内蒙古集宁一中2019_2020学年高一数学上学期期末考试试卷(含解析)

内蒙古集宁一中2018-2019学年高一上学期期末考试
数学试题
第一卷(选择题共60分)
一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。

每小题5分，共60 分)
1. 设A={a , b}，集合B={a+1, 5}，若A n B={2}，贝U A U B=()
A. {1 , 2}
B. {1 , 5}
C. {2 , 5}
D. {1 , 2, 5}
【答案】D
【解析】
试题分析：由A n B={2}可知集合A , B中都含有2 , ■■十—- ■- ■■- - - I A = {1,2}^ - {2r5} A A u B = {1^5}
考点：集合的交并运算
2. 已知直线::与匸「I =;：平行，则实数的取值是()
A. - 1 或2
B. 0 或1
C. —1
D. 2
【答案】C
【解析】
..al
因为两直线的斜率都存在，由与平行得二，当耳-：时，两直线重合，
2 l-a
、：；.一'，故选C.
『、{ x-5f(x> 6}
3. 已知，「••.，,••，.，，则…()
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】A
【解析】
f(3) = f(5) = f(7) = 7—5 = 2.故选A
4. 已知止--：「：.:■< U ,则直线出-卜匕-::通过()
A第一、二、三象限
B第一、二、四象限
C第一、三、四象限
D第二、三、四象限
【答案】C
【解析】
由直线ax+ by+ c= 0，得:，- 、
' b b
, , a c
••• ab v 0, bc v 0,「. ，
b b
即直线的斜率为正值，纵截距为正值；
故直线ax+ by+ c= 0通过第一、二、三象限.
5. 直线y=3与函数y= I x2- 6x I的图像的交点个数为（）
A. 2个
B. 3 个
C. 4 个
D. 1 个
【答案】C
【解析】
【分析】
联立方程组求解，根据解的个数来判断结果。

【详解】由［二〔馭得：几麻訂或
解得：或，._ ■ _ J
所以直线y=3与函数y= Ix2- 6x I的图像的交点个数为：4个。

故选：C
【点睛】本题主要考查了函数图像交点个数问题，考查了方程思想，属于基础题。

6.函数：
3
A.(,
4
1)
1 B.（，OO)
C. (1 , +8)
D.（，1)U(1, 【答案】A
【解析】+8)
的定义域为（）
解：由"h■■-'解得「，所以原函数的定义域为o 【此处有视频，请去附件查看】
A. 90 °
B. 45
° C. 60 ° D. 30
°
【答案】B 【解析】
正四面体S — ABC 中,如果E ，F 分别是SC, AB 的中点，那么取 SA 的中点G 则可通过解三角形得到异面直线
EF 与SA 所成的角45°,选B.
8.
设a>b>c>1，则下列不等式中不正确的是 （ ）
c c
a b
A. a >b
B. log
a
b>log a c C. c >c D. log b c<log a c
【答案】D 【解析】 【分析】
利用对数与指数式互化，对 厂"遐』，门二飞肿变形即可判断。

【详解】令2%— ■:, 则 ,•，即
因为a>b>c>1，所以 m ，所以log b C<log a c 不正确。

故选：D
【点睛】本题主要考查了对数与指数式互化，还考查了指数运算，属于基础题。

9.
设为两两不重合的平面， 「巴二为两两不重合的直线，给出下列四个命
题：
①若：-丄」，则訂卩；②若"F ,
■, 「，诃「；，则订「；
③若：丨 I -- , I -：,贝 W ；④若-'■ :- 1，'—•一「i , ；—' , I 丨“，则曲 I 其中真命题的个数是（
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7. 如图：正四面体S — ABC 中，如果E , F 分别是SC, AB 的中点，那么异面直线
EF 与SA 所
连接EG,FG,
【答案】B 【解析】 【分析】
对于①，②可在正方体中举例说明它们错误即可。

