2019北京海淀区高三电磁感应----洛伦兹力做功

1 1 电磁感应----洛伦兹力做功
20．（14分）（2016-2017朝阳高二下学期期末考试）导体切割磁感线的运动可以从不同角度来认识。

如图所示，固定于水平面的U 形导线框处于竖直向下的匀强磁场中，金属直导线MN 在与其垂直的水平恒力F 作用下，在导线框上以速度v 做匀速运动，速度v 与恒力F 方向相同；导线MN 始终与导线框形成闭合电路。

已知磁场的磁感应强度为B ，导线的长度恰好等于平行轨道的间距L 。

（1）通过法拉第电磁感应定律推导证明：导线MN 切割磁感线产生的电动势E =BL v 。

（2）从微观角度看，导线MN 中的自由电荷所受洛伦兹力在上述能量转化中起着重要作用。

为了方便，可认为导线MN 中的自由电荷为正电荷。

a ．电动势在数值上等于非静电力把1C 的正电荷在电源内从负极移送到正极所做的功。

如果移送电荷q 时非静电力
所做的功为W ，那么电动势W
E q
=。

请据此推导证明：导线MN 切割磁感线产生的电动势E =BL v 。

b ．导体切割磁感线时，产生的电能是通过外力克服安培力做功转化而来的。

但我们知道，洛伦兹力对运动电荷不做功。

那么，导线MN 中的自由电荷所受洛伦兹力是如何在能量转化过程中起到作用的呢？请通过计算分析说明。

20．（14分）
解：（1）在∆t 时间内，导线MN 的位移
x t =⋅∆v
线框的面积变化量是
S x L t ∆==⋅∆L v
则穿过闭合电路的磁通量的变化量是
B S BL t Φ∆=⋅∆=⋅∆v
根据法拉第电磁感应定律
E BL t
Φ
∆=
=∆v ……………………………………………………………4分 （2）a ．导线MN 切割磁感线时相当于电源，由右手定则可以判断M 为正极，N 为负极，所以自由电荷沿导体棒由N
向M 定向移动，自由电荷实际的速度方向和所受洛伦兹力的方向如图1所示。

将f 沿导线方向和垂直导线方向分解为f 1和f 2，其中f 1为非静电力，如图2所示。

设自由电荷的电荷量为q ，则1f q B =v ，自由电荷在从N
移动到M ，f 1做的功1W
f L q BL ==v ，所以导线MN 切割磁感线产生的电动势
W
E BL q
=
=v 。

…………………………………………………………5分 b ．设自由电荷沿导线MN 定向移动的速率为u 。

在Δt 时间内，自由电荷沿导线MN 定向移动的距离1
x u t =⋅∆，
垂直导线方向移动的距离2
x t =⋅∆v 。

所以在这段时间内：1f 做正功，
111ΔW f x q Bu t ==⋅v ；2f 做负功，222ΔW f x q B t ==-⋅u v 。

因此12W W =-，即导线MN 中一个自由电荷所受的洛伦兹力做功为零。

1f 做正功，宏观上表现为“电动势”，使电路获得电能；2f 做负功，宏观上表现为安培力做负功，阻碍导
线MN 运动，消耗机械能。

大量自由电荷所受洛伦兹力做功的宏观表现是将机械能转化为等量的电能，在此
过程中洛伦兹力通过两个分力做功起到“传递”能量的作用。

……………………………………5分
图1 图2
24．（20分）(2014年西城一模)
（1）如图1所示，固定于水平面上的金属框架abcd ，处在竖直向下的匀强磁场中。

金属棒MN 沿框架以速度v 向右做匀速运动。

框架的
ab
图1
2
2
与dc 平行，bc 与ab 、dc 垂直。

MN 与bc 的长度均为l ，在运动过程中MN 始终与bc 平行，且与框架保持良好接触。

磁场的磁感应强度为B 。

a ．请根据法拉第电磁感应定律t
Φ
E ∆∆=，推导金属棒MN 中的感应电动势E ； b ．在上述情景中，金属棒MN 相当于一个电源，这时的非静电力与棒中自由电子所受洛伦兹力有关。

请根据电动势的定义，推导金属棒MN 中的感应电动势E 。

（2）为进一步研究导线做切割磁感线运动产生感应电动势的过程，现构建如下情景： 如图2所示，在垂直于纸面向里的匀强磁场中，一内壁光滑长为l 的绝缘细管MN ，
沿纸面以速度v 向右做匀速运动。

在管的N 端固定一个电量为q 的带正电小球（可看做质点）。

某时刻将小球释放，小球将会沿管运动。

已知磁感应强度大小为B ，小球的重力可忽略。

在小球沿管从N 运动到M 的过程中，求小球所受各力分别对小球做的功。

24．（20分）解：（1）
a. 如图1所示，在一小段时间∆t 内，金属棒MN 的位移
t v x ∆=∆ 〖2分〗 这个过程中线框的面积的变化量 t lv x l S ∆=∆=∆ 〖1分〗 穿过闭合电路的磁通量的变化量
t Blv S B Φ∆=∆=∆ 〖1分〗
根据法拉第电磁感应定律 t Φ
E ∆∆=
〖1分〗 解得 B l v E = 〖1分〗
b. 如图2所示，棒向右运动时，电子具有向右的分速度，受到沿棒向下的洛伦兹力
evB f =，f 即非静电力 〖2分〗
在f 的作用下，电子从M 移动到N 的过程中，非静电力做功
evBl W = 〖2分〗
根据电动势定义 q
W
E =
〖1分〗 解得 B l v E = 〖1分〗
（2）小球随管向右运动的同时还沿管向上运动，其速度如图3所示。

小球所受洛伦兹力f 合如图4所示。

将f 合正交分解如图5所示。

〖2分〗
小球除受到洛伦兹力f 合外，还受到管对它向右的支持力F ，如图6所示。

洛伦兹力f 合不做功 0=合f W 〖2分〗 沿管方向，洛伦兹力f 做正功 q v B l
fl W ==1 垂直管方向，洛伦兹力'f 是变力，做负功 q v B l W W -=-=12 〖2分〗 由于小球在水平方向做匀速运动，则 'f F = 〖1分〗 因此，管的支持力F 对小球做正功 qvBl W F = 〖1分〗
说明：用其它方法计算管的支持力F 对小球所做功，只要过程、结果正确，可得4分。

图2
B 图
4
图5
合
f
f
图3
v 合
f 图
6
图
1
B
图2。