第四章 线性系统的能控性和能观性

1 0 0 1 1 ~ 1 0 B Tc1 B 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 ~ C CTc 0 1 2 1 1 0 1 1 2 0 1 1
现代控制理论
山东大学控制科学与工程学院
3.5 对偶性原理
从前面几节的讨论中可以看出控制系统的能控性 和能观测性，无论从定义或其判据方面都是很相似的。 这种相似关系决非偶然的巧合，而是有着内在的必然 联系，这种必然的联系即为对偶性原理。 设系统1的状态空间表达式为 1 (t ) Ax1 (t ) Bu1 (t ) x y1 (t ) Cx1 (t ) 设系统2的状态空间表达式为 T T x2 (t ) A x2 (t ) C u2 (t ) T y ( t ) B x2 (t ) 2
1
1 0 0
16
（3）能观测子系统
0 - 1 ~ 1 x1 x1 (t ) u (t ) 1 - 2 1 y1 (t ) [1 0] x1 (t )
~
. ~
17
3．系统按能控性和能观测性分解 将上述两个定理结合起来，就可得到卡尔曼 （Kalman）标准分解定理。 定理3-13 设有n维线性定常系统(A，B，C)，若 系统既不完全能控，也不完全能观测，那么存在一个 非奇异矩阵线性变换，可使系统变换为如下形式
1


~ ~ ~ ~ ~ ~ x2 (t） A21 x1 (t ) A22 x2 (t ) B2u(t )
n–l 维子系统是不能观测的。
13
能观测部分 u(t) B1
A11 x1(t) + + + ∫ A21 x2(t) C1
y( t )
B2
+
∫ A22
不能观测部分
14
例3-15 把例3-14系统按能观测性分解。 解：（1）判断系统是否完全能观测
称系统1和系统2是互为对偶的，即2是1的对 偶系统，反之，1是2的对偶系统。 2
u1(t)
x1(t) B
++
∫
A
x1(t)
C
y1(t)
y2(t) BT
x 2( t )
∫Biblioteka Baidu
AT
x 2( t )
+ +
CT
u 2( t)
从结构图上看，系统1和其对偶系统2的输入端和输出端互换， 信号传递方向相反，信号引出点和比较点互换，各矩阵转置。
1
11
（3）能控子系统
0 - 1 ~ 1 ~ 1 x1 x1 (t ) x 2 (t ) u (t ) 1 - 2 2 0 y1 (t ) [1 - 1] x1 (t )
~
. ~
12
2. 系统按能观测性分解 定理3-12 设有n维状态不完全能控线性定常系统 (A，B，C)，rankQo=l<n，则必存在一个非奇异矩阵 ~ x ( t ) T (t ) To ，令 o x，能将系统变为 T
C 0 1 2 Qo CA 1 2 3 CA 2 3 4 2
rankQo = 2 ∴ 原系统是状态不完全能观测的。 （2）结构分解
To1 1 2 0 1 2 3 0 1 0
1 0 0 Tc 1 1 0 0 1 1
（3）将不能控子系统按能观测性分解,可知它是能观的
20
0 1 1 1 c (t ) xc (t ) x 1 2 2 0u (t ) x Nc (t ) 0 0 1 x Nc (t ) 0 xc (t ) y (t ) 1 1 2 x Nc (t )
T
C CA Qc2 = [CT ATCT … (AT)n 1CT ] n1 CA
4
BT T T B A 2B … An 1B ] T Qo 2 = [ B AB A T T n 1 B ( A )
u(t)
∫
A12
x1(t) C1
y( t )
++
∫
A22
x2(t) C2
9
例3-14 线性定常系统状态空间表达式为
0 1 x ( t ) 0 y (t ) 0 0 1 1 1u (t ) 0 3 x ( t ) 1 3 0 1 2x (t )


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cô u ( t) y(t) co
++
ĉo
ĉô
19
例3-16 把例3-12系统按能性和能观测性结构 分解。 解：（ 1）判断系统的能控性和能观测由例 314和例3-15知 rankQc = 2 < n rankQo = 2 < n （2）将系统按能控性分解 根据例3-14， 取 系统分解后


