计算方法与实习第五版-习题答案

e( x1 x2 x3 ) e( x1 ) e( x2 ) e( x3 ) e( x1 x2 x3 ) e( x1 ) e( x2 ) e( x3 )
e( x1 ) e( x2 ) e( x3 )
0.5 *10 4 0.5 *105 0.5 *105 0.6 *10 4
(3) x=ln(4x)= φ2(x): |φ2’(x)|=1/x>1 (发散) (4) 计算：x0=0 x1=0.2500 x4=0.3529 x5=0.3558 x9=0.3574 x8=0.3573 x2=0.3210 x6=0.3568 x10=0.3574
4
x3=0.3466 x7=0.3572 ∴ x ≈ 0.3574
解：计算根 1）迭代公式： xk 1
1 x
3
2 k
2）迭代计算： x0=1.5 x4=1.467
x1=1.481
x2=1.473 x6=1.466
x3=1.469
x5=1.466
∴ x ≈ 1.466
方程求根

习题2——9：用牛顿迭代法求方程x5-235.4=0的根， 要求精确到4位有效数字，取初值为3。
(3) x=ln(4x)= φ2(x): |φ2’(x)|=1/x<1 (收敛),
迭代公式为：
xk 1 ln(4xk )
x3=2.137 x8=2.153
(4) 计算：x0=2 x4=2.146 x5=2.150
x1=2.079 x2=2.118 x6=2.152 x7=2.153 ∴ x ≈ 2.153
解：1）求单调区间 f’(x)=-1-cosx，可知在(3.14, 0)区间f’(x)<0，单调递减 2）在(3.14, 0)区间逐步搜索 f(0)=1-0-sin0=1>0，f(1)=1-1-sin1=-sin1<0 ∴方程1-x-sinx=0在[0,1]中有且只有1个根。 ba 1 1 3）求二分次数 k 1 k 1 *10 3

a. c.
' ( x) r 1
b. d.
' ( x) r 1
' ( x) r 1

' ( x) r 1
方程求根——练习1

用二分法求方程在区间[1, 1.5]内的近似 根，要求精确到小数点后第2位，则至少 ba 6 需要二分 次。 ln
k

ln 2
2）判断二分次数 由(b-a)/2k+1=1/2k+1≤1/2*10-3，解得k≥3ln10/ln2≥9.965， 所以需要二分10次，才能满足精度要求。
方程求根

习题2——2：用二分法求方程2e-x-sinx=0在区 间[0,1]内的1个实根，要求3位有效数字。
解：3）迭代计算
∴x ≈0.921
方程求根

习题2——3：用简单迭代法求方程ex-4x=0的 根，并验证收敛性，精确到4位有效数字。

解：2.在区间[0,1]上构造收敛的公式并计算
x=ln(4x)= φ2(x) (1)两种等价形式： x=ex/4=φ1(x)； xk (2) x=ex/4=φ1(x)： e |φ1’(x)|=ex/4<1 (收敛)， 迭代公式为： xk 1
解：f(x)=x5-235.4, f’(x)=5x4 1）写出迭代公式： xk 1 xk
5 5 xk 235.4 4 xk 235.4 4 4 5xk 5xk
2）迭代计算： x0=3.0
x4=2.981
x1=2.977
x2=2.982
x3=2.981
∴ x≈2.981
方程求根

2 3
| x 0 1.5
=0.4557 <1(收敛) ∴2比1收敛快
∵ | 2’(x)|<|1’(x)|
方程求根
解： 3) x x3 1
1 3 3 2 2 3 ' ( x) ( x 1) 2 3x x ( x 1) 2 x0 1.5 2.89 2 2 1 1
方程求根

习题2——3：用简单迭代法求方程ex-4x=0的 根，并验证收敛性，精确到4位有效数字。

解：2.在区间[2,3]上构造收敛的公式并计算
x=ln(4x)= φ2(x) (1)两种等价形式： x=ex/4=φ1(x)； (2) x=ex/4=φ1(x)： |φ1’(x)|=ex/4>1 (发散)
绪论

习题1——6：一台10进制的计算机，4位字长， 阶码p∈[-2,3]，可以表示的机器数有多少个？ 给出它的最大数、最小数及距原点最近的非 零数，并求fl(x)的相对误差限。

解：β=10，t=4，L=-2，U=3

机器数个数：2*(β-1)*βt-1*(U-L+1)+1=2*9*103*6+1=108001 距原点最近的非零数：±0.1000*10-2 最大的数：0.9999*103 最小的数：-0.9999*103 相对误差限：0.5*10-3(舍入机)， 10-3(截断机)
计算方法(数值分析)
习题答案——第一、二章
教师：马英杰 成都理工大学 核自学院
绪论

习题1——1：指出下列各数有几位有效数字
4.8675 4.08675 0.08675 96.4730 96*105 5 6 4 6 2
0.00096
2
绪论

习题1——2：对下列各数写出具有5位有效数 字的近似值
3.25894 3.25896 4.382000 0.000789247
根的近似值
0.5000 0.7500 0.8750 0.9375 0.9063
序号
1 2 3 4 5
序号
6 7 8 9 10
根的近似值
0.9219 0.9141 0.9180 0.9200 0.9209
方程求根

