单一参数正弦交流电路

2.2单一参数的正弦交流电路
本节将讨论电路由某些单一参数元件组成时，在正弦电源作用下，电压、电流关系的相量形式及其功率表现。

2.2.1电阻元件的正弦交流电路
（1）电阻元件上电压和电流的关系
纯电阻电路是最简单的交流电路，如图2-8所示。

我们所接触到的白炽灯、电炉、电烙铁等都属于电阻性负载，它们与交流电源连接组成纯电阻电路。

图2-8纯电阻电路
在图2-8中，电压与电流的关系在任何瞬时都服从欧姆定律，即
u=Ri
设流过电阻的正弦电流
则
电阻两端的电压与其流过的电流是同频率的正弦量，它们的大小和相位关系分别为
U=RI（2-16）
φu=φi（2-17）
可见，对于电阻的正弦交流电路，电压的有效值（或幅值）与电流的有效值（或幅值）成正比，且电压与电流同相。

由式（2-16）、式（2-17）可得电阻元件电压与电流的相量关系为
上式称为电阻元件电压电流关系的相量形式，或称为相量形式的欧姆定律。

它全面反映了电阻元件上正弦电压与电流的大小关系和相位关系。

其相量模型和相量图如图2-9所示。

图2-9电阻元件的相量模型和相量图
（2）电阻元件的功率
①瞬时功率电阻在某一时刻消耗的电功率叫做瞬时功率，它等于电压u与电流i瞬时值的乘积，并用小写字母p表示。

设流过电阻的电流、电压瞬时值分别为：
则
据此可画出电阻元件瞬时功率的波形图，如图2-10所示。

图2-10电阻元件瞬时功率的波形图
由图2-10可以看出，在任何瞬时，恒有p≥0。

这说明电阻是一种耗能元件，它将电能转为热能。

②平均功率由于瞬时功率是随时间变化的，其实用意义不大，因此工程上常采用平均功率。

平均功率是指瞬时功率在一个周期内的平均值，用大写字母P表示。

即
由于U=RI，因此电阻的平均功率也可表示为
平均功率表示电阻实际消耗的功率，又称为有功功率，其单位为瓦（W）。

由于通常所说的功率都是指平均功率，因此简称功率。

例如功率为40W的白炽灯，是指白炽灯在额定工作情况下，所消耗的平均功率为40W。

注意：上式与直流电路中电阻功率的表达式相同，但式中的U、I不是直流电压、电流，而是正弦交流电的有效值。

【例2-6】在图2-8所示电路中，R=10Ω，，求电流i的瞬时值表达式、相量表达式和平均功率P。

解：由，得
P=UI=10×1=10W
2.2.2电感元件的正弦交流电路
（1）电感元件上电压和电流的关系
纯电感电路如图2-11所示。

图2-11纯电感电路
设流过电感的电流为
则电感两端电压为
比较式（2-22）和式（2-23）可见，电感元件两端的电压u与流过的电流i是同频率的正弦量，它们的大小和相位关系为
U=ωLI（2-24）
φu=φi+90°（2-25）
可见，对于电感的正弦交流电路，电压的有效值（或幅值）与电流的有效值（或幅值）成正比，且电压的相位超前电流90°。

式（2-24）、式（2-25）表明了电感元件在正弦交流电路中的电压电流关系，用相量表示为
式（2-26）称为电感元件电压电流关系的相量形式。

它全面反映了电感元件上正弦电压与电流的大小关系和相位关系。

其相量模型和相量图如图2-12所示。

图2-12电感元件的相量模型和相量图
由式（2-24）有
上式说明电感元件电压与电流有效值（或幅值）之比不仅与电感L有关，而且与频率f有关，这是电感元件在正弦交流电路中表现出来的重要特性。

显然，ωL具有电阻的单位，即欧姆（Ω），它表示了电感元件对正弦交流电的阻碍作用，称为感抗，用X
L表示，即
X L=ωL=2πfL（2-27）
当f=0时X
L=0，表明线圈对直流电流相当于短路，这就是线圈本身所固有的“通直流阻交流，
通低频阻高频”特性。

