一阶动态电路分析

S
＋ uC －
i(t) R
US
R
－ ＋
(a)
(b)
图 3.13 例3.2电路
第3章 一阶动态电路分析 解 由换路定则， uC(0+)=uC(0-)=12 V t=0+时S闭合，初始值等效电路如图3.13(b)所示，
i(0)US 122A R6
电路的时间常数τ τ=RC=6×1×10-6=6×10-6 s
1 H=10 3 mH=10 6 μH
第3章 一阶动态电路分析 在图3.4所示的关联参考方向下，电感的磁链与电
φ(t)=Li(t)
(3.7)
式中, L既表示电感元件，也表示电感元件的参数。
第3章 一阶动态电路分析
i
L
＋ uL －
(a)
0
i
(b)
图 3.4 电感元件及韦—安特性
第3章 一阶动态电路分析
第3章 一阶动态电路分析
－ ＋
1
S
R1
iL
L
2
iR
iC
US R2
R3
C
图 3.10 例3.1电路图
第3章 一阶动态电路分析
解 因t<0时，电路处于稳态，故
iL(0)
US R1 R2
24 24
4A
uC(0) UR3 4416V
由换路定则，
iL(0 +)= iL(0-)=4 A uC(0 +)=uC(0-)=16 V t=0 +时的等效电路如图3.11所示。
第3章 一阶动态电路分析
电容元件用C来表示。C也表示电容元件储存电荷 的能力，在数值上等于单位电压加于电容元件两端时， 储存电荷的电量值。在国际单位制中，电容的单位为 法拉，简称法，用F表示。电容的单位也常用微法(μF)、 皮法(pF), 它们与F
1F=10 +6μF=1012 pF
若参考正方向一致，则电容储存的电荷量q与其极 板电压u(t)成线性关系，如图3.3所示：
式中，若iC为有限值，不发生突变，则在无穷小区间
t(0-) 到t(0+)，积分项
0
0 iC()d 0
(3.18)
第3章 一阶动态电路分析
S US
R
＋
C
u －
C
－ ＋
图3.9 RC电路的换路示例
第3章 一阶动态电路分析
所以，从t(0 +-)到t(0 ++)时刻,
uC(0+) = uC(0-)
(3.19)
上式表明，电容两端的电压在电容电流为有限值
的情况下，在换路时刻是不会突变的。
同理，由电感的伏安关系，在换路时刻，电感电
iL(0)iL(0)L 100 u(L )d
(3.20)
在uL为有限值情况下，积分项也等于0，故
iL(0 +)=iL(0-)
(3.21)
第3章 一阶动态电路分析
3.3.2 初始值的计算 电路中储能元件的初始值(电容电压和电感电流)可
(1) 计算初始值f(0): 可通过换路定则和等效电路进 行。
(2) 计算稳态值f(∞):
第3章 一阶动态电路分析
一阶动态电路进入稳态后，电容相当于开路，电 感相当于短路，从而可以得到一个不电容和电感的电 路，该电路即为相应的动态电路进入稳态后的情况。 从中可以方便地求出各响应量的稳态值。
(3) 计算时间常数τ： 一阶RC电路的时间常数τ=RC，一阶RL电路时间常 数τ=L/R。其中R为从动态元件两端看入, 除源后电路的 等效电阻。遇有多个C和L的串并联电路，可先除源， 再求出等效的C和L。
0 i( )d 1
t
i( )d
C
C0
U (0) 1
t
i( )d
C0
（3.4)
第3章 一阶动态电路分析
式中，U(0)表示从负无穷大到t=0时刻电容所积累 的电压值，即初始值。这也从数学上解释了初始值的 含义。
电容元件的功率为
p(t)u(t)i(t)Cdu(ut) (3.5) dt
电容元件t
直流电压，则i=0。这就是电容的一个明显特征：通高
频，阻低频；通交流，阻直流。
第3章 一阶动态电路分析 如果知道电流，那么就可求出电容两端的电压：
u(t)1 t i()d
C
（3.3)
在实际计算中，电路常从某一时刻t=0算起，即从
某一初始电压u(0)开始，
u(t) 1
t
i( )d
C
1
－ ＋
R US
＋
C
u －
C
R
IS L
(a )
(b)
图3.1 简单的一阶动态电路
第3章 一阶动态电路分析
第3章 一阶动态电路分析
第3章 一阶动态电路分析
3.2
3.2.1 电容是电路中最常见的基本元件之一。两块金属
