塑性加工理论解析方法

常用的摩擦模型有两种。
（1）库仑摩擦模型
该模型用库仑摩擦定律来描述变形体与工 具接触表面之间的摩擦，即接触表面上任 一点的摩擦切应力与正压应力成正比。其 表达式为
f n
摩擦切应力；摩擦系数；接触表面上的正压应力
对于一定的工具和变形物体，当接触 表面与温度不变时，可假设摩擦系数 μ为常数，与变形速度无关。摩擦系 数μ通常根据实验来确定，除摩擦系 数外，为了确定变形体与工具接触表 面之间的摩擦切应力，还需要知道接 触表面上的正压应力分布。
塑性加工 问题的解
近似解
上限解 下限解
运动许 可条件
静力许 可条件
精确解
运动许可条件 静力许可条件
变形几何方程 体积不变条件 速度边界条件
平衡方程 屈服准则 应力边界条件
求近似解的方法很多，其所追求的目 标是尽量采用简单的数学处理方法， 从多个上限解中求得最小的上限解， 从多个下限解中求得最大的下限解， 如果一个问题的上限解和下限解相等， 这个解就是精确解。
1
2
m
F” G(-s,0)
H H”
J” I
J
” B’ B
L’ u e
L
纯剪切状态
K(0, -s)
图 的
6 平
无摩擦
面应变
1
2、 3
0
拉拔过程 图 8-1 平面应力状态下的屈服p轨e 迹
E
8.2.3 轴对称问题
如果变形体的几何形状、物理性质以 及外载荷都对称于某一坐标轴，通过 该坐标轴的任一平面都是对称面，则 变形体内的应力、应变、位移也对称 于此坐标轴，这类变形问题称为轴对 称问题。
化，便于求解塑性加工问题。
8.2.1 平面应变问题
当变形体内各点的位移分量与某一坐 标轴无关，并且沿该坐标轴方向上的 位移分量为零时，则将这一变形过程 称为平面应变问题。
假设变形体内各点沿z坐标轴方向上 的位移分量为零，则有
dux dux x, y, duy duy x, y, duz 0
变形功和载荷
真实解 未定参数
8.2 基本方程的简化
8.2.1 平面应变问题 8.2.2 平面应力问题 8.2.3 轴对称问题
塑性加工过程是非常复杂的，求精确 解困难，求近似解也不易，因此，目 前只有某些特殊的情况或对实际问题 进行一些简化才能求解。
通常的处理方法是将变形过程简化为: ◆平面问题（平面应变问题、平面应 力问题）； ◆轴对称问题； ◆或者是两者的组合。 由此可使塑性变形的基本方程大为简
◇干摩擦：是变形体与工具之间的接触 表面上不存在任何外来的介质，即变形 体和工具表面上的微凸体直接接触所产 生的摩擦；
◇边界摩擦：当变形体与工具的接触表 面之间存在一薄薄的润滑层，其厚度约 为10-6mm左右，此时变形体和工具表面 上的微凸体不能直接接触，但仍能相互 嵌入，由此所产生的摩擦；
◇流体摩擦：当变形体与工具接触表面之 间的润滑层较厚，使二者完全被润滑层隔 开，此时的润滑状态称为流体润滑，由此 产生的摩擦，是润滑层之间的内摩擦。
塑性加工理论解析 方法
8 塑性成形解析方法
8.1 塑性成形问题解的概念 8.2 基本方程的简化 8.3 应力边界条件与速度边界条件 8.4 主应力法 8.5 滑移线场理论 8.6 上限法
8.1 塑性成形问题解的概念
塑性成形问题的解包括变形体内部的: ◆应力分布σij ◆应变分布εij或应变速率分布； ◆位移分布uij或位移速度分布。
6个 6个 3个 1个
刚塑性变形问题：17个方程
应力平衡微分方程：3个
几何方程：
6个
应力应变关系： 6个
屈服准则：
1个
体积不变条件： 1个
未知数：
应力分量σij：6个；应变分量εij：6个 位移分量ui： 3个；比例系数λ： 1个 平均应力σm：1个
因此，从形式上看，在一定的应力边 界条件、速度边界条件下，是可以求 出塑性加工问题解的。由此所得到的 解就是精确解，也可以说，满足上述 十六或十七个方程，同时在边界上满 足应力边界条件和速度边界条件的解 就是精确解。
弹性变形问题：15个方程
应力平衡微分方程：3个
几何方程：
6个
应力应变关系： 6个
未知数：
应力分量σij：6个 应变分量εij：6个 位移分量ui： 3个
