(毕业论文)数学中的化归思想方法

数学中的化归思想方法

摘要：——例谈化归法在解题中的运用

姓名：林军玉

所谓“化归”从字面上可以理解为转化和归结。把所要解决的问题，经过某种

变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题* 的求解，把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法。“化归”方法很多，有分割法，映射法，恒等变形法，换元变形法，参数法，数形结合法等等，但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。

关键词：转化变形还原化归法实现化归

一．化归法概述

数学是探求、认识和刻划自然规律的重要工具。在学习数学的各个环节中，解题的训练占有十分重要的地位。它既是掌握所学数学知识的必要手段，也是培养和提高数学能力的重要途径。解题的实质就是把数学的一般原理运用于习题的条件或条件的推论而进行的一系列推理，直到求出习题解答为止的过程。这一过程是一种复杂的思维活动的过程。解决问题的过程，实际是转化的过程，即对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个（些）已经解决的问题，或容易解决的问题。如抽象转化为具体，未知转化为已知，立体转化为平面，高次转化为低次，多元转化为一元，超越运算转化为代数运算等等。

这就是在数学方法论中我们学习到的一种新的思维方法——化归，这种方法与我们常

见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，“化归”方法

在中学数学教材中是普遍存在，到处可见，与中学数学教学密切相关。如在引入“三角形

内角和定理”时，可把三角形的三个角剪下来，可以拼成一个平角，这就是转化，也可用

下法引入，如下图（1）中：a // b,则/ 1 + Z 2=? （180°）,图（2）中/ 1 + Z 2与180° 的关系？（小于），少掉的那部分到哪儿去了？（/3，即/4）于是有/ 1 + Z 2+Z 4= 180°

所谓“化归”从字面上可以理解为转化和归结。在数学方法中所论及的“化归”方法是指数学家在解决问题的过程中，不是对问题进行直接攻击，而是把待解决的问题进行变形，转化，直到归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终求获原问题解答的一种手段和方法。张奠宙、过伯祥著的《数学方法论稿》中指出：“所谓化归方法，

是将一个问题A进行变形，使其归结为另一个已能解决的问题B,既然B已可解决，那么A

也就能解决了”。

匈牙利著名数学家P •罗莎在她的名著《无穷的玩艺》一书中曾对“化归法”作过生动的比拟。她写道：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，现在的任务是要烧水, 你应当怎样去做？”。正确的回答是：“在水壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”接着罗莎又提出第二个问题：“假设所有的条件都不变，只是水壶中已有了足够的水，这时你应该怎样去做？”。对此，人们往往回答说：“点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”但罗莎认为这并不是最好的回答，因为“只有物理学家才这样做，而数学家则会倒去壶中的水，并且声称我已经把后一问题化归成先前的问题了。”

罗莎的比喻固然有点夸张，但却道出了化归的根本特征：在解决一个问题时人们的眼光并不落在问题的结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结果，尽管向前走两步，也许能达到目的，但我们也情愿退一步回到原来的问题上去。利用化归法解决问题的过程可以简单地用以下框图表示:

把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解,

把解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法。

化归思想方法被古住今来许多科学家、实际工作者所重视，十七世纪法国数学家笛卡尔经过长期思考，创造了解析几何理论，他的理论基础就是利用坐标系把带有两个未知数的代数方程看成平面上的一条曲线，从而利用代数方法研究几何问题。实际上，笛卡尔正是运用化归的思想方法才创立了解析几何学。

•化归的基本方法

充分运用了知识间内在联系，使新旧知识得到顺利转化。

图⑵

a

b

图

（1

“化归”方法很多，有分割法，映射法，恒等变形法，换元变形法，参数法，数形结

合法等等，但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或

是较为容易解决的问题。因此“化归”的方向应是由未知到已知，由难到易，由繁到简，

由一般到特殊。而“化归”的思想实质就在于不应以静止的眼光，而应以运动、变化、发

展以及事物间的相互联系和制约的观点去看待问题。即应当善于对所要解决的问题进行变形和转化，这实际上也是在数学教学中辨证唯物主义观点的生动体现。

数学中用以实现化归的方法很多，以下我介绍几种主要的方法：

1分割法

什么是分割法？法国著名数学家笛卡尔说：“把你所考虑的每一个问题按照可能的需

要分成若干部分，使它们更易于求解。”这种把要解决的问题分成若干个小问题，然后逐

一求解的方法，叫做分割法。一般地说，用分割法解决问题的过程可以归结为如下框图：

分割法又分以下几种方法：

例1 : 在掌握了扇形和三角形这些基本图形的面积计算以后，可以用形体分割法求出

比较复杂的图形的面积•如求弓形的面积

S 弓形=S 扇形-S 三角形.

解：原函数定义域为 X € (- g 5 5

二)U (-二,+ g )

求出讨-的反函数f 1+5X

(X )= 1-2X 例2: 如图：三棱锥 P-ABC 中,

已知：PA 丄BC, PA=BC= PA BC 的公垂线ED=h

求证：三棱锥 P-ABC 的体积

6

此例可通过对未知成分进行分割来实现化归.

当连结AD PD 后，就把三棱锥 P - ABC 分成两个三棱锥 B - PAD 和C - PAD 于是

-lh(BD + CD) =-l a h

2•映射法.

映射法是用以实现化归的一种重要方法，所谓映射，是指在两类数学对象或两个数学

集合的元素之间建立某种“对应关系”。利用映射法解决问题的过程为：首先通过映射将

原来的问题转化为问题* ,然后，在求得问题*的解答*以后，再通过逆映射求得原问题的解。

学习了集合与映射后，就用映射来定义函数，而把反函数的概念建立在一一映射的基

础上，而确定反函数y=f - 1(x)的映射是一个从原函数值域集合到定义域集合上的一个一一 映射。

例3:求函数'■-的值域

* CD

B

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