板之间用介质隔开，就构成了最简单的电容元件。若 在其两端加上电压，二个极板间就会建立电场，储存 电能。
f(t) =f(0 +)e-t/τ
(3.26)
从式(3.25)和(3.26)可以看出，一阶电路的全响应就是电路 的零输入响应与零状态响应的叠加：
f(t) =f(∞)+［f(0 +)-f(∞)e- t/τ=f(0+)e-t/τ+f(∞)(1-e-t/τ)
第3章 一阶动态电路分析
例3.2 如图3.13(a)所示的电容C放电电路，已知 uC(0-)=U0=12 V，C=1μF，R=6Ω，求放电过程中uC(t)及 i(t)，并从电压变化说明时间常数τ的含义。
第3章 一阶动态电路分析
… ＋
u C1
C2
Cn
－ …
＋ uC －
图3.6 电容并联
第3章 一阶动态电路分析
3． 电感串联
L1, L2，…，Ln并联，可以等效为一个电感L。等效 电感L等于各个串联电感之和,
L=L 1+L 2+…+L n 如图3.7所示。
(3.15)
第3章 一阶动态电路分析
i ＋
WC(t)
t
p()d
t Cu(t) du()d
d
t
Cu()du() u()
1 Cu2(t) 1 Cu2()
2
2
第3章 一阶动态电路分析
在t=-∞时刻，电容储能为0，故
WC(t)
1Cu2(t) 2
(3.6)
3.2.2 电感元件用L表示。L也表示电感元件中通过电流
时产生磁链的能力，在数值上等于单位电流通过电感 元件时产生磁链的绝对值。在国际单位制中，L的单位 为亨利，简称亨，用H表示。电感的单位也常用毫亨 (mH)、微亨(μH)，它们与H
由换路定则确定, (1) 由换路定则求出uC(0+)和iL(0+) (2) 用uS=uC(0+)的电压源、iS= iL(0+)的电流源替换
电容元件和电感元件，得到t(0+) 时刻的等效电路。 (3) 求解置换后的等效电路，可得到其它电量的初
始值。
第3章 一阶动态电路分析
例3.1 如图3.10所示，t=0，开关S由1扳向2，t<0时电路 处于稳态。已知R1=2Ω，R 2=2Ω，R3=4Ω，L=1mH，C=5μF， US=24V，求换路后的初始值iL(0+)、iC(0+)和uC(0+)。
1 1 1 ... 1
C C1 C2
Cn
如图3.5所示。
(3.13)
第3章 一阶动态电路分析
＋ C1 C2
u
Cn －
…
＋ uC －
图 3.5 电容串联
第3章 一阶动态电路分析
2. C1，C 2，…，Cn并联，可以等效为一个电容C。等 效电容C等于各个并联电容之和，
C= C1 + C 2 +…+C n (3.14) 如图3.6所示。
q(t)=Cu(t)
(3.1)
第3章 一阶动态电路分析
i ＋ uC － ＋q C －q
q
0
u
(a)
(b)
图 3.3 电容元件及其库—伏特性
第3章 一阶动态电路分析
i dqC du
(3.2)
dt dt
上式说明，电容元件的伏安关系为微分关系，通
过电容元件的电流与该时刻电压的变化率成正比。显
然，电压变化率越大，通过的电流就越大；如果加上
第3章 一阶动态电路分析
4A
iR
R2 R3
iC
＋
16 V
－
图3.11 例3.1等效电路图
第3章 一阶动态电路分析
3.4
3.4.1一阶电路分析 如图3.12所示的RC电路，t=0时闭合S，闭合前u
C(0-)= 0，求uC(t)。
第3章 一阶动态电路分析
S US
R
i
＋ C uC
－
－ ＋
图3.12 RC电路图
t
uC(t)US Ae
(3.22)
其中，τ=RC，A为积分常数。
将t=0 +代入式(3.22),
uC(0+)=US+A=U0
则 A= U0 - US
最后得到
uC(t)=
US
+(U0
-
US)
e
t
(3.23)
第3章 一阶动态电路分析

式中，US为电容的最终充电电压，即t=∞时，uC(∞)= US，该值称为响应的稳态值，用f(∞) 表示； τ=RC，是由 电路参数决定的常数，具有时间量纲，称为时间常数；
U0为响应的初始值，用f(0+)表示。f(0+)、f(∞)和τ称为一阶 电路的三要素，利用这三要素可以很容易地求出一阶电
