16.2二次根式的乘除

知识要点
这样的二次根式，叫做最简二次根式。
最简二次根式的特点
被开方数不含分母。 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
在二次根式的运算中， 最后结果 的一般要求
2 分母中不含二次根式。 如： × 2 1 被开方数不能含有小数或分数。如： 或 0.2 × 2 2x y 分子分母不能约分。 如： 2 × 3x
a b
2 a （ a a 0） 3.将平方式（或平方数）应用 把这个因式（或因数）开出来，将二次根式 化简。
课堂小结
1. 二次根式的乘法：
a b ab a 0, b 0 ab a b a 0, b 0
2. 二次根式的除法有两种常用方法：
（1）利用公式： a b
新课导入
1. 一个平行四边形的底为 5，高为 3 ，求 这个平行四边形的面积。
提示 根据平行四边形的面积公式 S = ah 求解。
3 5
S=
5
3
这是最终结果吗？ 这个结果能否继续化简？ 如何化简？
2. 如果矩形的面积是 20 ，长为 5 ，求宽。
提示 根据矩形的面积公式 S = ab 求解。
20
？
5
b=
20 5
这是最终结果吗？ 这个结果能否继续化简？ 如何化简？
16.2二次根式的乘除
探究
有什么 规律？
1. 计算：
4 ? 25
2 ?
2
5
5
2? 5 10
4? 25
1 ? 9 1 16
100 = 102 = 10
骣 骣 1 1 鼢 珑 ? 鼢 珑 鼢 珑 桫 桫 3 4
2 2
有什么 规律？
1 1 ? 3 4
b 12
将 a、b 代入
a b 2a （ b a
1 ） b
1 1 12 1 =2 4 4 12 1 12 4 1 1 1 48 2 48 12 1 1 48 12 2 48 1 1 12 2 3 3 2 2
一题多解
探究
有什么 规律？
1. 计算：
22 52
2
4 = 25
=
骣 4 2÷ ç = = ç ÷ ç 桫 5÷ 25
有什么 规律？
16 = 9
42 32
2
=
骣 16 4÷ ç = = ç ÷ ç 桫 3÷ 9
2 5 2 5 4 3 4 3
探究
2 2 ___ 3 3
2. 填空：
2 2 ___ 5 5
3 5 ´ 2 10
= 3创2 5 10
= 6 5
2
= 3创 2 5 = 3创2 5
5 2 5
2
2
2
=6 5
2
2
= 3创 2
( 5)
2
=6 5 2
= 30 2
=6 5 2
= 30 2
1 （2）2 xy x
1 = 2 xy x
= 2 y
1 2 xy x
1 = 2 x y x 1 = 2 x y x 1 = 2 x y x = 2 y
a = b a （a≥0，b > 0） b
a = b a （a≥0，b > 0） b
可以进行二次根式的化简。
二次根式的除法:
a = b
a b
（a≥0，b>0）
2
a 2 ( a) 证明：左边 ( ) 2 b ( b) a 右边。得证 b
例题
3 （ 1） 1 = 16
（2） 25 y = 2
y xy x
6. 已知实数 a、b 满足
a 求 2a b b a 1 b
的值。
1 4a b 11 b 4a 3 0 3
解：要想原等式有意义，必须满足： 1 4a b 11 0 a 4
1 b 4a 3 0 3
a? b
ab （a≥0，b≥0）
2 2 2
证明：左边= （ a b ) ( a ) ( b ) ab 右边。得证
例题
（ 1） 3 ´
（2） 288 ´
计算：
12 =
1 = 72
3 12 =
1 288 = 72
化简：
36 = 6
4= 2
例题
（ 1）
225 = 15 15 = 15
最后结果中的二次根式要求化成最简二次根式。
12 如： × 2
看谁算得快
化简
2 Rh1 2 Rh2
2 Rh1 2 Rh2

。
h1 h2 h1 h2 h2 h2

2 R h1 2 R h2


h1h2 h2
化简二次根式的步骤 1.将被开方数尽可能分解成几个平方数. 2.应用 ab
( 4) ( 25) ( 4) ( 25)
× ×
根号下不能出现负数！
( 4) ( 25) 100 10
√
知识要点
a、b必须都是非负数！
二次根式的乘法规定：
a? b
逆向等式：
ab （a≥0，b≥0）
ab =
a
b （a≥0，b≥0）
可以进行二次根式的化简。
二次根式的性质3（二次根式的乘法法则）：
14 7
一题多解
2a （ 3） a+ b 2a a + b = a + b a + b

