一元二次方程全章分析
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简单代入法
)
2.若关于x的一元二次方程 x 2 mx 3 0 的一个根是1， 则m的值为（ ）
由根求待定系数
本章知识要点-----21.2解一元二次方程
方法:(直接开平方法),配方法,公式法,因式分解法 策略:降次-----化为一元一次方程(化归思想) 教材安排:
简单方程 复杂方程 直接开平方法
一、传播问题： 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流 感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 方程的解要 符合实际问 题的意义
列方程:
1 x x(1 x) 121
解方程,得 x 10, x 12(不合题意,舍去) 1 2 答:平均一个人传染了10个人.
教材教法建议---解一元二次方程（解法综合）
首选直接开方法.
其次考虑因式分解法.
再次对任何一元二次 方程均 可用公式法.
有特殊要求时，采用配方法. 在灵活选用具体解法时，要把重点放在分析方程的形式特 征上，并结合这些特征提出具体的有针对性的解法，让学 生自己感受这样选择的优势。
典型例题-----21.3实际问题与一元二次方程
注意:验证根的情况是用公式法解方程的第一步,一定 让学生养成先算判别式的习惯,避免用公式算到一半 才发现没有解.
教材教法建议-----21.1一元二次方程
四.因式分解法： 1.因式分解法解一元二次方程： 将一元二次方程的一边化为0，另一边分解 成两个一次式的乘积的形式，再使这两个 一次式分别等于0，从而实现降次，这种方 法叫做因式分解法． A B 0 A 0或B=0 2. 因式分解法算理： （A、B至少一个为0）
2 ( mx ) 成
的形式
二次项系数为1时的配方 方法
教材教法建议-----21.1一元二次方程
三.公式法：
一元二次方程求根公式： 2 ax bx c 0(a 0) ， 对于一元二次方程 当 0 时,方程的实数根可写为:
b b 2 4ac x 2a
避免了每次重复配方 体现了求解一元二次 方程共性的方法 最美的数学公式,蕴含了初中阶段的六种运算
5.一元二次方程的应用:考察学生能否掌握从实际问题 中找出数量关系,列出一元二次方程,解方程,将结果回 归到实际问题中,并关注方程的解是否符合实际意义.
谢 谢
教材教法建议-----21.1一元二次方程
3.用因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程右边化为0； ②将方程左边分解为两个一次式的积； ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程; ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 4.常用因式分解方法： 提取公因式法(包括整体提取)，平方差公式、完全平方 公式、十字相乘．
解:设甲种药品的年平均下降率为x.
区分下降额和下降率
2 a (1 x ) 公式:
5000(1 x)2 3000
解方程,得
x1 0.225, x2 1.775(舍)
方程的解符合实际意义
所以甲种药品的年平均下降率约为22.5%.
典型例题-----21.3实际问题与一元二次方程
二.增长率问题 两年前生产一吨甲种药品的成本是5000元,生产一 吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步, 现在生产一吨甲种药品的成本是3000元,生产一吨 乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均 下降率较大?
第二十一章
一元二次方程
教材分析
本章的地位与作用
一元一次方程七上 整式 代 数 式
有 理 式 无 理 式
七上
整式方程
去分母
二元一次方程（组）七下 降
消元
次
一元二次方程
分式
八上
分式方程
二次函数
本章的地位与作用
课标要求
• 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字
系数的一元二次方程； • 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两 个实根是否相等； • *了解一元二次方程的根与系数的关系； • 能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理 .
22．2
22．3
解一元二次方程
实际问题与一元二次方程
7课时
3课时
数学活动 小结
2课时
本章知识要点-----21.1一元二次方程
一元二次方程的有关概念 （一）一元二次方程的概念 等号两边都是整式, 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次 数是2的(二次)方程，叫做一元二次方程． （二）一元二次方程的一般形式: ax2 bx c 0(a 0) 要点诠释： 2 a 0 ax bx c 0 才是一元二次方程； （1）只有当 时，方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二 次方程各项系数时注意不要漏掉前面的符号．a为负值时,一般转化为正数. (三)一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解， 也叫做一元二次方程的根.