路的全响应，即
f(t)=f(∞)+［f(0 +)- f(∞) ］
t
e
(3.24)
第3章 一阶动态电路分析
3.4.2 一阶电路可以通过微分方程来求解，也可以直接
用三要素来求解，即对任何响应量f(t)，均可以先求出 该响应的稳态值f(∞)、初始值f(0+)和电路的时间常数τ 这三个量，然后代入公式(3.24)，即可得到响应的解。 这种分析方法，称为一阶电路的三要素分析法。具体
L1
L2 u
i ＋
uL
…
Ln
－
－
图3.7 电感的串联
第3章 一阶动态电路分析
4．
L1，L2，…，Ln并联，可以等效为一个电感L。等 效电感的倒数等于各个并联电感的倒数之和，
1 1 1 ... 1
L L1 L2
Ln
如图3.8所示。
(3.16)
第3章 一阶动态电路分析
… ＋i
u L1
L2
Ln
－ …
第3章 一阶动态电路分析
如 图 3.12 所 示 的 RC 电 路 ， t=0 时 闭 合 S ， 闭 合 前 uC(0+)=U0，求uC(t)。
当t=0 +，S闭合后，由KVL
uS=uR+uC
又
iCddC ut,uRi
RRC dC u dt
KVL
RC
duC dt
uC
US
uc(0) U
第3章 一阶动态电路分析
电路进入稳态后(电容放电结束) uC(∞)=0, i(∞)=0
第3章 一阶动态电路分析
所以 uC(t)=u0 e-t/τ=12ee-t/τ V i=2e-t/τA
若令t=τ，2τ，3τ，…，∞， u(τ)=U0e-1 =0.368 U0= u(2τ)=U0e-2 =0.135U0= u(3τ)=U0e-3 =0.050U0= …= u(∞)=0
第3章 一阶动态电路分析
例3.3 如图3.14(a)所示电路，t=0时，开关闭合，S闭 合前电路处于稳态，R1=4Ω，R2=2Ω,R3=2 Ω,C=5 μF,求t≥0 时的uC(t),iC(t),i(t)。
－
＋
R1 i(t)
12 V
R2
S
iC(t)
第3章 一阶动态电路分析
一阶动态电路分析
第3章 一阶动态电路分析
3.1
3.1.1 动态电路 一阶动态电路为仅含有一种储能元件的电路,即电
路要么仅含有电容元件, 要么仅含有电感元件。图 3.1(a) , (b)所示为常见的充电电路和线圈励磁电路,它们 即为最简单的RC和RL一阶动态电路。
第3章 一阶动态电路分析
第3章 一阶动态电路分析 3.4.3
f(t)=f(∞)+［f(0 +)-f(∞)］e-t/τ 式中，［f(0 +)-f(∞)］e-t/τ为随时间呈指数规律衰减项， 该项在t→∞时，衰减到0，称为暂态分量；另一部分 f(∞)是动态电路进入稳态后的响应量，称为稳态分量。
第3章 一阶动态电路分析 若电路的初始值f(0 +)=0， f(t)=f(∞)(1-e-t/τ) (3.25) 上式即为一阶电路的零状态响应。 若电路没有外加电源时，稳态值f(∞)=0，则电路的零输入
u(t)d(t)Ld(it)
dt
dt
(3.8)
上式表明，电感元件的伏安关系为微分关系，元
件两端的电压与该时刻电流的变化率成正比。显然，
电流的变化率越大，则U越大。而在直流电路中，
UL=0，电感相当于短路。
如果已知电压，则可求出对应的电流:
i(t)1 t u()d L
(3.9)
第3章 一阶动态电路分析
仿照对电容的分析方法，从t=0
i(t)i(t)L 1tu()d
电感元件的功率关系为
di ( t )
p(t)=i(t)u(t)=Li(t)· dt
(3.10) (3.11)
W L(t) tp()d1 2L2(it) (3.12)
第3章 一阶动态电路分析
3.2.3 电容、电感的串、
1. C1，C 2，…，Cn串联，可以等效为一个电容C。等 效电容C的倒数等于各个串联电容的倒数之和，
＋i
u
L
－
图3.8 电感的并联
第3章 一阶动态电路分析
3.3
3.3.1 如图3.9所示电路，t=0时，S闭合，S闭合前uC(0-)=U。 由 电 容 的 伏 安 关 系 ， 可 得 t=(0+) 时 ，
u C (0 ) u C (0 ) C 10 0 iC ()d iL (0 ) (3.17)