1-微分方程模型及应用

问题分析：



对于人口的增长预测问题，实际上前人已经作了很多研究，并已经 产生了一些较为成熟的模型。然而本题要求从中国的实际情况和老 龄化加速、出生人口性别比持续升高、乡村人口城镇化等特点出发， 建立中国人口增长的数学模型，因此，如何在模型中体现出上述特 点将是建模的重点，也是难点所在。 通过对附录2的数据分析发现，60岁以上人口，即老龄人口的死亡 率较高，老龄化的加速主要体现在人口的平均死亡率的提高；而出 生人口性别比持续升高则体现为女性人口在总人口中的比重降低， 导致新生人口数量改变；相似地，农村人口迁到城镇后，受当地经 济、文化、环境等因素的影响，其对应的生育率、死亡率、出生人 口性别比都会产生改变；因此，死亡率和出生人口性别比以及迁移 率的改变，势必会对人口的总体增长产生影响。而中国人口的上述 特点正是通过以上的几个指标对人口的总量改变施加影响。 基于以上考虑，本题的建模过程就是寻找人口总量和生育率、死亡 率、出生人口性别比、以及迁移率函数关系的过程。
例1：马尔萨斯（Malthus）人口模型
例1：马尔萨斯（Malthus）人口模型
例1：马尔萨斯（Malthus）人口模型
例1：马尔萨斯（Malthus）人口模型
例1：马尔萨斯（Malthus）人口模型
例1：马尔萨斯（Malthus）人口模型
例1：马尔萨斯（Malthus）人口模型
例1：马尔萨斯（Malthus）人口模型
例2：洛杰斯蒂克（Logistic）模型
例2：洛杰斯蒂克（Logistic）模型

r(x)是未知函数，但根据实际背景，它无法用 拟合方法来求。为了得出一个有实际意义的模 型，我们不妨采用一下工程师原则，工程师们 在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可 能简单的方法，r(x)最简单的形式是常数，此 时得到的就是Malthus模型，而对Malthus模型 的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）
例3：传染病模型

在20世纪初，瘟疫常在世界上某地流行，随着人 类文明的不断进步，很多疾病，诸如天花、霍 乱已经得到有效的控制．然而，即使在今天，一 些贫穷的发展中国家，仍出现传染病流行的现象， 研究传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方 法 显 然 是 一 件 非 常 有 意 义 的 工 作 。 医疗卫生部门的官员与专家所关注的问题是： （1）感染上疾病的人数与哪些因素有关 （2）如何预报传染病高潮的到来．
例1：马尔萨斯（Malthus）人口模型


马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一 番所需的时间是固定的。 模型预测：假如人口数量真能保持每34.6年增 加一倍，那么人口数量将以等比级数方式增长， 例如，到2510年人口达到20万亿，即使海洋 全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活 动范围，而到2670年，人口达到360万亿，只 好一个人站在另一个人的肩膀上排成二层了， 故Malthus模型是不完善的。
例3：传染病模型（模型一）

医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染 病流行时，波及到的总人数大体上保持为一个 常数，即既非所有人都会得病也非毫无规律， 两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太 大，如何解释这一现象呢？试用建模方法来加 以证明。
例3：传染病模型（模型一）


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问题假设： (1)设某地区共有n人. （2）一人得病后，既不会康复，也不会在传 染期内 死亡。 （3）单位时间内每个已感染者将疾病传播给 k0个人（k0为常数)。
例3：传染病模型SI（模型二）
缺点：当t→∞时，I(t) → n，这表示所有的人最
终都将成为病人，这一点与实际情况不 符合。
原因：这是由假设〔2)所导致，没有考虑病人可
以治愈及病人病发身亡的情况。
改进关键：考虑有病人治愈或病发身亡的情况，
再对模型进行修改。
例3：传染病模型SIR（模型三）
某些传染病如麻疹等，治愈后均有很强的免疫力， 所以病愈的人既非健康人，也非病人。 模型假设： （1）人群分为健康者（易感染者）、病人、病愈 免疫者（含死亡者）三类， 具有免疫力的人数为 r(t)，则有s(t)+i(t)+r(t)＝n。 （2）单位时间内，一个病人传染的人数与当时 健康者人数成正比，比例系数为k （3）在单位时间内，病愈免疫的人数与当时病 人人数成正比，比例系数为μ
问题分析




考虑到人口的年龄结构、人口的地域结构以及 人口的性别结构和人口的数量一起已经成为中 国人口问题的核心问题，模型的建立还应当考 虑如下问题： 能够预测每个年龄段人口的变化趋势，进而可 以分析年龄结构的变化趋势。 能够区别城乡人口增长趋势的差异，进而得到 乡村人口向城镇转移对人口增长的影响。 能够体现政策控制对人口增长的影响，模型中 包含国家可以调控的因子。
为什么假设不会死亡？ （因为死亡后便不会再传播疾病，因 而可认为此时已退出系统）
例3：传染病模型SI（模型一）
模型建立： I（t）——表示t时刻病人的数量，时间：天 则：I（t+Δt）—I（ t）＝k0I（t） Δ t 于是模型如下：
dI k0 I (t ) dt I ( 0) I 0
例2：洛杰斯蒂克（Logistic）模型


结果：在销售量小于最大需求量的一半时，销 售速度是不断增大的；销售量达到最大需求量 的一半时，该产品最为畅销，接着销售速度将 开始下降。 所以初期应采取小批量生产并加大广告宣传， 从有20％用户到有80％用户这段时间应该大批 量生产，后期则应适时转产，这样做可以取得 较高的经济效益。
ds k dr ksi s 对（3）式求导得： dt dt
分离变量并积分得
1 r (t )
s(t ) s0e
k r (t )