习题2——3：用简单迭代法求方程ex-4x=0的 根，并验证收敛性，精确到4位有效数字。 解：1.找出方程的有根区间
第一章 绪论 练习


3．设数据x1，x2的绝对误差限分别为0.05和 0.005，那么两数的乘积x1x2的绝对误差限 (x1x2)= 0.05 x2 0.005x1 。 4. 0.00234711 具有 5 位有效数字的近似值 是: ( b ) 5. 在β=10，t=5，－L=U=5的截断机上， 与数410037对应的规格化浮点数是: ( d )
1

用迭代法求方程根的关键问题是：

a．精确地选定初值 c．正确构造一个迭代公式
b．选定一个粗糙的初值 d．编好计算程序
f(x0)=-1 f(x1)=1.248
f(x2)=-0.0621
f(x3)=-0.0036
f(x4)=0.00001
∴ x ≈ 2.095
方程求根——练习1

求解方程f(x)＝0，若可以表成x＝(x)， 则用简单迭代法求根，那么要使近似根 序列x1 , x2 ,, xn ,一定收敛，(x)应满足：
3.2589
3.2590 4.3820 0.00078925
绪论
习题1——4：已知下列近似值x1=4.8675, x2=4.08675, x3=0.08675，求x1+x2+x3 的误差限。 4 5 5 e ( x ) 0 . 5 * 10 , e ( x ) 0 . 5 * 10 , e ( x ) 0 . 5 * 10 解： 1 2 3
方程求根

习题2——6：方程x3-x2-1=0在1.5附近有一根，将方 程写成如下不同的等价形式，判断是否满足迭代收 敛的条件，并选择一种最好的迭代格式，以x0=1.5 为初值求方程的根，要求精确到4位有效数字。

1) 2) 4) 3)
x=1+1/x2 x3=1+x2 x2=x3-1 x2=1/(x-1)
a. 0.41003×106 c. 4.10037×105 b. 0.41004×106 d. 上溢 a．0.00235 c．0.0023 b．0.0023471 d．0.00234711

第一章 绪论 练习

6. 自然数e*=2.718281828459045…，取 e≈2.71828，那么e的有效数字是: ( b )
a．5位 b．6位 c．7位 d．8位

7. 数13.013627……的有四位有效数字 的近似值是: ( d )
a．13.00 c．13.014 b．13.02 d．13.013
方程求根

习题2——1：证明方程1-x-sinx=0在[0,1]中有 且只有1个根，用二分法求误差不大于1/2*10-3 的根需要迭代多少次？
4) x
1 x 1
>1(不收敛)
|’(x)|= | 1 2
( x 1)

3 2
|x0 1.5
=1.4142
>1(不收敛)
∵ | 2’(x)|<|1’(x)|
∴2比1收敛快
xk 1 3 1 xk2
方程求根

习题2——6：方程x3-x2-1=0在1.5附近有一根，将方 程写成如下不同的等价形式，判断是否满足迭代收 敛的条件，并选择一种最好的迭代格式，以x0=1.5 为初值求方程的根，要求精确到4位有效数字。


1．《计算方法》课程主要研究以计算 机为工具的 数值 分析方法 ，并评价 该算法的计算误差。 2．近似值作四则运算后的绝对误差限 公式为 ( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 ) ，近似值 1.0341的相对误差限不大于 1 10 2 ， 则它至少有三位有效数字。 4
方程求根
解：1) x 1 1 x2
|1’(x)|= | -2 1 x3 |= 2
(x)
1 1.53 | x0=1.5 =0.59 <1(收敛)
2) x 3 1 x 2
| 2’(x)|= | 1 3
(1 x )
2 2 3
2 2 | x ( 1 x ) 2x | = 3

f ( xk )(xk xk 1 ) xk 1 xk f ( xk ) f ( xk 1 )
习题2——11：用割线法求方程x3-2x-5=0的根，要 求精确到4位有效数字，取x0=2, x1=2.2。
解： x0=2.0 x1=2.2
1.248* (2.2 2) x2 2.2 2.089 1.248 (1) 0.0621 * (2.089 2.2) x3 2.089 2.094 0.0621 1.248 0.0036 * (2.094 2.089 ) x4 2.094 2.095 0.0036 0.0621 0.00001 * (2.095 2.094 ) x5 2.095 2.095 0.00001 0.00361

(1)单调区间：
令f’(x)=ex-4=0, x=ln4≈1.4，所以有两个单调区间： [- ∞，1.4](递减)和[1.4， ∞](递增)

(2)有根区间：∴ 存在两个有根区间为：[0，1] 和[2，3]
[- ∞，1.4]区间：f(0)=1>0，f(1)=e-4<0，所以有根区间为：[0，1] [1.4，+ ∞]区间：f(2)=e2-8<0，f(3)=e3-12>0，所以有根区间为：[2，3]
3 ln( 10 ) k
ln( 2)
9.965
2
2
2
∴需二分10次
方程求根——二分法

习题2——2：用二分法求方程2e-x-sinx=0在区 间[0,1]内的1个实根，要求3位有效数字。
解：1）判断是否在该区间有且仅有一个根
f(0)=2>0，f(1)=2/e-sin1≈-0.1<0， f’(x)=-2e-x-cosx，f’=-3,-2/e-cos1<0
绪论
习题1——10：设 f ( x) 8x5 0.4x4 4x3 9x 1 用秦九韶法求f(3)。 解：

8
0.4
24
4
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0
9
1
x3
8
70.8
74.8
224.4
224.4
673.2 664.2
1992.6
1993.6
23.6
∴ f(3)=1993.6
第一章 绪论 练习