哈工大大学物理第14章

1 2 1 2 1 2 kx mv kA 可得动能和势能相等时，物体 2 2 2
的位移 x。 要求从 t = 0 时刻到达动能和势能相等时所需的时间，关键是获得两时刻时的相 位差。 解（1）动能和势能相等时，满足
1 2 1 2 1 1 2 kx mv kA 2 2 2 2
可求得
x
(2) 当 3 1 2k k 0,1, 2 由于 1

2
即 x1 和 x3 相位相同时，x1 和 x3 合成振幅为最大， ，
3 3 ， 故 3 2k 4 4
k 0,1, 2
（3）当 3 2 (2k 1) k 0,1, 2 为最小，由于 2
x 0 ， v 0 ，由旋转矢量法得 t 1 3 2
t 1 o 3 2 2 3 5 t t 1 6
由旋转矢量图可知
（2）振动表达式为
5 2 x 0.1cos t 3 6
2
4. 14-8 一弹簧振子作简谐振动， 振幅 A = 0.10m ,弹簧的劲度系数 k = 2.0N/m ,物体的质量 m = 0.50 kg,试求： （1）动能和势能相等时，物体的位移是多少？ （2）设 t = 0 时,物体在正最大位移处，则在一个周期内，达到动能和势能相等所需的时间 是多少？ 分析 根据简谐振动的总能量 E
第14章 振动
一、书后作业
作业（大物 2）
1. 14-1 已知简谐振动方程为 x 0.10 cos(10t 4 ) ,求： （1）该简谐振动的振幅、周期、 频率、角频率和初相； （2）最大速度和最大加速度。 分析 将已知的简谐振动方程与简谐振动方程的一般形式 x A cost o 作比较， 即 可求出各特征量。速度和加速度的计算与质点运动学的计算方法相同。 解 （1）将 x 0.10 cos(10t 4 ) 与 x A cost o 相比较后可得 该简谐振动的振幅 A 0.10m ， 角频率 10 s-1， 初相 o 4 ， 则周期 T 2 0.2s , 频率 1 T 5Hz （2）位移 速度 加速度
2 A 0.071m 或 2
x
2 A 0 . 0 7 1 m 2
（2）角频率为

k 2.0rad s-1 m
相位为 0， 动能和势能相等时相位可以为 4 、3 4 、5 4 t 0 时,物体在正最大位移处， 或 7 4 ，在一个周期内，达到动能和势能相等所需的时间为
，即 x2 和 x3 相位相反时，x2 和 x3 合成振幅
k 0,1, 2

4
， 故 3 2k
5 4
9. 14-25 示波管中的电子束受到两个相互垂直的电场作用， 电子在这两个方向上的位移分别 为 x = Acos t 和 y =Acos( t+ )。试求在 = 0、 = /6 及 = /2 这三种情况下，电子在 荧光屏上的轨迹方程。 解 由题可知电子的轨迹是两个同频率，振动方向互相垂直简谐振动的合成
3 x12 0.32 0.42 2 0.3 0.4 cos 0.5 4 4
3 Xx 4 4 7 tan 12 Ox 0.4cos 0.3cos 3 4 4 0.4sin 0.3sin

12 arctan 7 , 0 12
x=-0.05,
题 14-2 图
v 0.05 sin 4 3 0.136m s1
振动的加速度 a 0.0252 cos 4 3 0.123m s2 （3）从问题（2）中的位置回到平衡位置的最短时间为
t



2 4 3 =1.33s 0.5
fA
C
fB B
NB
mg
2d
0
x
x
题 14-16 图
T 2 2
mk。
解 如图所示，以两轮位置的中点（对称位置）为坐标原点建立坐标轴，设木板的质心 位置坐标为 x ，对木板进行受力分析，根据刚体平衡 以 A 处为轴有 2dN B mg ( d x) 得
4
NB
mg (d x) 2d
5
当 0 时，电子的轨迹为 象限方向的直线。 当
x 2 y 2 2 xy 0 , 即 x y 电子的轨迹为一条沿一、三 A2 A2 A2
6 时 ， 电 子 的 轨 迹 为
A2 电子的轨迹为一椭圆。 4
x 2 y 2 2 xy 2 2 cos( ) sin 2 ， 即 2 A A A 6 6
t1
或
1
t2
3 4 1.18s 2.0
t3
5 4 1.96s 2.0


4 0.39s 2.0 t4
7 4 2.75s 2.0
即在一个周期内，达到动能和势能相等所需的时间 0.39s、1.18s、1.96s、2.75s。 5. 14-10 劲度系数为 k = 2Nm-1 的轻弹簧， 下面悬挂一质量为 80 g 的小球构成竖直方向的弹 簧振子。现将小球由平衡位置向下拉开 1.0 cm 后，给予向上的 5.0 cms-1 的初速度。试求振 动的周期和振动的表达式。 分析 求振动的周期和振动的表达式，也就是要确定振动的三个特征量。其中振动的周 期、角频率由弹簧振子系统的固有性质（振子质量和弹簧劲度系数）决定，即
O
题 14-13 用图
M M g M F (
当偏角 很小时，上式可变为
mgl ml 2 d 2 sin ) ( kl sin l cos ) 2 3 dt 2
d 2 3 mgl 2 kl 2 0 2 dt ml 2
细杆作微小振动时的频率
X 0.3cos( 8t+3/4 ) , x2 = 0.4cos( 8t+/4 ) , x3 = 0.3cos( 8t+3 ) 。试求： （1）用旋转矢量法求出 x1 和 x2 合振动的振幅 x12 和初相位12 ； （2）欲使 x1 和 x3 合成 x1 x2 振幅为最大，则3 应取何值？（3）欲使 x2 和 x3 合成振 3π/4 幅为最小，则3 应取何值？ π/4 x 分析 可采用解析法或旋转矢量法求解。 x 题 14-24 图 解 (1) 由题可知 x1 和 x2 是两个振动方向、频率都 相同的简谐振动，其合振动也是简谐振动，角频率与分振动的角频率相同。利用旋转矢量图 可知合振来自百度文库的振幅
以 B 处为轴有 2dN A mg ( d x)
得
NA
F合 f A f B N A N B
即 m
mg
d
mg (d x) 2d
x
d 2x mg x 故木板作简谐振动。 2 dt d