记

k
，则 s(t ) s0 e

di ds ds ds i 由（1）式可得 dt dt dt s dt
例1：马尔萨斯（Malthus）人口模型


Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时 才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之 间由于有限的生存空间、有限的自然资源及食 物等因素，就可能发生生存竞争现象。 所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能 始终保持常数，它应该与人口数量有关。
例2：洛杰斯蒂克（Logistic）模型
2
ln(
计算高峰期得： t0
I0 kn
1)
意义： 1、当传染系数k或n增大时，t0随之减少，表示传 染高峰随着传染系数与总人数的增加而更快 的来临，这与实际情况比较符合。 2、令λ=kn，表示每个病人每天有效接触的平均 人数，称日接触率。t0与 λ成反比。 λ表示该 地区的卫生水平， λ越小卫生水平越高。故 改善卫生水平可推迟传染病高潮的来临。
模型建立

本文首先使用学生化残差方法对附件中的数据 进行了分析，并对其中的异常数据进行了剔除 处理。在此数据基础上，将人口老龄化、出生 性别比以及乡村人口城镇化等不易量化的因素， 转化为人口的死亡率、生育率、出生人口性别 比、以及城镇乡人口的变化（迁移率）等指标， 并对常用的Leslie模型进行了一定程度的改进， 建立了差分方程模型。
例3：传染病模型


不同类型传染病的传播过程有不同的特点。故 不从医学的角度对各种传染病的传播过程一一 进行分析，而是按一般的传播机理建立模型． 由于传染病在传播的过程涉及因素较多，在分 析问题的过程中，不可能通过一次假设建立完 善的数学模型． 思路是：先做出最简单的假设，对得出的结果 进行分析，针对结果中的不合理之处，逐步修 改假设，最终得出较好的模型。
例3：传染病模型SIR （模型三）
di (1) dt ksi i dr i (2) dt (3) s (t ) i (t ) r (t ) n i (0) i , r(0)=0,s (0) n i s 0 0 0
例3：传染病模型SIR （模型三）
例2：洛杰斯蒂克（Logistic）模型


其他例子：经济学家和社会学家一直都很关心 新产品的推销速度问题。第二次世界大战后日 本家电业界建立了一个电饭煲推销模型。 设需求量有一个上界K，记t时刻已销售出的电 饭煲数量为x(t)，则尚未使用的人数大致为Kx(t), 于是由统计筹算律，就是Logistic模型。
微分方程及其应用
主要内容： （1）一些经典的微分方程模型

（2）微分方程的稳定性分析
（3）微分方程的数值解法
微分方程模型
一般来说，利用微分方程模型解决一个实际问题， 可以按照如下步骤： （1）给出问题所涉及的原理或物理定律； （2）寻求问题中各个函数与变量之间的内在关系； （3）列出微分方程； （4）列出该微分方程的初始条件或其他条件； （5）求解微分方程； （6）求出实际问题的解答。
模型的解：
I (t ) I 0 e k0t
例3：传染病模型SI（模型一）
问题：此模型即为Malthus模型，它大体上反映 了传染病流行初期的病人增长情况，在医学上有 一定的参考价值。但随着时间的推移，病人的数 目将无限增加，这一点与实际情况不符． 原因：当不考虑传染病期间的出生、死亡和迁移 时，一个地区的总人数可视为常数。因此 k0应为 时间t的函数。在传染病流行初期， k0较大，随 着病人的增多，健康人数减少， 被传染的机会 也减少，于是k0将变小。 模型修改的关键： k0的变化规律
例2：洛杰斯蒂克（Logistic）模型


除了以上的统计，还有很多的学者对Logistic模型的结 果进行了验证。1945年克朗皮克（Crombic）做了一个 人工饲养小谷虫的实验，数学生物学家高斯（Gauss） 也做了一个原生物草履虫的实验，实验结果都和 Logistic曲线十分吻合。 大量实验资料表明：用Logistic模型来描述种群的增长， 效果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一 个盛有0.5立方厘米的营养液的小试管，他发现，开始 时草履虫以每天230.9％的速率增长，此后增长速度不 断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与 Logistic曲线几乎完全重合。
方程的解：
I (t ) n n knt 1 1e I 0
例3：传染病模型（模型二）
传染病人数与时间t关系
传染病人数的变化率与时间t 的关系 增长速度由低增至最高后 降落下来
传染病人数由开始到高峰并 逐渐达到稳定
例3：传染病模型（模型二） n
此时
d I 0 2 dt
例3：传染病模型SI（模型二）
设t时刻健康人数为S(t)．
模型假设： （1）总人数为n，I(t)十S(t)＝n
（2）一人得病后，久治不愈，且在传染期内不
会死亡。 （3）一个病人在单位时间内传染的人数与当时 健康的人数成正比，比例系数为k（称之为 传染系数）
例3：传染病模型（模型二）
dI .I ( k S(t ) t ) dt I (0) I 0
例2：洛杰斯蒂克（Logistic）模型
例2：洛杰斯蒂克（Logistic）模型
例2：洛杰斯蒂克（Logistic）模型
例2：洛杰斯蒂克（Logistic）模型
例2：洛杰斯蒂克（Logistic）模型
例2：洛杰斯蒂克（Logistic）模型
2007年A题：中国人口增长预测



中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关 键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中 国人口做出分析和预测是一个重要问题。 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄 化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城 镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发 布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进 一步的分析。 关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据 资料。见附录2。试从中国的实际情况和人口增长的上述 特点出发，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国 人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们 模型中的优点与不足之处。