 1 2 ( x 0 x B ) T B 1 ( x 0 x B ) 1 2 r R 0( H x r y r o ) T Q r 1 ( H x r y r o )
J B J o
(成为求多元函数极小值)。 x 0JB B 1 (x 0 x B )
看一个时间r J r o ( x 0 J r o ) T x 0 H r [ r 1 ( O H r x r - y r ) T x r ]
(2)
变分方法： 极小化（2）
4维变分方法： 极小化（3）
J ( x 0 ) 1 2 ( x B x 0 ) T B 1 ( x B x 0 ) 1 2 k K 0 ( y k o H x k ) T Q k 1 ( y k o H x k )
（3）
预报模式： xk Mkx0
（4）
切线性模式： xr Pr1xr1 Pr1Pr2xr2 ......
Pr1Pr2...P0x0 P~r x0
( x 0 J r o ) T x 0 H r [ r 1 ( H O r ( x r ) - y r ) T P ~ r x ] 0
J r o P ~ r T H r T O r 1 ( H r ( x r ) - y r )
差矩阵；H: 观测算子（Hx=y)
误差协方差矩阵: B=<ε εT>, bi,j=< εi εj> 分析场的误差协方差矩阵: PεaεaT (IK)H B
解（1）等价于极小化下面的目标函数 (cost function 代价函数)
J 1 2 ( x B x a ) T B 1 ( x B x a ) 1 2 ( y o H x a ) T Q 1 ( y 0 H x a )
按照一定的规则来写。
切线性模式的检验：
()Q r(z P h r )h Q r(z) 1 O ()
Qr Pr 分别是非线性和切线性模式在r时刻 的预报。
伴随模式的检验： 以z为输入积分切线性模式y=Prz, 以y为输入反向积分
伴随模式 w=PrTy. 应该有yTy=zTw, 因为 zTPrTy=yTPrz
梯度检验：
J ( x 0 h ) J ( x 0 ) h T J ( x 0 ) O (h )
()J(x 0h T h J )( x J 0 ) (x 0 ) 1 O ()
h J(x 0)/ J(x 0) 是单位向量
5 关于4DVAR的评论
6 好处：利用完整的模式方程约束，同化场动力 上
（4）显式四维变分资料同化方法 （邱崇践 张蕾 邵爱梅，中国科学D，2007.5）
将SVD技术用于四维空间的预报集合, 这样得到的
奇异向量就不但可以表征模式变量的空间结构，
也可以包含其时间演变特征.
它在一定的近似程度内保留了传统的4DVAR的基
本优点，但是实现起来会非常简单.
分析增量按照奇异向量展开：（V是4维空间奇异
伴随模式的解析形式只能作为理论推导用，实际 问题是离散化的，预报程序中还有些是不能写成 解析公式的。要保证相应的伴随模式严格成立， 通常的作法是先根据原模式计算程序写出切线性 模式程序，再直接根据切线性模式程序一一对应 地写出伴随程序。一个天气预报模式的程序有上 万条语句，首先写出他的切线性模式程序，然后 根据切线性模式程序写出伴随程序，工作量是巨 大的。
找到最优的u0 让(2.2)极小
(2.3)的切线性方程
uuuuu0
t x x
（2.4）
定义伴随方程：
(u * ) ( u u * ) u * u w [ u ( x ,t) u o) b （] s 2.5） t x x
将（2.4）乘 u*和（2.5）乘 u* 相减 在整个区间
向量构成距阵）
r
xxx b kvk(r t) ,V α
k 1
代入目标函数可以直接求梯度
J ( α ) 1 2 ( M 1 ) α T Λ 2 α r [ H ( x B V α ) y ] r T R 1 [ H ( x B V α ) y ] r
再见
பைடு நூலகம்积分
u*u
(uuu*)
t dtdxu x dxdt
w[u(x,t)uob)s]udxdt （2.6）
考虑边界 u0以及令 u*(x,T)0 得到
a b u*(x,0)u(x,0)d xw [u(x,t)uob )s]udxd
J (2.7)
J1T
b
w[u(x,t)uob)s2]dxd
20 a
由（2.7）看到： u0Ju*(x,0) (2.8)
四维变分资料同化
( 4DVAR, four-dimensional variational data assimilation method )
兰州大学大气科学学院 邱崇践
1，有关资料同化的基本知识
资料同化: 在积分描写动力系统演变过程的数学模式 （预报模式）的同时，不断吸收观测资料，给出系 统状况的一个估计。
以 δ~x为r 初值反向积分伴随模式到t=0. 最后
R
Jo
P~rT~xr
r0
实际过程由R开始积分到下一个观测时间R-1 得到
J 相对于xR-1的梯度 JRo,R1 ，从 JR o,R1~ xR1
再积分伴随方程到R-2， ……
伴随程序的书写技巧和检验。 （大气模式， 资料同化和可预报性，气象出版社，2005）
d r H x B y r
（2）反向4DVar（王斌 赵颖，气象学报 2005.5）
提出了映射观测的新概念和反向四维变分资料同化的 新思路,并以此为基础建立了三维变分映射资料同化 (缩写为3DVM ). 由3DVM得到的初值不在同化窗口的 始端,而在窗口的末端. 3DVM所花计算时间只需4DVar 的1/7. （3）4DVAR和EnKF结合
目的：给出大气，海洋，陆面…状态的最好估计， 为预报和分析研究提供必要的数据。
为什么要用预报模式？ （1）观测不足 （2）观测有误差
（后果：变量间的不协调造成预报的振荡） 预报模式给我们提供什么？ （1）模式作出的预报为同化提供初猜场（背景场） （2）模式在不同点的变量之间以及各个变量之间建 立了联系
伴随算子的定义：
（f, Lg )=(g, L*f )， （ f，g）内积
(1) 函数空间内积 (f(x)g ,(x)) f(x)g(x)dx
(2) (2) 向量空间内积：(xy,)xTy
(3) 显然矩阵算子A的伴随算子是AT,
xTA yyTATx
计算过程：
（1）给出u0初猜值积分模式（2.3）得到u(x,t).计算