第九章 约瑟夫森效应_472501025
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j jc sin 2e V t 2ed ( B n) c 2 1 1 2 2 sin 2 2 c t J (1) (2) (3) (4)
2 1
势垒两侧超导体宏观量子波函数的位相差
1 i 1 1 k 2 t 2 i 2 2 k 1 t
(7) (8)
k－耦合系数，表征两侧超导体耦合的强弱
i 2 e 将 1 1 e ， 2 , 代入(7), (8)对两式分别取实部 2
i1
虚部
2k 1 / t
② V 0 先看 V＝V0 const
2e V0 t 0 2e j s j c sin( V0 t 0 )
j jc sin
＝
表明结中存在交变超流，其频率为 再看 V V0 v0 cos ' t
2e 0 V0
即直流偏置电压V0上再附加一高频电压
4. Fiske研究超导隧道结的约瑟夫森临界电流Ic与外加磁场的依 赖关系时发现。 未加微波辐照，在 I~V 曲线上有时也观测到电流台阶，这 些台阶也有相同的间距，该电压间距与结的尺寸有关，在适当 的外加直流电压和直流磁场条件下，隧道结处于其谐振模状 态，交变超流在结中产生的电磁场得到加强。 这个由交变超流自身产 生的电磁场对该交变超流起 频率调制作用，从而产生直 流分量，在 I~V 曲线上出现 台阶。 自感台阶，Fiske台阶 自测效应
3．当结两端的直流电压Vo0时，仍存在超导电子对隧道电流， 但是一交变的超导电流，其频率f与Vo成正比，且 f 2eVo / h 外加一个频率为f1 的射频电磁场，会对结内的超流起频率 调制作用，从而产生直流超流分量，在直流 I~V特性曲线上会 出现一系列直立的台阶，该电流台阶所对应的电压值满足关系 式 2eV / h nf1 (n为整数) 归纳为如下Josephson方程组：
j s (t ) j c
n
2ev0 ( 1) J n ( ) sin[( n ' )t 0 ] '
n
(21)
当 n ' 0 时，即
V0 n ' / 2e 时
J s j s (t ) 0
9.2 Josephson方程 一、预言： 1．当结两端电压为零时，可以存在一个超导电流，其临界电 流密度存在一个最大值jc，这是超导电子对的隧道电流。 2．超导电流的最大值IC对外部磁场很敏感，地磁场即可明显 影响IC的数值，甚至导致观察上的困难。 j=jc sin。 由此式给出的零压电流可以是低于 IC 的任何值，实际流动的 超流电流决定于外电路，位相将自身调节以给出确定的电流 值，当 o / 2 时，出现零电压的最大超流电流。
ˆ H ˆ H ˆ H ˆ 哈密顿模型 H L R T ˆ 隧道哈密顿，代表隧 ˆ ，H ˆ 左右S.C彼此独立的哈密顿， H H T L R 道相互作用项并可作为一个微扰项处理。
还可用格林函数方法推导。 参见：Josephson原著 或《量子统计的格林函数理论》 蔡建华 著（第六章第六节）
采用费曼方法推导 A：若超导结中两侧的超导体是彼此独立的，可分别由共同波 函数 1， 2 来描写，且满足薛定谔方程
第九章
9.1 引言
约瑟夫森效应(Josephson Effect)
1961年10月 Josephson开始在 Pippard指导下读研，Cambridge 1961-1962 P. W. Anderson休假年(Sabbatical leave)在Cambridge (因磁性和无序系统中电子结构的基础研究获1977 Nobel Prize) Anderson系列讲座 Josephson对“对称破缺”概念很感兴趣 原始对称意味着绝对相角是不可观测 ＝ n s e i
J为Josephson穿透深度：
c 2 1/ 2 J ( ) 8edJ c
二、实验证实 1．半年后： P.W. Anderson and J. M. Rowell, Phys. Rev. Lett. 10, 230 (1963) 隧道结 表明：V＝0时存在超导电流？ 是否是漏电流 并观察到Ic受外加磁场影响 （采用磁屏蔽技术使地磁场的影响减少到6×10－3 Gauss） 实验温度为1.5 K Ic=0.65 mA，电流超过Ic，则结两端电压不为 零，呈现单电子隧道的I~V特性。