对③利用面面平行的定义即可判断其正确，对于④利用线面平行的性质来证明即可。

【详解】对照下图，
对于①，令平面 迹二U-工，平面AAI/ :匕平面乞隧乙八；， 满足：…C 丄“，但是：•与不平行。

所以①错误。

对于②，令平面
匚-叭，平面X ；门.1； [{,二[—匚7-匸
满足屮：-•:;，"•-<:「，，•■ I I 二，但是：，与I 】不平行，所以②错误。

对于③，禾U 用面面平行的定义即可判断③正确，
I//V }
对于④，二 :一 ,同理可得：「，所以丫1丁，所以④正确。

p n y = mJ
故选：Bo
【点睛】本题主要考查了面面平行的判断及线面平行的判断， 还考查了线面平行的性质，
属
于基础题。

10.
某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
（）
A. 30
B. 60
C. 20
D. 10
【答案】D 【解析】 【分析】
MHM
由三视图还原，还原后的几何体是一个长方体中对应的三棱锥，问题得解。

【详解】由题可得，该几何体是下图长方体中的三棱锥：-二二，
其中涎一E, X _ -!
所以该三棱锥的体积为：「. 一仝z '、、,、・、 1：：］
故选：D
【点睛】本题主要考查了三视图还原，还考查了锥体体积计算，属于基础题。

((3a-l)x + 4a,x < 1
11. 已知, 是；-「：―上的减函数，那么的取值范围是()
A， B. C. ' D. I'：
【答案】B
【解析】
/(3a-l)x + 4讯乂 < 1
试题分析：根据题意，由于::. ..… 是■ - ■-上的减函数，则说明x<1时, 3a-1<0, ••,同时由于对数函数递减，则说明底数」,同时要满足当x=1时，有3a-1+4a '厂,故解得参数a的范围是故选B.
考点：函数的单调性
点评：解决的冠关键是理解分段函数的单调性，要整体来分析，每段都是减函数，同时右边函数的最大值，要小于等于左边函数的最小值即可，属于基础题。

12. 如图,三棱锥中，T亠且:讣一忆-；—,则三棱锥的外
接球表面积为
A. :
B.
C. I
D. 汀：i
【答案】B
【解析】
T FE-- 面ty.f 面o, •••pu, •，吓「扛一匚，••…i面v ••化：一面
：:「，•••，• i ,取「.的中点［，则「. . - '. '. ,• 为球心，•••沌■：.■'..■, •••"_：,.••球半径为，•该三棱锥的外接球的表面积为5, 一亦，故选B.
第二卷（非选择题共90分）
二•填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中横线上）
13. 若幕函数y = （m2+ 3m+ 3）^ +加一耳的图象不过原点，且关于原点对称，则m= ________________ .【答案】-2
【解析】
【分析】
根据函数为幕函数，可知函数的系数为1,从而可求m的取值，再根据具体的幕函数，验证
是否符合图象不过原点，且关于原点对称即可.
【详解】由题意，m+3m+3=1
•nf+3m+2=0
•m=- 1 或m=- 2
当m=- 1时，幕函数为y=x-4,图象不过原点，且关于y轴对称，不合题意；
当m=- 2时，幕函数为y=x-3,图象不过原点，且关于原点对称，符合题意；
故答案为：-2
【点睛】本题以幕函数性质为载体，考查幕函数的解析式的求解.函数为幕函数，可知
函数的系数为1是解题的关键.
14. 已知点・直线过点| ,且与线段二詩目交，则直线的斜率的取值范围是
【答案】■ 'J [ +
【解析】
【分析】
利用斜率计算公式及其意义即可得出.
【详解】k pA= =- 4, k pB= =.
2-1 -3-1 4
•••直线I过点P (1,1 )且与线段AB相交，
则直线I的斜率k的取值范围是k>或kw- 4.
4
故答案为：: I . ■ ■.
【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
15. 若直线与直线x-2y + 5 = 0与直线2x + my-6 = 0互相垂直，则实数m= ____________
【答案】-
【解析】
=• = " 「込：：匚「「| • •丨=i ,即卩■- ' I
12 2 m 1 2 2 m
【此处有视频，请去附件查看】
16. 在△ d 中，卩.一上，二一…2，w -%若使m绕直线-旋转一周，则所形成的
几何体的体积是______________ .
3n 【答案】.
【解析】
试题分析：过A作AD垂直BC于D点，则•>..；- : ' 「.，因此所形成的几何体的体
积是-.■■: ■ ■ i/ - ■:.
考点：旋转体体积
三.解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17 (1)締石腑口5 W 2
(2)八述/宓：.4 -「述芒:;
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】
(1) 利用分数指数幕的运算求解即可
(2 )禾9用对数运算知识求解即可。