典型例题-----21.1一元二次方程
例2：把下列方程 化成一般形式，并写出它的二 次项系数,一次项系数和常数项。
3x( x 1) 5( x 2) 3 2x 2x x
2
1 1 2 ( x 1) 3( x ) 2 3
1.确定各项系数必须先化一般形式. 2.系数和常数项除了数值外,还必须带符号.
方程，并利用一元二次方程模型解决简单的实 际问题。
教学重点和难点 教学重点:
一元二次方程的概念和一般形式 解一元二次方程的基本思路和方法(直接开平方法, 配方法,公式法,因式分解法) 运用一元二次方程分析和解决实际问题
教学难点:
配方法推导求根公式 用适当的方法解一元二次方程 运用一元二次方程分析和解决实际问题
面积问题 : : 典型例题-----21.3实际问题与一元二次方程
三.面积问题: 能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理 . 方程的两个根 都是正数，但 它们并不都是 问题的解，必 须根据它们值 的大小，来确 定哪一个更合 乎实际。
本章评价
1.一元二次方程的有关概念:考察能否用一元二次方程的 概念对方程的系数等做出判断.能否理解二次项系数不能为 0以及一元二次方程的概念.
2
教材教法建议-----21.1一元二次方程
二.配方法：
ax bx c 0(a 0)
2
(x n) p
2
二 次 项 系 数 为
x2 6 x 4 0
移项,把常数项移到等号右侧
x 6 x 4
2
6 ( )2 两边加9（即 2 ）
x 2 6 x 9 4 9
教材教法建议-----21.1一元二次方程
形成一元二次方程的概念有两种教学方式： 1、特殊到特殊（类比思维）， 从一元一次方程或二元一次方程概念类比得出一 元二次方程概念；
2、特殊到一般（归纳思维）， 若干现实问题→数学模型→概括得出一元二次方 程概念.
注重联系实际，培养建模思想，发展应用意识
典型例题-----21.1一元二次方程
对 比 化 归
配方法(原理和方法)
对一般形式配方
公式法 因式分解法
教材教法建议-----21.1一元二次方程
一.直接开平方法解一元二次方程：
2 形如关于 x p 的一元二次方程 ，可直接开平方求
解．
当 p 0时，根据平方根的意义，方程有两个不等 的实数根 x1 p , x2 p （容易忽略负根） 当 p 0 时，方程有两个相等的实根 x1 x2 0 2 x 当 p 0 时，因为对任意实数 ，都有 x 0 ，所以 方程无实数根。 注意:结合平方根的定义进行讲解.特别是对p的分类讨论,蕴 含了后面对判别式的分类讨论.
教材教法建议-----21.1一元二次方程
三.公式法：
归纳一元二次方程根的情况： 对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) ， 其中 b2 4ac 称为一元二次方程根的判别式 • ①当 0 时，原方程有两个不相等的实数根 • ②当 0 时，原方程有两个相等的实数根 • ③当 0 时，原方程没有实数根．
典型例题-----21.1一元二次方程
例3:当m为何值时,关于x的方程是一元二 次方程.
(m 2) x 3x 2 0
2
(m 1) x
m2 1
x 3 0
强化二次项系数不为0这个条件
典型例题-----21.1一元二次方程
例4:一元二次方程的根
1.在-4,-3,0,1,2中,是方程 x 2 x 12 0 的根的有(
思想方法
类比思想:对概念的讲解可类比一元一次方程. 化归思想:1.通过降次把一元二次方程化为 一元一次方程.2.通过配方把方程变为可直接 开平方的形式. 分类讨论思想:1.对形如 x 2 p 中p的讨论以 2 及对 b 4ac 的讨论. 建模思想:对实际问题的分析和解决.