N 1
两超导体间交换电子时，数学处理困难 Anderson收到 Cohen 关于M-I-S结的文章，微扰论方法处理。 Josephson采用Cohen等人的处理方法计算 S1 I S 2
B. D. Josephson, “Possible New Effects in Superconductive Tunneling”, Phys. Lett. 1, 251 (1962) 预言：①一直流S.C电流 ②交变超流，频率2eV/h 一般认为两电子的Tunneling机率很小。 Anderson and Rowell 两个障碍： ① 地磁场影响 ② 热噪声 低阻超导结 P. W. Anderson and J. M. Rowell “Probable Observation of the Josephson Tunneling Effect” PRL 10, 230 (1963) 1973年Josephson获Nobel物理学奖
2k 2 / t
1 2 sin( 2 1 )
1 2 sin( 2 1 )
（9） （10） （11） （12）
1 k 2 1 / t cos(2 1 ) 1
2 / t
2 k
1 cos( 2 1 ) 2
Superconducting
本章中阐述的内容：
1. Josephson方程
j jc sin 2e V t 2ed ( B n) c 2 1 1 2 sin 2 2 2 c t J
2. Josephson临界电流对磁场的依赖关系 3. 超导量子干涉现象 (SQUID)
j jc sin
2ed (B n) c
与光学中的单缝夫琅和费衍射图样非常相似，周期间隔换算成 结的磁通量 2.0 10 7 G cm 2 ， 刚好是一个磁通量子。
以上实验表明：方程（1），（3）是正确的，在隧道结中确实 可以出现零压电流，即V＝0时的直流超导电子对隧道电流, 该 电流是位相相干电流，磁场的存在可以引起位相随空间而变。
由(9), (10)
1 2 t t
(13)
考虑 S.C 结与一外部电源相连，上式表明右侧电子对密度的减 少，刚好等于左侧电子对密度的增加，即通过势垒可存在不为 零的电流密度。
j 2e 1 4ke 1 2 sin( 2 1 ) t 4ke jc 1 2
1 / t
2 / t
（17）
1 k 2 cos( 2 1 ) 1
2 k 1 cos( 2 1 ) 2
此即为Josephson第二方程 讨论： ① 若V＝0，则由(16)式得：
j j c sin 0
0由0变至 / 2，j可由0变为 jc ，弱连接超导体之间可存在 零压超流, jc 为其最大临界电流密度， jc 取值范围为1A/cm2至 104A/cm2，比单块超导体的临界电流密度低102至106倍。
V－结两端的电压
d 1 2 l －外磁场在势垒区附近的有效穿透深度
1，2
－势垒两侧超导体的伦敦穿透深度
l c
－势垒层厚度 －结中电磁波速度
1/ 2
1 c c 4Cd
1/ 2
l c d r
C为单位面积结电容， r 为相对介电常数， C r / 4l
m
J m ( z ) sin( m )
V V0 0 cos ' t
j s (t ) j c
m
2ev0 Jm ( ) sin[( m ' )t 0 ] '
(20)
J m 为m阶第一类Bessel函数 令m=-n, 并利用 J n ( x) (1) n J n ( x)
(14) (15)
令 ＝ 2 1
j jc sin
即Josephson第一方程 －电流－位相方程
设左右S.C相同，则 1 2 由(11), (12) ( 2 1 ) 1 2
t
(16)
式中 1 2 qV 2eV
/ t 2eV /
/ t 2eV /
(18)
Baidu Nhomakorabea
2ev0 2e V0 t sin( ' t ) 0 '
2ev0 j s j c sin[t sin( ' t ) 0 ] '
(19)
2e V0
利用 sin( z sin )
