1-微分方程模型及应用

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问题分析:



对于人口的增长预测问题,实际上前人已经作了很多研究,并已经 产生了一些较为成熟的模型。然而本题要求从中国的实际情况和老 龄化加速、出生人口性别比持续升高、乡村人口城镇化等特点出发, 建立中国人口增长的数学模型,因此,如何在模型中体现出上述特 点将是建模的重点,也是难点所在。 通过对附录2的数据分析发现,60岁以上人口,即老龄人口的死亡 率较高,老龄化的加速主要体现在人口的平均死亡率的提高;而出 生人口性别比持续升高则体现为女性人口在总人口中的比重降低, 导致新生人口数量改变;相似地,农村人口迁到城镇后,受当地经 济、文化、环境等因素的影响,其对应的生育率、死亡率、出生人 口性别比都会产生改变;因此,死亡率和出生人口性别比以及迁移 率的改变,势必会对人口的总体增长产生影响。而中国人口的上述 特点正是通过以上的几个指标对人口的总量改变施加影响。 基于以上考虑,本题的建模过程就是寻找人口总量和生育率、死亡 率、出生人口性别比、以及迁移率函数关系的过程。
例1:马尔萨斯(Malthus)人口模型
例1:马尔萨斯(Malthus)人口模型
例1:马尔萨斯(Malthus)人口模型
例1:马尔萨斯(Malthus)人口模型
例1:马尔萨斯(Malthus)人口模型
例1:马尔萨斯(Malthus)人口模型
例1:马尔萨斯(Malthus)人口模型
例1:马尔萨斯(Malthus)人口模型
例2:洛杰斯蒂克(Logistic)模型
例2:洛杰斯蒂克(Logistic)模型

r(x)是未知函数,但根据实际背景,它无法用 拟合方法来求。为了得出一个有实际意义的模 型,我们不妨采用一下工程师原则,工程师们 在建立实际问题的数学模型时,总是采用尽可 能简单的方法,r(x)最简单的形式是常数,此 时得到的就是Malthus模型,而对Malthus模型 的最简单的改进就是引进一次项(竞争项)
例3:传染病模型

在20世纪初,瘟疫常在世界上某地流行,随着人 类文明的不断进步,很多疾病,诸如天花、霍 乱已经得到有效的控制.然而,即使在今天,一 些贫穷的发展中国家,仍出现传染病流行的现象, 研究传染病流行的规律并找出控制疾病流行的方 法 显 然 是 一 件 非 常 有 意 义 的 工 作 。 医疗卫生部门的官员与专家所关注的问题是: (1)感染上疾病的人数与哪些因素有关 (2)如何预报传染病高潮的到来.
例1:马尔萨斯(Malthus)人口模型


马尔萨斯模型的一个显著特点:种群数量翻一 番所需的时间是固定的。 模型预测:假如人口数量真能保持每34.6年增 加一倍,那么人口数量将以等比级数方式增长, 例如,到2510年人口达到20万亿,即使海洋 全部变成陆地,每人也只有9.3平方英尺的活 动范围,而到2670年,人口达到360万亿,只 好一个人站在另一个人的肩膀上排成二层了, 故Malthus模型是不完善的。
例3:传染病模型(模型一)

医生们发现,在一个民族或地区,当某种传染 病流行时,波及到的总人数大体上保持为一个 常数,即既非所有人都会得病也非毫无规律, 两次流行(同种疾病)的波及人数不会相差太 大,如何解释这一现象呢?试用建模方法来加 以证明。
例3:传染病模型(模型一)


