伽玛刀治疗计划

大连理工大学第十届数学建模竞赛参赛作品

选题：A.伽玛刀治疗计划

组别：第61组

队员：

计算机系 0102班刘力协

计算机系 0101班杨威

计算机系 0101班冯维

2003年4月20日

伽玛刀治疗计划

摘要

我们在对剂量分布问题的充分研究的基础上，提出利用中轴变换抽取出病灶的骨架（3D Skeleton），迅速掌握了病灶的特征，然后利用双重标准进行填充的计算机自动生成治疗方案的模型。

我们利用二次积分和微分的概念求出了靶点附近剂量的分布函数，在此基础上讨论了有效剂量的选择对周围正常脑细胞的影响及不同准直器对周围脑细胞的影响，进一步讨论了两个靶点组合进行治疗时，互相影响所引起的等剂量曲线的变化。通过对上面三个问题的分析，我们提出了用低剂量相互叠加，有效等剂量曲线和用来进行病灶覆盖的等剂量曲线（即我们在进行填充时的参考形状）的双重标准，我们认为70%等剂量曲线是有效剂量，而50%的剂量曲线是用来进行病灶覆盖的等剂量曲线。这样就能够在放置靶点的同时，将靶点之间的相互影响的问题也同时考虑进去，从而避免了计算量很大的迭代，能够一步到位，而且使的我们的模型很有弹性。这样就避免了纯粹用几何来解决时遇到的几何和剂量分布差别较大的缺点。

在具体建立模型过程中，我们在一个50X50X50（625，000个像素）的正方形网格中讨论问题，这是能够满足一般情况下的技术精度的。

因为没有现成的病灶，我们利用随机和分形相结合方法生成了一个简陋的病灶（图五）。

在图形处理方面，我们利用现在在图形保存和压缩方面比较常用的骨架抽取的方法，具体通过利用“带符号的距离地图”（8SSED, Sequential Euclidean Distance mapping algorithms[6][8][12]）的思想来实现，通过记录病灶内部的像素到边界像素的最近距离，找到图形的中轴。

抽取出病灶的骨架后，我们利用骨架的特征（最大内球球心的集合）来进行靶点对病灶进行从“角”到中心类似贪心算法的覆盖，在形成治疗方案后，再对其进行评价，利用我们模型的弹性化设计再进行一些局部优化，将得到一个满意的结果。

我们的模型有很强的可操作性和弹性，并且算法复杂度低，稳定性好，完全实现计算机自动处理。

一问题重述：

伽玛刀是世界上最先进的治疗仪器之一，主要通过伽玛刀组发射的高剂量的γ射线来达到摧毁肿瘤的目的。伽玛刀组有固定在头罩上的201个钴-60单元来组成，单一一条射线是不足以杀死肿瘤细胞的，而201束射线同时在同一中心交汇，形成一个大致球体的剂量分布（称为靶点），并达到有效的剂量水平，杀死肿瘤细胞。可以通过四个可互换的外部瞄准仪头罩（有4，8，14，18mm四种射线束通道）来照射出不同的剂量分布尺寸。如果目标的体积较大，可以通过多个靶点的组合来覆盖整个目标，在实际中，大多需要一到十五个靶点。现在治疗方案大多是凭医师的经验和一个迭代算法，结果的满意程度在很大程度上取决于医师的经验。我们的模型就是要找到一种有效的方法，使计算机针对肿瘤的形状和周围健康组织的情况来自动生成一套治疗方案。

二假设条件：

1．由核磁共振(MRI)或CT提供的图像是足够精度的，我们暂不考虑其精度问题对我们模型的影响。

2．大脑组织是均匀的，且对γ射线的传播没有影响，即γ射线在其中传播能能量不会衰减。3．每条γ射线是一个理想的圆柱形，且各处能量密度相同，同时由于伽玛射线的波长很短且各放射源相互独立，因此认为相交时不发生干涉。

4．从不同准直器出来的光线的能量密度是相同的，在我们的模型中认为是不可改变的。4．γ射线组的焦点是严格准确的，不考虑实际中存在的焦点偏差。

5．各个靶点的照射时间是相同的，不考虑因为此而带来的剂量问题。

6．靶点是一个正球体。

7．某一点累积的剂量和这些剂量同时作用于这一点所起的效果是相同的。

三名词解释

1．有效剂量：能杀死肿瘤细胞的最低剂量。

2．能量密度：单位体积介质中的γ射线的能量。

3． IDL：isodose lines,等剂量曲线，在我们的模型中，说50%IDLs或选取50%等剂量线，是指用50%等剂量曲线的形状来作为靶点的参考形状。

四模型建立和算法设计

我们的模型有三个重要的组成部分：

1．靶点的剂量问题。

靶点剂量分布是有201条γ射线叠加而形成的，在我们的假设条件下通过计算讨论剂量的分布函数，多个靶点之间剂量的影响等问题，为下面的优化和评价提供基础。2．治疗计划的生成。

我们用三维抽取骨架算法（3D Skeleton ）来求出肿瘤的骨架，继而通过填充算法

来对靶点进行操作并进行自评价，最终生成一个较优化的治疗方案。

3． 对治疗计划的评价。

主要考虑剂量的覆盖面，剂量的分布是否均匀，及周围组织受到得剂量大小等。

（一）靶点的剂量分布

靶点的附近剂量曲线

根据我们的假设，γ射线呈圆柱形，不衰减，且不发生

干涉。叠加效果如图一所示,根据这一假设，我们可以求出靶

点周围的剂量分布。

先考虑一条射线，设这条射线的能量密度为Po, 截面半

径为a （可以为2mm/4mm/7mm/9mm ）。一个以靶心的中心为球心，

半径为R 的球，截得的圆柱体积为Vcut(R)，根据二次积分公

式可以求得

Vcut(R)=()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--2322334a R R π。 （1） 图一：光线叠加的结果

其中所包含的能量P(R)=Vcut(R)*Po 。

下面同时考虑201条γ射线，因为201条γ射线射线同时照射一个中心，可以认为以该

中心为球心的球面上各处的能量密度是相同的。半径为R(R>a)的球面上的能量密度为

()⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≤⨯>-∆+-∆+⨯=→∆)(201)

()()()()(201)(0a R Po a R R Vsp R R Vsp R P R R P Lim R R ρ （2）

(其中Vsp(R)表示半径为R 的球的体积，)(R ρ表示距靶点中心R 处的能量密度)

进一步可以求得()()()⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧≤>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯=a R Po a R R a Po R 2211ρ （3）

从此公式我们可以得到剂量分布如图二所示，从中可以明显看出从1--0.5曲线下降得很

厉害，以后逐渐变得平缓，因此选取不同的等剂量线作为有效剂量造成的对周围脑组织的影

响是不同的，越低越大。为了对周围脑组织造成较小的影响，相对剂量水平一定要达到50%

以上，国际上较通用做法也是选取50%等剂量曲线作为有效剂量覆盖病灶周边，目的是利用