弹塑性变形问题：16个方程
应力平衡微分方程：3个
几何方程：
6个
应力应变关系： 6个
屈服准则：
1个
未知数：
应力分量σij： 应变分量εij： 位移分量ui： 比例系数λ：
◆运动许可条件：应变几何方程、体积不 变条件和速度边界条件；
◆静力许可条件：应力平衡微分方程、屈 服准则和应力边界条件。
上限解：如果在求解时，仅要求满足应变 几何方程、体积不变条件和速度边界条件 （运动许可条件），而对静力许可条件不 预考虑，所得到的解。上限解是精确解的 上限；
下限解：如果在求解时，仅要求满足应力 平衡微分方程、屈服准则和应力边界条件 （静力许可条件） ，而对运动许可条件 不预考虑， 所得到的解。下限解是精确 解的下限。
显而易见，在体积不变条件下，为了求解 塑性加工问题的精确解，需要联解十七个 方程，而且塑性加工时的边界条件通常是 应力和速度的混合边界条件，即在一部分 边界上已知应力而速度未知，在另一部分 边界上应力未知而速度已知，因此，求解 塑性加工问题的精确解是非常困难的，甚 至是不可能的。
为了适应工程上的需要，常常放松精 确解的部分条件，仅要求满足其中的 一部分条件，由此所得到的解，称为 近似解。
N TN
图 8-2 边界上的微分四面体
x
xy
xz
ij yx y yz
zx
zy
z
l2 m2 n2 1
Sx
xl
yx
m
zx
n
S y xyl y m zy n
Sz
xzl
yz
m
z
n
S2
Sx2
S
2 y
Sz2
N Sxl Sym Szn
2 N
S2
2 N
N
x
2
y
2
2 xy
屈雷斯加屈服准则为
1 2 2k s
2 2k s
1 2k s
米塞斯屈服准则为
1
2
2
2
3 2
3
1 2
2
2 s
6k 2
2 1
2 2
1 2
2 s
3k 2
2 E(0, s) F
平面应变状态
D
D'
C(s, s)
1
2
2
m或 2
◆当m＝0时，τf=0，为无摩擦的理想
状态； ◆当m=1时，τf=k，称为最大摩擦力 条件
在热塑性变形时，通常采用最大摩擦 力条件。采用常摩擦力模型不需要预 先已知接触表面上的正压应力分布， 因此，在使用上是比较方便的。
8.3.1.2自由边界条件
将裸露的、不与任何物体相接触的边界面 称为自由边界面，处于自由边界面上的变 形体不受任何约束力的作用，大气压力可 以忽略不计，因此，在自由边界面上的正 应力和切应力均为零，即自由边界条件为 σn=τn=0。
在塑性加工过程中，变形体与工具的接触 面上不可避免地存在摩擦，摩擦力的方向 与接触面的切线方向一致，并与变形体质 点运动方向相反，阻碍质点的流动。单位 接触面上的摩擦力称为摩擦切应力。
摩擦切应力是作用在边界面上的外力，它 与内力之间的联系，可由式(8-21)来描述。
Ti ijl j
Tx
xl
将上式代入几何方程式(6-106)，可得
d x
(dux ) x
,
d y
(duy ) , y
d
xy
d
yx
1 2
(du x
y
)
(du y
x
)
d z d yz d zy d zx d xz 0
由应力应变关系式，可得
yz zy zx xz 0
z
1 2
x
y
m
1 2
max
对于轴对称问题，由于变形体为旋转
体，所以，采用圆柱坐标系分析问题 更为方便。假设对称轴为z轴，在轴 对称应力状态下，由于其对称性，旋 转体的每个子午面(通过z轴的平面， 即θ平面)始终保持平面，并且各子午 面之间的夹角保持不变，所以沿θ坐 标方向上的位移分量为零。
dur dur r, z, du 0, duz duz r, z
f n
max
f max n min
k
s
由屈雷斯加屈服准则：
s 2k
max 0.5
由米塞斯屈服准则：
s 3k
max
1
0.577 3
（2）常摩擦力模型
f mk
摩擦切应力；摩擦因子（0≤m≤1）；最大切应力
接触表面上任一点的摩擦切应力 与正压应力无关，与变形体的剪 切屈服强度成正比。对于一定的 工具和变形物体，当接触表面与 温度不变时，可假设摩擦因子m为 常数，与变形速度无关。
(du x