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问题假设: (1)设某地区共有n人. (2)一人得病后,既不会康复,也不会在传 染期内 死亡。 (3)单位时间内每个已感染者将疾病传播给 k0个人(k0为常数)。
例3:传染病模型SI(模型二)
缺点:当t→∞时,I(t) → n,这表示所有的人最
终都将成为病人,这一点与实际情况不 符合。
原因:这是由假设〔2)所导致,没有考虑病人可
以治愈及病人病发身亡的情况。
改进关键:考虑有病人治愈或病发身亡的情况,
再对模型进行修改。
例3:传染病模型SIR(模型三)
某些传染病如麻疹等,治愈后均有很强的免疫力, 所以病愈的人既非健康人,也非病人。 模型假设: (1)人群分为健康者(易感染者)、病人、病愈 免疫者(含死亡者)三类, 具有免疫力的人数为 r(t),则有s(t)+i(t)+r(t)=n。 (2)单位时间内,一个病人传染的人数与当时 健康者人数成正比,比例系数为k (3)在单位时间内,病愈免疫的人数与当时病 人人数成正比,比例系数为μ
问题分析




考虑到人口的年龄结构、人口的地域结构以及 人口的性别结构和人口的数量一起已经成为中 国人口问题的核心问题,模型的建立还应当考 虑如下问题: 能够预测每个年龄段人口的变化趋势,进而可 以分析年龄结构的变化趋势。 能够区别城乡人口增长趋势的差异,进而得到 乡村人口向城镇转移对人口增长的影响。 能够体现政策控制对人口增长的影响,模型中 包含国家可以调控的因子。
为什么假设不会死亡? (因为死亡后便不会再传播疾病,因 而可认为此时已退出系统)
例3:传染病模型SI(模型一)
模型建立: I(t)——表示t时刻病人的数量,时间:天 则:I(t+Δt)—I( t)=k0I(t) Δ t 于是模型如下:
dI k0 I (t ) dt I ( 0) I 0
例2:洛杰斯蒂克(Logistic)模型


结果:在销售量小于最大需求量的一半时,销 售速度是不断增大的;销售量达到最大需求量 的一半时,该产品最为畅销,接着销售速度将 开始下降。 所以初期应采取小批量生产并加大广告宣传, 从有20%用户到有80%用户这段时间应该大批 量生产,后期则应适时转产,这样做可以取得 较高的经济效益。
ds k dr ksi s 对(3)式求导得: dt dt
分离变量并积分得
1 r (t )
s(t ) s0e
k r (t )



k
,则 s(t ) s0 e

di ds ds ds i 由(1)式可得 dt dt dt s dt
例1:马尔萨斯(Malthus)人口模型


Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时 才合理,到总数增大时,生物群体的各成员之 间由于有限的生存空间、有限的自然资源及食 物等因素,就可能发生生存竞争现象。 所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能 始终保持常数,它应该与人口数量有关。
例2:洛杰斯蒂克(Logistic)模型
2
ln(
计算高峰期得: t0
I0 kn
1)
意义: 1、当传染系数k或n增大时,t0随之减少,表示传 染高峰随着传染系数与总人数的增加而更快 的来临,这与实际情况比较符合。 2、令λ=kn,表示每个病人每天有效接触的平均 人数,称日接触率。t0与 λ成反比。 λ表示该 地区的卫生水平, λ越小卫生水平越高。故 改善卫生水平可推迟传染病高潮的来临。
模型建立

本文首先使用学生化残差方法对附件中的数据 进行了分析,并对其中的异常数据进行了剔除 处理。在此数据基础上,将人口老龄化、出生 性别比以及乡村人口城镇化等不易量化的因素, 转化为人口的死亡率、生育率、出生人口性别 比、以及城镇乡人口的变化(迁移率)等指标, 并对常用的Leslie模型进行了一定程度的改进, 建立了差分方程模型。
例3:传染病模型


不同类型传染病的传播过程有不同的特点。故 不从医学的角度对各种传染病的传播过程一一 进行分析,而是按一般的传播机理建立模型. 由于传染病在传播的过程涉及因素较多,在分 析问题的过程中,不可能通过一次假设建立完 善的数学模型. 思路是:先做出最简单的假设,对得出的结果 进行分析,针对结果中的不合理之处,逐步修 改假设,最终得出较好的模型。
例3:传染病模型SIR (模型三)
di (1) dt ksi i dr i (2) dt (3) s (t ) i (t ) r (t ) n i (0) i , r(0)=0,s (0) n i s 0 0 0
例3:传染病模型SIR (模型三)
例2:洛杰斯蒂克(Logistic)模型