引入感抗概念后，式（2-26）又可写为
（2）电感元件的功率
①瞬时功率设流过电感的电流
则
电感元件的瞬时功率
式（2-29）表明，电感元件的瞬时功率p 随时间t 按正弦规律变化，其角频率为2ω。

瞬时功率p 可为正值，也可以为负值。

当p >0时，表示电源供给电感元件电能，电感元件将电能转化为磁场能，并存储在电感元件中；当p <0时，表示电感元件将所储存的磁场能量释放出来返还给电源。

可见电感元件在正弦交流电路中不断地进行电能和磁场能之间的转换，这是储能元件与耗能元件的重要区别。

瞬时功率p 随时间t 变化的曲线如图2-13所示。

图2-13 电感的u 、i 、p 波形图
②平均功率 电感元件瞬时功率在一个周期的平均值称为平均功率或有功功率，即
式（2-30）说明电感元件与电源之间只有能量的交换，它本身不消耗能量，所以电感是储能元件。

为了衡量电感元件与电源之间进行能量交换的大小，通常将瞬时功率的最大值称为无功功率，用Q L 表示，其单位为乏（var ）或千乏（kvar ）。

电感元件的无功功率为
【例
2-7】
把一个电感量为
0.35H
的线圈，接到
的电源上，求线圈中电流瞬时值表达式。

解：由电压的解析式可知
U =220V ，ω=100πrad/s ，φ=60°
X L=ωL=100×3.14×0.35≈110Ω
因此，通过线圈的电流瞬时值表达式为
2.2.3电容元件的正弦交流电路
（1）电容元件上电压和电流的关系
纯电容电路如图2-14所示。

图2-14纯电容电路
设电容两端的电压为
则流过电容的电流为
比较以上两式可见，流过电容的电流i与电容两端的电压u是同频的正弦量，它们的大小和相位关系为
I=ωCU（2-32）
φi=φu+90°（2-33）
可见，对于电容的正弦交流电路，电压的有效值（或幅值）与电流的有效值（或幅值）成正比，且电流的相位超前电压90°。

式（2-32）、式（2-33）表明了电容元件在正弦交流电路中的电压电流关系，用相量表示为
式（2-34）称为电容元件电压电流关系的相量形式。

它全面反映了电容元件上正弦电压与电流的大小关系和相位关系。

其相量模型和相量图如图2-15所示。

图2-15电容元件的相量模型和相量图
由式（2-32）可得
上式说明在电容的正弦交流电路中，电压与电流有效值（或幅值）之比不仅与电容C有关，而且与频率f有关，这是电容元件在正弦交流电路中所表现的重要特点。

由于1/（ωC）也具有电阻的单位，即欧姆（Ω），它体现了电容对正弦交流电的阻碍作用，故称为容抗，用X C表示，即
电容元件对高频电流所呈现的容抗很小，相当于短路；而当频率很低或直流（f=0）时，电容就相当于开路。

这就是电容的“通交流隔直流，通高频阻低频”特性。

引入容抗的概念后，式（2-34）又可写为
（2）电容元件的功率
①瞬时功率对于电容的正弦交流电路，为了与电感的正弦电路相比较，改设电容电源i为参考正弦量，即
则
所以电容元件的瞬时功率
上式表明，电容的瞬时功率p以UI为幅值，以2ω为角频率随时间按正弦规律变化。

瞬时功率p可正可负，当p>0时，表示电容吸收电能，并将其转换成电场电能；当p<0时，表示电容释放能量，并将其还给电源。

电容与电源之间不停地进行能量交换，是电容元件在正弦交流电路中表现出来的另一重要特性。

电容元件的瞬时功率p随时间t变化的曲线如图2-16所示。

图2-16电感的u、i、p波形图
②平均功率与电感元件类似，电容元件的平均功率为
上式说明电容元件本身不消耗功率，所以它不是耗能元件，而是储能元件。

对于电容元件，为了体现其与电感元件具有不同的性质，通常将电容瞬时功率幅值的相反数定义为电容的无功功率，用Q
C表示，即
【例2-8】把电容量为40μF的电容器接到正弦交流电源上，如果通过电容器的电流为
，试求电容器两端的电压瞬时值表达式。

解：根据电流解析式得
I=2.75A，ω=314rad/s，φ=30°
则
电容器的容抗为
电容器两端电压瞬时值表达式为。