【详解】(1)原式非+险疔汰
p\~2 7 2 2 4 7 1
=I -；.」•=
(2) 原式=1 *：、；_一笛.一"亠心3-」
【点睛】本题主要考查了指数幕的运算及负分数指数幕, 还考查了对数运算知识, 考查计算能力，属于基础题。

18. 设直线L 的方程为(a + 1) x+ y + 2 —a = 0 (a€ R)。

⑴求证：不论a为何值，直线L必过一定点;
⑵若直线L在两坐标轴上的截距相等，求直线L的方程;
⑶若直线L不经过第二象限，求a的取值范围。

【答案】(1) 1. ■ ; (2) 或.…卄-：-二；(3)「匕I i .
【解析】
【分析】
(1) 对直线L的方程(a+ 1) x+ y+ 2 —a= 0整理即可
(2) 对•是否为0分类讨论，结合直线的截距概念列方程求解。

(3) 由直线的斜率及纵截距列不等式组求解即可。

【详解】(1)由(a+ 1) x + y + 2 —a= 0 整理得：I「•- - ■,
[K-1 = 0
■一时，方程I '…'-，总是成立,
即: X = 1
- \，方程总是成立，
所以不论a 为何值，直线L 必过一定点：、.。

(2)由(a + 1) x + y + 2 — a = 0 整理得：• •:一.：
当/ -时，直线L 的方程为：,V-丁 -二，此时直线的横、纵截距都为 0，满足题意。

【点睛】本题主要考查了直线过定点问题， 还考查了直线的截距概念，直线图像特征相关知
识，属于基础题。

19. 已知三棱锥 A-BCD 中，底面BCD 为边长等于2的等边三角形，AB 丄面 BCD AB=3o
(1) 求点B 到平面ACD 的距离
(2) 求直线AB 与平面ACD 所成角的余弦值。

【答案】(1) ; (2). 【解析】 【分析】 (1)
求出三角形二「•的面积，利用等体积法计算点 B
到平面ACD 的距离即可。

(2) 利用(1)中的结果解三角形即可。

【详解】(1)过点•作CD 的垂线段 匸，连接AE,过点B 作AE 的垂线段BF.则线段BF 的长就 是B 到平面ACD 的距离，设点 B 到平面ACD 的距离为，
当 .•■时，直线L 的方程可化为:
，要使得直线L 在两坐标轴上的截距相等,
则•
,即： 厂。

此时直线L 的方程为:
二。

(3)直线L 不经过第二象限，则
f-(a + 1)>0
■':，解得：：：^
所以-:广2:•八；二=\ L
又所以-
八匕I ：八获，解得：1・_-
(2)由(1 )得：直线AB 与平面ACD 所成角就是 U.-中的 応厂，其正弦值为：
sinS =~ =:
所以直线AB 与平面ACD 所成角的余弦值为：..八「.* 【点睛】本题主要考查了等体积法求三棱锥的高， 还考查了线面角知识， 考查同角三角函数 基本关系及
计算能力，属于基础题。