z
)
r r z z 0
因此，子午面上的应力σθ永远是主应 力，这样，在轴对称应力状态下的应 力张量可写成如下形式，即
ij
ຫໍສະໝຸດ Baidu
r
0
0
rz
0
zr 0 z
在轴对称应力状态下，应力平衡 微分方程式(6-61)可简化成如下形 式，即
r
r
zr
z
r
r
0
0
rz z rz 0
Si ijl j
TN
T l i
ij j 图 8-2 边界上的微分四面体
在应力边界条件中，最常见的是 ◆摩擦边界条件 ◆自由边界条件 ◆准边界条件。
8.3.1.1摩擦边界条件
在塑性加工过程中，根据变形体与工具的 接触表面之间的润滑状态的不同，可以将 摩擦分为三种类型，即： ◆干摩擦 ◆边界摩擦 ◆流体摩擦。
假设无关轴为z轴，则根据平面应力 问题的定义有，平面应力状态下的应 力张量为
x xy 0 ij yx y 0
0 0 0
应力平衡微分方程为
x
x
yx
y
0
xy
x
y
y
0
x xy 0 ij yx y 0
0 0 0
1
x
y
2
2
x
y
2
3 0
x
2
y
2
2 xy
塑性加 工解析
解析内容
变形功、力矩 载荷、 应力分布 应变分布 位移分布
温度分布
界面处： 应力分布 温度分布 相对滑移 速度分布
预测结果
产品尺寸精度 硬度分布 残余应力分布 晶粒度 显微组织 缺陷及位置
成形极限
优化
材质 形状 变形温度 变形速度 变形程度 润滑剂 工具的布置 工程设计
产品最 佳设计
yxm
zx
n
Ty xyl ym zyn
Tz
xzl
yzm
z
n
为了求解塑性加工问题，摩擦边界条件必 须预先确定。但是，塑性加工过程中的摩 擦是非常复杂的问题，其影响因素也是非 常多的，例如材料性质、接触表面的物理 和化学特性、变形温度、变形速度、加载 特性以及变形区几何学等。
因此，目前还不可能从理论上给出一个描 述摩擦力分布规律的精确表达式。通常是 采用一些简化的模型来进行解析。由于塑 性加工过程是在较高的温度和较高的压力 下进行的，是不易形成流体润滑的，因此，
z
1 2
x
y
x y
2 y z 2 z x
2
6
2 xy
2 yz
2 zx
2
2 s
6k 2
x
y
2
4
2 xy
4k 2
8.2.2 平面应力问题
当变形体内所有应力分量与某一坐标 轴无关，在与该坐标轴垂直平面上的 所有应力分量为零，则这种应力状态 称为平面应力状态。这种塑性加工问 题称为平面应力问题。
max
k
1 2
1
3
1 m k
2 m
3 m k
由此可见，对于平面应变问题，变形 体内任一点的应力状态都可以用平均 应力和最大切应力来表示。
平面应变状态下的应力平衡微分 方程
x
x
yx
y
0
xy
x
y
y
0
屈雷斯加屈服准则为
1 2 3 1 3 2k s
米塞斯屈服准则为:
r
ur r
1 u
r
ur r
z
u z z
r
r
1 u 2 r
1 ur
r
u r
z
z
1 u 2 z
1 uz
r
zr
rz
1 uz 2 r
ur z
d r
(dur ) , r
d
dur r
,
d r d z 0
d z
(duz ) , z
d zr
1 (dur ) 2 z
r z r
屈雷斯加屈服准则为
r 2k s
z
2k
s
z r 2k s
米塞斯屈服准则为
r
2
z 2
z
r 2
6
2 zr
2
2 s
6k 2
对于某些特殊情况，例如当
r
r
z
2
3
2 zr
2 s
3k 2
8.3 应力边界条件与速度边界条件
在塑性加工过程中，变形体边界面上 有外力的作用，其中部分边界上的外 力是已知的，而另一部分边界上的外 力是未知的，应力边界条件描述了边 界两侧的内力与外力之间的联系。
min
m
1 3
x
y
z
1 3
x
y
x
2
y
1 2
x
y
z
由上式可知，σz永远为中间主应力， 并且是一个不变量。 最大切应力为：
max
k
1 2
max min
当主应力顺序已知时
1 2 3
z
m
1 2
max min
z
m
1 2
1
3
max
k
1 2
max min