~ ~ ~ ~ ~ ~ A11 x1 (t ) A12 x2 (t ) B1u(t ) x1 (t） ~~ y1 (t ) C1 x1 (t )
~ ~ ~ A22 x2 (t ) x2 (t） ~~ y2 (t ) C 2 x2 (t )
15
0 1 2 0 0 1 0 1 2 0 1 0 ~ 1 A To ATo 1 2 3 1 0 3 1 2 3 1 2 0 0 0 1 0 1 3 0 1 1 0 0 1
~~ ~ ~ Ax (t ) Bu(t ) x (t） ~~ y (t ) Cx (t ) ~ ~ ~ A11 0 B1 A13 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~ A21 A22 A23 A24 ~ B2 A B ~ 0 0 0 A33 0 ~ ~ 0 A43 A44 0 0 ~ ~ ~ C C1 0 C2 0
（4）将能控子系统按能观测性分解 非奇异线性变换矩阵为
T
1 o1
1 1 0 1
1 1 To1 0 1
co (t ) 1 xco (t ) x 1 0 1 1 1 1 T01 T01 T01 xcˆo T01 u (t ) x ˆ (t ) ˆ (t ) 1 2 xco 2 0 co 1 0 xco (t ) 1 1 xcˆo u (t ) ˆ (t ) 1 1 xco 2 0 xco (t ) x co (t ) y1 (t ) 1 1T01 1 0 x ( t ) x ( t ) ˆ co ˆ co
~ ~ ~ ~ A11 0 x1 (t ) B1 x1 (t ) u ( t ) ~ ~ ~ ~ ~ Tl x ( t ) A A B x ( t ) 1 2 21 22 2 2 To ~ Tl 1 ~ y (t ) C1 0 x (t ) ~ ~ ~ ~ A11 x1 (t ) B1u(t ) x1 (t） Tn ~~ l维子系统是能观测的。 y(t ) C1 x1 (t )
6
3.6.1 系统的结构分解
1. 系统按能控性分解 定理3-11 设有n维状态不完全能控线性定常系统 (A ， B ， C) ， rankQc=k<n ，则必存在一个非奇异矩 x (t，能将系统变为 ) 阵Tc，令 x(t ) Tc ~
~ ~ A 11 x1 (t ) ~ x 2 (t ) 0 ~ ~ y (t ) C1 C 2 ~ ~ ~ A 12 x1 (t ) B1 u(t ) ~ ~ A 22 x 2 (t ) 0 ~ x (t )
3
对偶性原理 系统1状态完全能控（完全能观测） 的充要条件与其对偶系统2状态完全能观测（完全能 控）的充要条件相同。 证明 系统1的能控性和能观测性矩阵分别为
Qc1 = [ B AB A2B … An 1B ]
系统2的能控性和能观测性矩阵分别为
C CA Qo1 n1 CA
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综合以上结果，系统按能控性和能观测性分解后
co (t ) 1 x 1 x ( t ) ˆ co cˆo (t ) 0 x y (t） 1 0 0 1 xco (t ) 1 x (t ) 0u (t ) 1 2 ˆ co 0 1 0 xcˆo (t ) xco (t ) 2 x ( t ) ˆ co xcˆo (t )
∴
rank Qc1 = rank Qo2 rank Qo1 = rank Qc2
根据这一原理，一个系统的状态完全能控性 （能观测性）就可以借助其对偶系统的状态完全能 观测性（能控性）来研究。
5
3.6 系统的能控性和能观测性与 传递函数阵的关系
前已述及，系统的能控性和能观测性是现代控制 理论中两个重要的基本概念。而传递函数矩阵概念， 目前已被广泛用于控制工程中，那么它们之间是否存 在内在联系呢？回答是肯定的。为了阐明它们之间的 联系，首先应该对不完全能控，或者不完全能观测系 统进行结构分解，即把系统中不能控或不能观测的部 分同系统的能控与能观测部分区分开来，要做到这一 点，一般可用线性变换来解决。
1
1 2 1 1 0 ~ 1 B To B 1 2 3 1 1 0 1 0 0 0
1 2 0 ~ C CTo 0 1 2 1 2 3 0 1 0
试求系统的能控子系统。 解：（1）判断系统是否完全能控
Qc B

AB
1 0 1 A2 B 1 1 3 0 1 2

rankQc = 2
∴ 原系统是状态不完全能控的。
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（2）结构分解
取 Tc =
1
1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 ~ 1 0 3 1 1 0 1 2 2 A Tc1 ATc 1 1 0 0 1 1 0 1 3 0 1 1 0 0 1
k 维子系统是能控的。 n–k维子系统是不能控的。7
Tc q1 qk
qk 1 qn
其中，列向量q1 ，q2，…，qk 是能控性矩阵Qc中k个 线性无关的列，另外n – k个列向量qk +1 ，…，qn是在 确保Tc为非奇异的情况下任意选取的。
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A11 B1
能控部分
不能控部分
++ ++