其他例子:经济学家和社会学家一直都很关心 新产品的推销速度问题。第二次世界大战后日 本家电业界建立了一个电饭煲推销模型。 设需求量有一个上界K,记t时刻已销售出的电 饭煲数量为x(t),则尚未使用的人数大致为Kx(t), 于是由统计筹算律,就是Logistic模型。
微分方程及其应用
主要内容: (1)一些经典的微分方程模型

(2)微分方程的稳定性分析
(3)微分方程的数值解法
微分方程模型
一般来说,利用微分方程模型解决一个实际问题, 可以按照如下步骤: (1)给出问题所涉及的原理或物理定律; (2)寻求问题中各个函数与变量之间的内在关系; (3)列出微分方程; (4)列出该微分方程的初始条件或其他条件; (5)求解微分方程; (6)求出实际问题的解答。
模型的解:
I (t ) I 0 e k0t
例3:传染病模型SI(模型一)
问题:此模型即为Malthus模型,它大体上反映 了传染病流行初期的病人增长情况,在医学上有 一定的参考价值。但随着时间的推移,病人的数 目将无限增加,这一点与实际情况不符. 原因:当不考虑传染病期间的出生、死亡和迁移 时,一个地区的总人数可视为常数。因此 k0应为 时间t的函数。在传染病流行初期, k0较大,随 着病人的增多,健康人数减少, 被传染的机会 也减少,于是k0将变小。 模型修改的关键: k0的变化规律
例2:洛杰斯蒂克(Logistic)模型


除了以上的统计,还有很多的学者对Logistic模型的结 果进行了验证。1945年克朗皮克(Crombic)做了一个 人工饲养小谷虫的实验,数学生物学家高斯(Gauss) 也做了一个原生物草履虫的实验,实验结果都和 Logistic曲线十分吻合。 大量实验资料表明:用Logistic模型来描述种群的增长, 效果还是相当不错的。例如,高斯把5只草履虫放进一 个盛有0.5立方厘米的营养液的小试管,他发现,开始 时草履虫以每天230.9%的速率增长,此后增长速度不 断减慢,到第五天达到最大量375个,实验数据与 Logistic曲线几乎完全重合。
方程的解:
I (t ) n n knt 1 1e I 0
例3:传染病模型(模型二)
传染病人数与时间t关系
传染病人数的变化率与时间t 的关系 增长速度由低增至最高后 降落下来
传染病人数由开始到高峰并 逐渐达到稳定
例3:传染病模型(模型二) n
此时
d I 0 2 dt
例3:传染病模型SI(模型二)
设t时刻健康人数为S(t).
模型假设: (1)总人数为n,I(t)十S(t)=n
(2)一人得病后,久治不愈,且在传染期内不
会死亡。 (3)一个病人在单位时间内传染的人数与当时 健康的人数成正比,比例系数为k(称之为 传染系数)
例3:传染病模型(模型二)
dI .I ( k S(t ) t ) dt I (0) I 0
例2:洛杰斯蒂克(Logistic)模型
例2:洛杰斯蒂克(Logistic)模型
例2:洛杰斯蒂克(Logistic)模型
例2:洛杰斯蒂克(Logistic)模型
例2:洛杰斯蒂克(Logistic)模型
例2:洛杰斯蒂克(Logistic)模型
2007年A题:中国人口增长预测



中国是一个人口大国,人口问题始终是制约我国发展的关 键因素之一。根据已有数据,运用数学建模的方法,对中 国人口做出分析和预测是一个重要问题。 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点,例如,老龄 化进程加速、出生人口性别比持续升高,以及乡村人口城 镇化等因素,这些都影响着中国人口的增长。2007年初发 布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进 一步的分析。 关于中国人口问题已有多方面的研究,并积累了大量数据 资料。见附录2。试从中国的实际情况和人口增长的上述 特点出发,建立中国人口增长的数学模型,并由此对中国 人口增长的中短期和长期趋势做出预测;特别要指出你们 模型中的优点与不足之处。
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