g
d
，T
2

2
d g
8. 14-24 三 个 同 方 向 的 简 谐 振 动 分 别 为 x1 =
k m，
T 2 m k 。振幅 A 和初相 o 需由初始条件确定。
解 取小球的平衡位置为坐标原点，向下为 x 轴正方向。 系统简谐振动的角频率 k m 2 0.08 5rad s-1 周期 T 2
m 1.26s k
-1 由初始条件 t=0 时， x A cos 0 0.01m ， v A sin 0 0.05m s
3
振幅 A
x2
m 2 v 2 102 m k
由旋转矢量法得初相位 0 4
则振动的表达式为
x 2 102 cos 5t 4
6. 14-13 一匀质细杆质量为 m，长为 l，上端可绕悬挂轴无摩擦的在竖直 平面内转动，下端与一劲度系数为 k 的轻弹簧相联，如图所示，当细杆处 于铅直位置时，弹簧不发生形变。试求细杆作微小振动时的频率。 分析 要求细杆微小振动的频率，首先要通过细杆的受力情况列出其 微分动力学方程，确定细杆简谐振动的角频率，然后给出相应的频率。 解 取细杆铅直位置为坐标零点，垂直纸面向外为正方向，当细杆偏 离 ，分析杆受到的恢复力矩，建立系统的动力学方程
x 0 . 1 0 c o s 1 t 0 4
v s i n ( 1 t 0 4 )
vmax π m s-1
amax 102 m s-2
a 102 cos 10t 4
2. 14-2 一物体做简谐振动，振幅为 10 cm，周期为 4 s。t = 0 时，位移为–5 cm，且向 x 轴 负方向运动。试求： （1）此简谐振动的运动方程； （2）在 x = -5 cm 处，且向 x 轴正方向运 动时的速度和加速度； （3）从问题（2）中的位置回到平衡位置的最短时间。 分析 简谐振动的振幅 A 、角频率 、初相 o 是简谐振动的运动方程的三个特征量。 求简谐振动的运动方程就是要设法确定这三个物理量。角频率可以通过 2 T 确定。初 相 o 的确定有两种方法： （1）解析法，由振动表达式出发，根据初相条件 t 0 时
xo A cos o ，v o A sin o 来确定 o 。 （2） 利用旋转矢量法， 将初始位置 x o 与速度 v o
方向与旋转矢量图相对应来确定 o 。一般采用旋转矢量法比较直观、方便。而求振动在某 一状态的速度和加速度找到相应的相位就可获得。求从问题（2）中的位置回到平衡位置的 最短时间，仍可采用旋转矢量法或者解析法。 解 （1）由已知可得简谐振动的的振幅 A 0.10 m，角频率 2 T 0.5 s-1， 振动表达式为 t = 0 时，
v
1 3mg 6kl 2 2ml
7. 14-16 如图所示，两轮的轴相互平行，相距为 2d，两 NA 轮的转速相同而转向相反。现将质量为 m 的一块匀质 木板放在两轮上，木板与两轮之间的摩擦系数均为。 A 若木板的质心偏离对称位置后， 试证木板将作简谐振动， 并求其振动周期 分析 要证明木板作简谐振动，需要分析木板在平 衡位置附近左右运动时，受到的合外力 F 与位移 x 的 关系是否满足 F kx ，如果满足木板将作简谐振动。 通 过 F kx 即 可 求 出 振 动 周 期
x 0.10cos 0.5t o
x 0.10 cos o 0.05 ， v 0.05 sin o 0
1
有旋转矢量法得 振动方程
o 2 3
3
t=0
x0.1co 0t. 5 2 s
（2）由旋转矢量法得在 x = -5 cm 处，且向 x 轴 正方向运动时的相位为 4 3 此时振动的速度 -0.05 O 0.10
3. 14-4 有一简谐振动，其振动曲线如图所示。试求： （1）该振动的角频率和初相； （2）振 动表达式。
x /cm
t =0
10

-5 -10
1
t /s
0.1
0.05
O x t =1
题 14-4 图
分析 由有振动曲线求运动方程是振动中常见的问题。这类题目的思路就是根据振动曲 线确定振动的三个特征量 A 、 、 o ，从而写出振动表达式 x A cos(t o ) 。曲线的 最大幅值即为振幅 A。初相 o 通过解析法或者旋转矢量法求得。通过 t 确定 。 一般采用旋转矢量法比较直观、方便。 解（1）由图可知 A 0.1m ，且 t 0 时 xo 0.1cos o 0.05 ，故 cos o 1 2 又因为 t 0 时 v o 0.1 sin o 0 ，由旋转矢量法得 2 o 从图中可知 t 1 时 故 o 2 3