导数与微分(经典课件)

导数与微分

引 言

导数与微分是数学分析的基本概念之一。导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的。导数的概念在于刻划瞬时变化率。微分的概念在于刻划瞬时改变量。

求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。本章主要内容如下： 1． 以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义； 2． 给出求导法则、公式，继而引进微分的概念；

3． 讨论高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法。 4． 可导与连续，可导与微分的关系。

§1 导数的概念

教学内容：导数的定义、几何意义，单侧导数，导函数，可导与连续的关系，函数的极值。

教学目的：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义

出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连 续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线 方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。

教学重点：导数的概念，几何意义及可导与连续的关系。 教学难点：导数的概念。 教学方法：讲授与练习。 学习学时：3学时。

一、导数的定义：

1．引入（背景）：

导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿（Newton ）在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹（Leibuiz ）在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。 在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。

问题1。直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为)(t s s =，若0t 为某一确

定时刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。

取临近于0t 时刻的某一时刻t ，则质点在[]t t ,0或[]0,t t 时间段的平均速度为：00)

()(t t t s t s v --=

，

当t 越接近于0t ，平均速度就越接近于0t 时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：

0)

()(lim 0

t t t s t s v t t --=→。

问题2。曲线上一点处切线的斜率：已知曲线方程为)(x f y =，求此曲线在点),(00y x P 处的切线。 在曲线上取临近于P 点的某点),(y x Q ，则割线PQ 的斜率为：0

0)

()(tan x x x f x f k --=

=α，

当Q 越接近于P ，割线PQ 斜率就越接近于曲线在点P 处的斜率，于是曲线在点P 处的斜率： 0

0)

()(lim

x x x f x f k x x --=→.

2．导数的定义：

以上两个问题的实际意义虽然不同，但从数学角度来看，都是特殊形式的函数的极限。 定义1 设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若极限0

0()(lim

x x x f x f x x --→）

存在，则称函数f 在点0x

处可导，并称该极限为f 在点0x 处的导数，记作)('0x f 或

.0

x x dx

dy =

定义1' 令0x x x -=∆，)()(00x f x x f y -∆+=∆，则上述定义又可表示为： )('0x f ＝

.)()(lim lim

00000

x

x f x x f x y

dx

dy x x x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆=

即：函数在一点处函数值的改变量与自变量的改变量之比当自变量改变量趋于零时的极限。

例1．已知函数2

)(x x f =，求).1('

f

解：2)1(lim 11

lim 1

)1()(lim

)1(1211'

=+=--=--=→→→x x x x f x f f x x x ； 或2)2(lim 1

)1(lim )1()1(lim

)1(0200'

=+∆=∆-∆+=∆-∆+=→∆→∆→∆x x

x x f x f f x x x 。 例2．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0

01sin

)(2

x x x

x x f ，求).0('

f

解：.01

sin lim 0)0()(lim

)0(00

'

==--=→→x

x x f x f f x x 例3．已知函数x x f =)(，求).0('

f 解：⎩⎨

⎧<->==--0

10

10)0()(x x x x x f x f

，0)0()(lim 0--∴→x f x f x 不存在 故函数x x f =)(在点0=x 处不可导。

例4．已知函数3)(x x f =，求).0('

f

解：+∞===--→→→32

03

001

lim lim 0)0()(lim

x x x x f x f x x x ，故函数3)(x x f =在点0=x 处不可导。 二、导数的几何意义：

通过对引例2我们已经看到，已知曲线方程)(x f y =，若)(x f 在点0x 可导，那么曲线)

(x f y =在点())(,00x f x 存在切线，并且切线斜率为)(0'

x f 。

注：若曲线)(x f y =在点())(,00x f x 存在切线，那么)(x f 在点0x 可导吗？（不一定，如3

x y =在0点）。