课时的安排
本章教学时间约需13课时，具体分配如下 （仅供参考）： 22．1 一元二次方程 1课时
教材教法建议-----21.1一元二次方程
一.直接开平方法解一元二次方程：
可以由浅入深安排以下题型
x p(p 0)
2
bx 2 p(b, p同号,b 0) (x b) 2 p(p 0) m(x b) p(m, p同号,m 0)
2
m(nx b) p(m, p同号,m, n 0)
例1:判定下列关于x的方程是不是一元二次方程
(1)ax bx c 0
2
(2)(m2 3) x2 2x 2 0
1 (4) x 0 x
2
(3) x 0
2
(5)
பைடு நூலகம்
2 x x 1 (6)2 x x y 1
2
2
(7)3x(x 1) 3x2 5
课程学习目标
1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分 解法解数字系数的一元二次方程。 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否 有实根和两个实根是否相等。 3.了解一元二次方程的根与系数的关系。 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解 是否合理。 5 .能根据具体问题中的数量关系列出一元二次
本节主要讨论的是两个时间段的平均变化率
变化前数量×（1±x）²= 变化后数量
面积问题 : : 典型例题-----21.3实际问题与一元二次方程
三.面积问题:
分析: 1. 封面长宽之比27:21=9:7 2. 设中央矩形的长宽之比为9a 和7a (cm) 3. 得到上下边衬和左右边衬的宽度之比:
1 1 (27-9a): (21 7 a ) 2 2 9(3 a ) : 7(3 a ) 9:7
2.一元二次方程的解法:考察是否掌握解一元二次方程的 基本思想,能否根据一元二次方程的具体特点,灵活选择适 当的方法解方程.不要在字母系数的方程的解上追求复杂性.
3.根的判别式:考察能否正确计算根的判别式的值,并能依 据它判断一元二次方程根的情况.
本章评价
4.根与系数的关系:只要考察学生是否知道有关结论.
( x 3) 5
2
使左边配成 x2 2bx b2 的形式
1
等号两边同 时加一次项 系数一半的 平方
直接开平方
教材教法建议-----21.1一元二次方程
二.配方法： 二次项系数不为1:
ax2 bx c 0(a 0)
方程两边同时除以 二次项系数a b c 2 x x 0 不要配 a a
解题关键:找到等量关系,第二轮的传染源是(x+1) 人.
典型例题-----21.3实际问题与一元二次方程
常见类型包括细胞分裂、信息传播、疾 病传染、单循环等。 注意弄清每轮传播的源头与传播后的总 和。
典型例题-----21.3实际问题与一元二次方程
二.增长率问题 两年前生产一吨甲种药品的成本是5000元,生产一 吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步, 现在生产一吨甲种药品的成本是3000元,生产一吨 乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均 下降率较大?
)
2.若关于x的一元二次方程 x 2 mx 3 0 的一个根是1， 则m的值为（ ）
由根求待定系数
本章知识要点-----21.2解一元二次方程
方法:(直接开平方法),配方法,公式法,因式分解法 策略:降次-----化为一元一次方程(化归思想) 教材安排:
简单方程 复杂方程 直接开平方法
一、传播问题： 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流 感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 方程的解要 符合实际问 题的意义
列方程:
1 x x(1 x) 121
解方程,得 x 10, x 12(不合题意,舍去) 1 2 答:平均一个人传染了10个人.
教材教法建议---解一元二次方程（解法综合）
首选直接开方法.
其次考虑因式分解法.
再次对任何一元二次 方程均 可用公式法.
有特殊要求时，采用配方法. 在灵活选用具体解法时，要把重点放在分析方程的形式特 征上，并结合这些特征提出具体的有针对性的解法，让学 生自己感受这样选择的优势。
典型例题-----21.3实际问题与一元二次方程
注意:验证根的情况是用公式法解方程的第一步,一定 让学生养成先算判别式的习惯,避免用公式算到一半 才发现没有解.
教材教法建议-----21.1一元二次方程
四.因式分解法： 1.因式分解法解一元二次方程： 将一元二次方程的一边化为0，另一边分解 成两个一次式的乘积的形式，再使这两个 一次式分别等于0，从而实现降次，这种方 法叫做因式分解法． A B 0 A 0或B=0 2. 因式分解法算理： （A、B至少一个为0）
2 ( mx ) 成
的形式
二次项系数为1时的配方 方法
教材教法建议-----21.1一元二次方程
三.公式法：
一元二次方程求根公式： 2 ax bx c 0(a 0) ， 对于一元二次方程 当 0 时,方程的实数根可写为:
b b 2 4ac x 2a
避免了每次重复配方 体现了求解一元二次 方程共性的方法 最美的数学公式,蕴含了初中阶段的六种运算
5.一元二次方程的应用:考察学生能否掌握从实际问题 中找出数量关系,列出一元二次方程,解方程,将结果回 归到实际问题中,并关注方程的解是否符合实际意义.
