数学建模期末大作业

数学建模期末大作业论文

题目：A题美好的一天

组长：何曦（2014112739）

组员：李颖（2014112747）张楚良（2014112740）

班级：交通工程三班

指导老师：陈崇双

美好的一天

摘要

关键字：Dijkstra算法多目标规划有向赋权图 MATLAB SPSS

1 问题的重述

Hello！大家好，我是没头脑,住在西南宇宙大学巨偏远的新校区（节点22）。明天我一个外地同学来找我玩，TA叫不高兴，是个镁铝\帅锅，期待ing。我想陪TA在城里转转，当然是去些不怎么花钱的地方啦~~。目前想到的有林湾步行街(节点76)、郫郫公园（节点91），大川博物院（节点72）。交通嘛，只坐公交车好了,反正公交比较发达，你能想出来的路线都有车啊。另外，进城顺便办两件事，去老校区财务处一趟（节点50），还要去新东方（节点34）找我们宿舍老三，他抽奖中了两张电影票，我要霸占过来明晚吃了饭跟TA一起看。电影院嘛，TASHIWODE电影院（节点54）不错，比较便宜哈。我攒了很久的钱，订了明晚开心面馆（节点63）的烛光晚餐，额哈哈，为了TA，破费一下也是可以的哈。哦，对了，老三说了，他明天一整天都上课，只有中午休息的时候能接见我给我票。

我主要是想请教一下各位大神：

1）明天我应该怎么安排路线才能够让花在坐车上的时间最少？

2）考虑到可能堵车啊，TA比较没耐心啊，因为TA叫不高兴嘛。尤其是堵车啊，等车啊，这种事，万一影响了气氛就悲剧了。我感觉路口越密的地方越容易堵，如果考虑这个，又应该怎么安排路线呢？

3）我们城比较挫啊，连地图也没有，Z老师搞地图测绘的，他有地图，跟他要他不给，只给了我一个破表格（见附件，一个文件有两页啊），说“你自己画吧”。帮我画一张地图吧，最好能标明我们要去的那几个地方和比较省时的路线啊，拜托了~

2 问题的分析

2.1 对问题一的分析

问题一要求安排路线使得坐车花费的时间最少。

对于问题一，假设公交车的速度维持不变，要使花费的时间最少，则将问题转化为对最短路径的求解。求解最短路径使用Dijkstra算法很容易进行求解，在运用MATLAB编程，得到最优的一条路径，则这条路径所对应的时间即为最少用时。

2.2 对问题二的分析

问题二要求在考虑堵车的情况下，路口越密越容易发生拥堵，安排路线是乘车时间最短。

对于问题二，在问题的基础上增加了附加因素，即公交车的速度会因道路的密集程度而发生改变，从而问题一建立的基本Dijkstra算法对于问题二就不再适用了，因此对问题一的基本Dijkstra算法进行改进，并结合蚁群算法的机理与特点，运用MATLAB求解出最短路径，保证了花费时间的最少性。

2.3 对问题三的分析

问题三要求根据提供的附件，画出一张地图，标明要去的那几个地方和比较省时的路线。

对于问题三，在问题一和问题二的基础上，根据求解的结果，运用SPSS软件画出地图。

3 模型假设

1、问题一开动中的公交车速度为一恒定值

2、问题一公交车不会遇到拥堵情况

3、不计公交车启动与制动时间

4、不计公交车在站台的停留时间

5、节点之间均为直线距离

4符号说明

5模型的建立与求解

5.1 问题一模型的建立与求解

公交车速度是恒定的，要使坐车时间最短，故使两点之间的路程最短。根据题目，要去7个地点，且均乘坐公交车。

5.1.1 最短路径基本概念

用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括：

确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题。

确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。

确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径

5.1.2 Dijkstra算法描述

构造赋权图G=(V,E,W)。其中，定点集V={v

1,...,v

n

}，这里v

1

，...，v

n

表示各

符号含义

公交车行驶速度

0-1变量

路口i和j连接道路长度与公交车行驶速度的比值

i路口与j路口间道路长度

T最短时间

i,j,r 节点

经过每个节点的概率

个地点；E为边的集合，邻接矩阵，这里表示顶点和之间直通的

距离，若顶点和之间无连接，。问题就是求赋权图G中指定的两个顶点，间的具有最小权的路。这条路叫做，间的最短路，它的权叫做，间的距离，亦记作。迪克斯特拉算法的基本思想是按距从近到远为顺序，

依次求得到G的各项点的最短路和距离，直至(或直至G的所有顶点)，算法结束。为避免重复并保留每一步的计算信息，采用了标号算法。下面是该算法。

（1）。

（2）

代替，这里表示顶点u和v之间边的权值。计算，把达到这个最小值的一个顶点记为，令。

（3）若，则停止；若，则用i+1代替i，转（2）。

5.1.3 有向赋权图的定义

（1）邻接矩阵的建立

将该道路视为一个有向权图，其领接矩阵可定义为：

其中，表示该有向权图，其领接矩阵元素为0-1决策变量，定义为：

（2）权值（时间）矩阵的建立

同样，根据题目时间最短的要求，本文将时间作为该有向赋权图中第i各节点和第j个节点之间弧的权值，即：

其中，时间矩阵元素是路口i和j连接道路长度与公交车行驶速度的比值，

即：

其中，--公交车行驶速度，规定为40km/h，