H 外 0.4 Gauss
H 外 20 Gauss
I c 0.3 mA Ic 0
Sn-SnOx-Pb
PRL 10, 230 (1963)
2. Rowell 和 Langenberg 分 别 测 量 了 Sn-SnO-Pb 及 Sn-I-Sn 结 I max ( B) ~ B 曲线。 （1.2K下） 磁场在势垒平面内，垂直于结的一条边。
j jc Sin 2ed (B n) c
(1) (3)
3. S.Shapiro对具有直流约瑟夫森效应的 Al Al 2 O 3 Sn 隧道结注入 微波，观测到 V 0 时在I~V特性曲线上出现一系列的电流阶 梯，它们具有相同的电压间距 V hf / 2e ，f为辐照微波的频 率。 S. Shapiro, Phys. Rev. Lett. 11, 80 (1963) 证实预言3 微波感应台阶――Shapiro台阶 预言3 3．当结两端的直流电压Vo0时，仍存在超导电子对隧道电流， 但是一交变的超导电流，其频率f与Vo成正比，且 f 2eVo / h 外加一个频率为f1 的射频电磁场，会对结内的超流起频率 调制作用，从而产生直流超流分量，在直流 I~V特性曲线上会 出现一系列直立的台阶，该电流台阶所对应的电压值满足关系 式 2eV / h nf1 (n为整数)
1 i 1 1 t 2 i 2 2
t
i 式中 1 1 e 1 , 2 2 ei 2
(5) (6)
1 , 2 分别代表超导体1和2的库柏对能量
B：若S － I－S 隧道结的势垒层足够薄，使两侧超导体实现了 弱耦合，则 1， 2 满足如下方程组
5. 超导隧道结的电磁辐射 I. Giaever PRL 14, 904 (1965) 2-3 Josephson J 1-2 single electron TJ Tight coupling between the two oxide cavities
此实验也证明： V 0 时Josephson结中存在交变超流。 交变超流向外辐射电磁波，但辐射功率较弱，实验上已探测到 这种辐射。 V=0条件下所反映的物理规律称为直流的约瑟夫森效应 V0条件下所反映的物理规律称为交流的约瑟夫森效应。 三、Josephson方程的推导
2 1
势垒两侧超导体宏观量子波函数的位相差
1 i 1 1 k 2 t 2 i 2 2 k 1 t
(7) (8)
k－耦合系数，表征两侧超导体耦合的强弱
i 2 e 将 1 1 e ， 2 , 代入(7), (8)对两式分别取实部 2
i1
虚部
2k 1 / t
② V 0 先看 V＝V0 const
2e V0 t 0 2e j s j c sin( V0 t 0 )
j jc sin
＝
表明结中存在交变超流，其频率为 再看 V V0 v0 cos ' t
2e 0 V0
即直流偏置电压V0上再附加一高频电压
4. Fiske研究超导隧道结的约瑟夫森临界电流Ic与外加磁场的依 赖关系时发现。 未加微波辐照，在 I~V 曲线上有时也观测到电流台阶，这 些台阶也有相同的间距，该电压间距与结的尺寸有关，在适当 的外加直流电压和直流磁场条件下，隧道结处于其谐振模状 态，交变超流在结中产生的电磁场得到加强。 这个由交变超流自身产 生的电磁场对该交变超流起 频率调制作用，从而产生直 流分量，在 I~V 曲线上出现 台阶。 自感台阶，Fiske台阶 自测效应
3．当结两端的直流电压Vo0时，仍存在超导电子对隧道电流， 但是一交变的超导电流，其频率f与Vo成正比，且 f 2eVo / h 外加一个频率为f1 的射频电磁场，会对结内的超流起频率 调制作用，从而产生直流超流分量，在直流 I~V特性曲线上会 出现一系列直立的台阶，该电流台阶所对应的电压值满足关系 式 2eV / h nf1 (n为整数) 归纳为如下Josephson方程组：
j s (t ) j c
n
2ev0 ( 1) J n ( ) sin[( n ' )t 0 ] '
n
(21)
当 n ' 0 时，即
V0 n ' / 2e 时
J s j s (t ) 0