谢 谢
教材教法建议-----21.1一元二次方程
3.用因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程右边化为0； ②将方程左边分解为两个一次式的积； ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程; ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 4.常用因式分解方法： 提取公因式法(包括整体提取)，平方差公式、完全平方 公式、十字相乘．
解:设甲种药品的年平均下降率为x.
区分下降额和下降率
2 a (1 x ) 公式:
5000(1 x)2 3000
解方程,得
x1 0.225, x2 1.775(舍)
方程的解符合实际意义
所以甲种药品的年平均下降率约为22.5%.
典型例题-----21.3实际问题与一元二次方程
二.增长率问题 两年前生产一吨甲种药品的成本是5000元,生产一 吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步, 现在生产一吨甲种药品的成本是3000元,生产一吨 乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均 下降率较大?
第二十一章
一元二次方程
教材分析
本章的地位与作用
一元一次方程七上 整式 代 数 式
有 理 式 无 理 式
七上
整式方程
去分母
二元一次方程（组）七下 降
消元
次
一元二次方程
分式
八上
分式方程
二次函数
本章的地位与作用
课标要求
• 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字
系数的一元二次方程； • 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两 个实根是否相等； • *了解一元二次方程的根与系数的关系； • 能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理 .
22．2
22．3
解一元二次方程
实际问题与一元二次方程
7课时
3课时
数学活动 小结
2课时
本章知识要点-----21.1一元二次方程
一元二次方程的有关概念 （一）一元二次方程的概念 等号两边都是整式, 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次 数是2的(二次)方程，叫做一元二次方程． （二）一元二次方程的一般形式: ax2 bx c 0(a 0) 要点诠释： 2 a 0 ax bx c 0 才是一元二次方程； （1）只有当 时，方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二 次方程各项系数时注意不要漏掉前面的符号．a为负值时,一般转化为正数. (三)一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解， 也叫做一元二次方程的根.
典型例题-----21.1一元二次方程
例2：把下列方程 化成一般形式，并写出它的二 次项系数,一次项系数和常数项。
3x( x 1) 5( x 2) 3 2x 2x x
2
1 1 2 ( x 1) 3( x ) 2 3
1.确定各项系数必须先化一般形式. 2.系数和常数项除了数值外,还必须带符号.
方程，并利用一元二次方程模型解决简单的实 际问题。
教学重点和难点 教学重点:
一元二次方程的概念和一般形式 解一元二次方程的基本思路和方法(直接开平方法, 配方法,公式法,因式分解法) 运用一元二次方程分析和解决实际问题
教学难点:
配方法推导求根公式 用适当的方法解一元二次方程 运用一元二次方程分析和解决实际问题
面积问题 : : 典型例题-----21.3实际问题与一元二次方程
三.面积问题: 能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理 . 方程的两个根 都是正数，但 它们并不都是 问题的解，必 须根据它们值 的大小，来确 定哪一个更合 乎实际。
本章评价
1.一元二次方程的有关概念:考察能否用一元二次方程的 概念对方程的系数等做出判断.能否理解二次项系数不能为 0以及一元二次方程的概念.
2
教材教法建议-----21.1一元二次方程
二.配方法：
ax bx c 0(a 0)
2
(x n) p
2
二 次 项 系 数 为
x2 6 x 4 0
移项,把常数项移到等号右侧
x 6 x 4
2
6 ( )2 两边加9（即 2 ）
x 2 6 x 9 4 9
教材教法建议-----21.1一元二次方程
形成一元二次方程的概念有两种教学方式： 1、特殊到特殊（类比思维）， 从一元一次方程或二元一次方程概念类比得出一 元二次方程概念；
2、特殊到一般（归纳思维）， 若干现实问题→数学模型→概括得出一元二次方 程概念.
注重联系实际，培养建模思想，发展应用意识
典型例题-----21.1一元二次方程
对 比 化 归
配方法(原理和方法)
对一般形式配方
公式法 因式分解法
教材教法建议-----21.1一元二次方程
一.直接开平方法解一元二次方程：
2 形如关于 x p 的一元二次方程 ，可直接开平方求
解．
当 p 0时，根据平方根的意义，方程有两个不等 的实数根 x1 p , x2 p （容易忽略负根） 当 p 0 时，方程有两个相等的实根 x1 x2 0 2 x 当 p 0 时，因为对任意实数 ，都有 x 0 ，所以 方程无实数根。 注意:结合平方根的定义进行讲解.特别是对p的分类讨论,蕴 含了后面对判别式的分类讨论.