20. 已知函数十律一 J .法:」||，为实数。

(1) 求函数y=f(x)的最小值；
(2) 求实数的取值范围，使：丨•.在区间［上是单调函数。

【答案】(1)当八门当-—；•_「：［...［'；当-<:-'
(2)
十.
【解析】 【分析】
(1)对的范围分类讨论其最小值即可。

(2)对函数：：/_；,-「匕*十£的对称轴限制即可求得使.I •在区间匚上是单调函 数的实数的取值范围
【详解】(1)函数：:,的对称轴为：’7
1
=~ x 2 x 2 sinGO
由题可得:
当-■，-时，即：打时，心二、「,一• I ，当时，即：―”池时，小=：，
当m时，即：七-=时，
(2)要使| •在区间［…："一上是单调函数，则或-卜一，
即：.：二I、」••，-*•).
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，属于基础题。

21. 如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱■•中，AB=8 ": ■，BC=10, D
是BC边中点。

(1)求证：—丄「二
(2)求证：［：// 面''■;
【答案】(1)见解析；(2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)证明応--平面J ：-即可。

(2)连接交AB】于点M连接DM证明DM〃〜C即可。

【详解】(1)由直三棱柱得：卅厂-平面ABC,
所以x.j丄AB.
又AB=8,八］■■，BC=10满足■?匸―一八二--■/ -,
所以m -- AC.
所以只-平面,又」平面L-, 所以丄「.：.
(2)连接—交-'于点M连接DM
由题可得：M是线段—的中点，又D是BC边中点,
所以DM/八「，又DM平面灯J：, 所以[：//面
【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明及线面平行证明，考查了转化思想，属于基础题。

22. 如图，PU平面ABC AEL PB AB丄BC AF丄PC,PA=AB=BC=2
(2 )求二面角A—PC- B的大小；
(3)求三棱锥P-AEF的体积。

【答案】(1)见解析；(2) ; (3)[.
【解析】
【分析】
(1)证明BC.平面PAB即可证明AE. BC,即可证明AE.平面PBC
即可证得：PC 平面AEF,问题得证。

(2 )由(1 )得PC.平面AEF,所以厂：匚就是二面角A- PC- B的一个平面角，解三角形即可•
(3 )利用三棱锥体积公式求解即可•
【详解】(1)因为PA L平面ABC所以PA L BC又AB丄BC
所以BC 平面PAB 又AE 平面PAB
所以AE BC,又AE! PB
所以AE 平面PBC.
所以AE PC ,又AF L PC,
所以PC 平面AEF, 1 '平面PBC
所以平面AEF L平面PBC.
(2 )由题可得：广；=/ ., , ；^,所以；「=」.：,「... X y X / ，「十X 二：,
解得：—,同理可得•・：.._ .-■,
由可得:
，所以―，在三角形AEF 中由余弦定理可得:
所以二面角A — PC — B 的大小为苛
1
1
Q
2
(3 —.
【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明， 考查了转化思想， 还考查了二 定理，锥体体积公式，考查计算能力，属于基础题。

23. 如图，在四棱锥 P -ABCD 中, PDL 平面 ABCD 底面 ABCD 是菱形，/ PD — , O 为AC 与 BD 的交点，E 为棱PB 上一点.
(1) 证明：平面 EACL 平面 PBD
(2) 若PD//平面EAC 求三棱锥 P - EAD 的体积. 【答案】(1)见解析； (2).
【解析】 【分析】
(1) 证明AC 平面PBD 即可。

(2) 由PD//平面EAC 可得：E 为线段PB 的中点，禾U 用体积转换即可求解 【详解】(1)由底面ABCD 是菱形可得：AC BD,
又PDL 平面 ABCD 所以PDL AC. 所以AC 平面PBD
.面角的概念及余弦
BAD=60 ,
AB=2
及:心宀I:可得:
所以F 二-，沁
所以平面EACL平面PBD.
(2)由PD//平面EAC可得：二匚:疗二，又0为BD的中点, 所以E为线段PB的中点,
由题可得:二：二=吾, '
【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明，考查转化思想及空间思维能力, 算，属于基础题。

还考查了体积计
2。