9.2 Josephson方程 一、预言： 1．当结两端电压为零时，可以存在一个超导电流，其临界电 流密度存在一个最大值jc，这是超导电子对的隧道电流。 2．超导电流的最大值IC对外部磁场很敏感，地磁场即可明显 影响IC的数值，甚至导致观察上的困难。 j=jc sin。 由此式给出的零压电流可以是低于 IC 的任何值，实际流动的 超流电流决定于外电路，位相将自身调节以给出确定的电流 值，当 o / 2 时，出现零电压的最大超流电流。
ˆ H ˆ H ˆ H ˆ 哈密顿模型 H L R T ˆ 隧道哈密顿，代表隧 ˆ ，H ˆ 左右S.C彼此独立的哈密顿， H H T L R 道相互作用项并可作为一个微扰项处理。
还可用格林函数方法推导。 参见：Josephson原著 或《量子统计的格林函数理论》 蔡建华 著（第六章第六节）
采用费曼方法推导 A：若超导结中两侧的超导体是彼此独立的，可分别由共同波 函数 1， 2 来描写，且满足薛定谔方程
第九章
9.1 引言
约瑟夫森效应(Josephson Effect)
1961年10月 Josephson开始在 Pippard指导下读研，Cambridge 1961-1962 P. W. Anderson休假年(Sabbatical leave)在Cambridge (因磁性和无序系统中电子结构的基础研究获1977 Nobel Prize) Anderson系列讲座 Josephson对“对称破缺”概念很感兴趣 原始对称意味着绝对相角是不可观测 ＝ n s e i
J为Josephson穿透深度：
c 2 1/ 2 J ( ) 8edJ c
二、实验证实 1．半年后： P.W. Anderson and J. M. Rowell, Phys. Rev. Lett. 10, 230 (1963) 隧道结 表明：V＝0时存在超导电流？ 是否是漏电流 并观察到Ic受外加磁场影响 （采用磁屏蔽技术使地磁场的影响减少到6×10－3 Gauss） 实验温度为1.5 K Ic=0.65 mA，电流超过Ic，则结两端电压不为 零，呈现单电子隧道的I~V特性。
N 1
两超导体间交换电子时，数学处理困难 Anderson收到 Cohen 关于M-I-S结的文章，微扰论方法处理。 Josephson采用Cohen等人的处理方法计算 S1 I S 2
B. D. Josephson, “Possible New Effects in Superconductive Tunneling”, Phys. Lett. 1, 251 (1962) 预言：①一直流S.C电流 ②交变超流，频率2eV/h 一般认为两电子的Tunneling机率很小。 Anderson and Rowell 两个障碍： ① 地磁场影响 ② 热噪声 低阻超导结 P. W. Anderson and J. M. Rowell “Probable Observation of the Josephson Tunneling Effect” PRL 10, 230 (1963) 1973年Josephson获Nobel物理学奖
2k 2 / t
1 2 sin( 2 1 )
1 2 sin( 2 1 )
（9） （10） （11） （12）
1 k 2 1 / t cos(2 1 ) 1
2 / t
2 k
1 cos( 2 1 ) 2
Superconducting
本章中阐述的内容：
1. Josephson方程
j jc sin 2e V t 2ed ( B n) c 2 1 1 2 sin 2 2 2 c t J
2. Josephson临界电流对磁场的依赖关系 3. 超导量子干涉现象 (SQUID)
j jc sin
2ed (B n) c
与光学中的单缝夫琅和费衍射图样非常相似，周期间隔换算成 结的磁通量 2.0 10 7 G cm 2 ， 刚好是一个磁通量子。
以上实验表明：方程（1），（3）是正确的，在隧道结中确实 可以出现零压电流，即V＝0时的直流超导电子对隧道电流, 该 电流是位相相干电流，磁场的存在可以引起位相随空间而变。
由(9), (10)
1 2 t t
(13)