教材教法建议-----21.1一元二次方程
三.公式法：
归纳一元二次方程根的情况： 对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) ， 其中 b2 4ac 称为一元二次方程根的判别式 • ①当 0 时，原方程有两个不相等的实数根 • ②当 0 时，原方程有两个相等的实数根 • ③当 0 时，原方程没有实数根．
典型例题-----21.1一元二次方程
例3:当m为何值时,关于x的方程是一元二 次方程.
(m 2) x 3x 2 0
2
(m 1) x
m2 1
x 3 0
强化二次项系数不为0这个条件
典型例题-----21.1一元二次方程
例4:一元二次方程的根
1.在-4,-3,0,1,2中,是方程 x 2 x 12 0 的根的有(
思想方法
类比思想:对概念的讲解可类比一元一次方程. 化归思想:1.通过降次把一元二次方程化为 一元一次方程.2.通过配方把方程变为可直接 开平方的形式. 分类讨论思想:1.对形如 x 2 p 中p的讨论以 2 及对 b 4ac 的讨论. 建模思想:对实际问题的分析和解决.
课时的安排
本章教学时间约需13课时，具体分配如下 （仅供参考）： 22．1 一元二次方程 1课时
教材教法建议-----21.1一元二次方程
一.直接开平方法解一元二次方程：
可以由浅入深安排以下题型
x p(p 0)
2
bx 2 p(b, p同号,b 0) (x b) 2 p(p 0) m(x b) p(m, p同号,m 0)
2
m(nx b) p(m, p同号,m, n 0)
例1:判定下列关于x的方程是不是一元二次方程
(1)ax bx c 0
2
(2)(m2 3) x2 2x 2 0
1 (4) x 0 x
2
(3) x 0
2
(5)
பைடு நூலகம்
2 x x 1 (6)2 x x y 1
2
2
(7)3x(x 1) 3x2 5
课程学习目标
1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分 解法解数字系数的一元二次方程。 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否 有实根和两个实根是否相等。 3.了解一元二次方程的根与系数的关系。 4.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解 是否合理。 5 .能根据具体问题中的数量关系列出一元二次
本节主要讨论的是两个时间段的平均变化率
变化前数量×（1±x）²= 变化后数量
面积问题 : : 典型例题-----21.3实际问题与一元二次方程
三.面积问题:
分析: 1. 封面长宽之比27:21=9:7 2. 设中央矩形的长宽之比为9a 和7a (cm) 3. 得到上下边衬和左右边衬的宽度之比:
1 1 (27-9a): (21 7 a ) 2 2 9(3 a ) : 7(3 a ) 9:7
2.一元二次方程的解法:考察是否掌握解一元二次方程的 基本思想,能否根据一元二次方程的具体特点,灵活选择适 当的方法解方程.不要在字母系数的方程的解上追求复杂性.
3.根的判别式:考察能否正确计算根的判别式的值,并能依 据它判断一元二次方程根的情况.
本章评价
4.根与系数的关系:只要考察学生是否知道有关结论.
( x 3) 5
2
使左边配成 x2 2bx b2 的形式
1
等号两边同 时加一次项 系数一半的 平方
直接开平方
教材教法建议-----21.1一元二次方程
二.配方法： 二次项系数不为1:
ax2 bx c 0(a 0)
方程两边同时除以 二次项系数a b c 2 x x 0 不要配 a a
解题关键:找到等量关系,第二轮的传染源是(x+1) 人.
典型例题-----21.3实际问题与一元二次方程
常见类型包括细胞分裂、信息传播、疾 病传染、单循环等。 注意弄清每轮传播的源头与传播后的总 和。
典型例题-----21.3实际问题与一元二次方程
二.增长率问题 两年前生产一吨甲种药品的成本是5000元,生产一 吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步, 现在生产一吨甲种药品的成本是3000元,生产一吨 乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均 下降率较大?