2 （4）3 40
2 3 2 10
最后结 果的分 母中不 含二次 根式。

2a a b ab

2
2 10 6 10 10
2a a b ab
为了 去掉 分母 中的 根号
20 6 10
归纳
4 = 49
算术平方根的商
4 49
= 各个被开方数商的算术平方根
逆向等式
4 = 49
各个被开方数商的算术平方根
4 49
= 算术平方根的商
下面的等式成立吗？为什么？
-4 -4 = - 49 - 49
×
√
0 = 49
49 = 0
0 49
49 0
×
根号下不能出现负数！
分母不能为0 ！
知识要点 二次根式的除法规定： 逆向等式：
12 112 112 （2） 4 25 25 25 112 16 7 4 7 25 25 25
2. 等式 是____________ 。 m>5
m3 m3 ＝ 成立的条件 m5 m5
解：要想等式成立，必须满足：

m－3 ≥0
m－ 5 > 0
m ≥3 m >5
m>5
1 3. 已知： 3 ＝1.732，如何求出 3 的近似值?
一题 多解
1 1 1 0.577 3 3 1.732
计算繁琐。
1 3 1.732 1 1 3 0.577 3 3 3 3 3 3
计算简便。
4.在括号内填写适当的数或式子使 等式成立。 （ 1） 8 （ 2 ）= 4
5 ）= 10 （2）2 5（
（3） a 1 （ a 1）= a－1
（ 4）
3
3 2
＝ 6
5. 化简。
－8 3 （） 1 8
－8 3 8 8 8
2y （2） 4 xy
2 y 2 xy 2 xy xy
2
－8 24 8
y 2 xy xy
24
2 6
a b ab (a 0, b 0)
叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 公式逆向运用可得：
ab a b (a 0, b 0)
叙述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
千万注意公式中a, b 必须满足 a 0, b 0，否则易出错
二次根式的乘法：
7. 判断下列各式是否为最简二次根式？
1 23 （ 1 ） 12 ，（2） 3.2，（3） 4 23 4 5
3
5
√
39 （4） 12.8，（5） ，（6） 0.40 4 10 8 5 39 5 5 2
15= ( 15) = 15
2
16 ， b2 ， c2 ，
（ 2）
16ab c
2 3
2
是开得尽的因数或因式。
3
=
16 a b c
2 2
= 4 a b c c = 4 a b c c
= 4 a b c c
= 4bc ac
例题
计算： 一题多解
（1）3 5 ´ 2 10
6 = 5
（2）－4 2
4 2 =3 7 3 7
4 2´ 7 =3 7´ 7
4 =3
最后结果的 分母中不含 二次根式。
4 14 =3 72 4 14 =3 72
2´ 7 7´ 7 4 14 =3 ( 7 ) 2 为了 去掉 4 14 =分母 3 7 中的 4 14 根号 =21
4 =3
4 14 =21
随堂练习
1. 判断下列算法是否正确，不正确的 请予以改正。
（ 1 ） 4 9 4 9
×
12 12 12 （2） 4 25 4 25 4 25 4 12 8 3 25 25 25
×
正确的算法如下：
（） 1 4 9 4 9 2 3 6
如果被开方 化简： 数是带分数，应 先化成假分数。
19 = 16
25 y 9 x2
19 = 16
19 4
9x
5 y = 3x
例题
计算：
2 1 1 1 2 1 ¸ 5 （ 1） = 1 2 6 5 2
2 3 = 6 5 2
如果根号前有 系数，就把系数相 除，仍作为二次根 号前的系数。
1 6
2 = 3 5
2 5 5 = = 60 30
分母有理化
把分母中的根号化去,使分母变成有 理数，这个过程叫做分母有理化。
注意
1. 在二次根式的运算中，一般先观察把能 化简的二次根式化简，再考虑如何化去分母中 的根号。 2. 分母有理化的关键是要搞清分式的分子 和分母都乘什么。
以上各例题的最后结果：
6 4 14 2a a b 5 19 5 y 、 、 、 、 、 21 30 5 4 3x ab
a a 0, b 0 b
a a a 0, b 0 b b
（2）把除法先写成分式的形式，再进 行分母有理化运算。
3. 化简二次根式的步骤：
（1）将被开方数尽可能分解成几个平方数。 （2）应用
ab a b
。
（3）将平方式（或平方数）应用 a 2 （ a a 0） 把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简。
2
1 12
1 1 ? 9 16
1 = 144
骣 1÷ ç ÷ ç ç 桫 12 ÷
1 = 12
探究
2´ 3 ___ 6
2. 填空：
2´
5 ___ 10
归纳
4´
25 =
4´ 25
算术平方根的积
= 各个被开方数积的算术平方根
逆向等式
4´ 25 =
各个被开方数积的算术平方根
4´
25
= 算术平方根的积
下面的等式成立吗？为什么？