考虑 S.C 结与一外部电源相连，上式表明右侧电子对密度的减 少，刚好等于左侧电子对密度的增加，即通过势垒可存在不为 零的电流密度。
j 2e 1 4ke 1 2 sin( 2 1 ) t 4ke jc 1 2
1 / t
2 / t
（17）
1 k 2 cos( 2 1 ) 1
2 k 1 cos( 2 1 ) 2
此即为Josephson第二方程 讨论： ① 若V＝0，则由(16)式得：
j j c sin 0
0由0变至 / 2，j可由0变为 jc ，弱连接超导体之间可存在 零压超流, jc 为其最大临界电流密度， jc 取值范围为1A/cm2至 104A/cm2，比单块超导体的临界电流密度低102至106倍。
V－结两端的电压
d 1 2 l －外磁场在势垒区附近的有效穿透深度
1，2
－势垒两侧超导体的伦敦穿透深度
l c
－势垒层厚度 －结中电磁波速度
1/ 2
1 c c 4Cd
1/ 2
l c d r
C为单位面积结电容， r 为相对介电常数， C r / 4l
m
J m ( z ) sin( m )
V V0 0 cos ' t
j s (t ) j c
m
2ev0 Jm ( ) sin[( m ' )t 0 ] '
(20)
J m 为m阶第一类Bessel函数 令m=-n, 并利用 J n ( x) (1) n J n ( x)
(14) (15)
令 ＝ 2 1
j jc sin
即Josephson第一方程 －电流－位相方程
设左右S.C相同，则 1 2 由(11), (12) ( 2 1 ) 1 2
t
(16)
式中 1 2 qV 2eV
/ t 2eV /
/ t 2eV /
(18)
Baidu Nhomakorabea
2ev0 2e V0 t sin( ' t ) 0 '
2ev0 j s j c sin[t sin( ' t ) 0 ] '
(19)
2e V0
利用 sin( z sin )
H 外 0.4 Gauss
H 外 20 Gauss
I c 0.3 mA Ic 0
Sn-SnOx-Pb
PRL 10, 230 (1963)
2. Rowell 和 Langenberg 分 别 测 量 了 Sn-SnO-Pb 及 Sn-I-Sn 结 I max ( B) ~ B 曲线。 （1.2K下） 磁场在势垒平面内，垂直于结的一条边。
j jc Sin 2ed (B n) c
(1) (3)
3. S.Shapiro对具有直流约瑟夫森效应的 Al Al 2 O 3 Sn 隧道结注入 微波，观测到 V 0 时在I~V特性曲线上出现一系列的电流阶 梯，它们具有相同的电压间距 V hf / 2e ，f为辐照微波的频 率。 S. Shapiro, Phys. Rev. Lett. 11, 80 (1963) 证实预言3 微波感应台阶――Shapiro台阶 预言3 3．当结两端的直流电压Vo0时，仍存在超导电子对隧道电流， 但是一交变的超导电流，其频率f与Vo成正比，且 f 2eVo / h 外加一个频率为f1 的射频电磁场，会对结内的超流起频率 调制作用，从而产生直流超流分量，在直流 I~V特性曲线上会 出现一系列直立的台阶，该电流台阶所对应的电压值满足关系 式 2eV / h nf1 (n为整数)
1 i 1 1 t 2 i 2 2
t
i 式中 1 1 e 1 , 2 2 ei 2
(5) (6)
1 , 2 分别代表超导体1和2的库柏对能量
B：若S － I－S 隧道结的势垒层足够薄，使两侧超导体实现了 弱耦合，则 1， 2 满足如下方程组
5. 超导隧道结的电磁辐射 I. Giaever PRL 14, 904 (1965) 2-3 Josephson J 1-2 single electron TJ Tight coupling between the two oxide cavities
此实验也证明： V 0 时Josephson结中存在交变超流。 交变超流向外辐射电磁波，但辐射功率较弱，实验上已探测到 这种辐射。 V=0条件下所反映的物理规律称为直流的约瑟夫森效应 V0条件下所反映的物理规律称为交流的约瑟夫森效应。 三、Josephson方程的推导