3.2高维波动方程的初值问题

f (at) g (at),
u(M , t ) lim u (r , t ) f (at ) g (at ) 2 f (at).
r 0
在(29)(30)式中取 t 0 得
(ru ) t |t 0 af (r ) ag (r ),
(ru ) r |t 0 f (r ) g (r ),
微积分里面的奥-高公式写成散度形式为
div vd v ndS
n 的单位 其中 为简单闭曲面 所围成的区域，是 外法向。 现将方程(27)两边在 VrM 上积分得 u div u
M 2 M 2 M u dV a udV a div udV r r tt r VrM VrM


a2r 2
2 2 u u ( M r , t ) d 4 a r . r S M r 1
7
utt a 2 (u xx u yy u zz ) ( x, y, z , t 0), (27) u( x, y, z,0) ( x, y, z), ut ( x, y, z,0) ( x, y, z), (28)
于是
2 t 2

r
0
r12 u (r1 , t )dr1 a 2 r 2
u , r
两边对 r求导得
(r 2u ) tt 2a 2 rur a 2 r 2urr ,
(ru ) tt a 2 (2ur rurr )
(ru ) tt a 2 (ru ) rr ,
因此可得 ru 的通解为


a
2
S rM
u dS
M r
u a r (M r, t )d r SM
2 2
1
VrM
6
utt a 2 (u xx u yy u zz ) ( x, y, z , t 0), (27) u( x, y, z,0) ( x, y, z), ut ( x, y, z,0) ( x, y, z), (28)
3.2 高维波动方程的初值问题
上节我们讨论了一维波动方程的初值问题， 得到了达朗贝尔公式。对于三维波动方程，可 这表达 用球面平均法形式地推出解的表达式。 式通常被称为基尔霍夫公式。 3.2.1 三维波动方程的基尔霍夫公式 现在，我们考察三维波动方程的初值问题
utt a 2 (u xx u yy u zz ) ( x, y, z , t 0), (27) u( x, y, z,0) ( x, y, z), ut ( x, y, z,0) ( x, y, z), (28)
utt a 2 (u xx u yy u zz ) ( x, y, z , t 0), (27) u( x, y, z,0) ( x, y, z), ut ( x, y, z,0) ( x, y, z), (28)
微积分里面的奥-高公式写成散度形式为
ru f (r at) g (r at),
其中 f , g 为二阶可微函数。
9
utt a 2 (u xx u yy u zz ) ( x, y, z , t 0), (27) u( x, y, z,0) ( x, y, z), ut ( x, y, z,0) ( x, y, z), (28)
div vd v ndS
n 的单位 其中 为简单闭曲面 所围成的区域，是 外法向。 现将方程(27)两边在 VrM 上积分得 u div u
M 2 M 2 M 2 M u dV a udV a div udV a u dS r r r tt r VrM VrM VrM S rM
微积分里面的奥-高公式写成散度形式为
div vd v ndS
n 的单位 其中 为简单闭曲面 所围成的区域，是 外法向。 现将方程(27)两边在 VrM 上积分得 u div u
M 2 M 2 M u dV a udV a div udV r r tt r VrM VrM VrM
lim u ( r , t )
r 0
1 4
S1M
则在VrM 上的体积分用球坐标可表示为

VrM
fdV
M r
dr1 fdS dr1 f (M r1 )r12 d.
0 M r1 S rM 1
0 S1M
r
r
3
utt a 2 (u xx u yy u zz ) ( x, y, z , t 0), (27) u( x, y, z,0) ( x, y, z), ut ( x, y, z,0) ( x, y, z), (28)
dSrM r 2 sin dd,
d sin dd ,
dSrM r 2 d.
2
utt a 2 (u xx u yy u zz ) ( x, y, z , t 0), (27) u( x, y, z,0) ( x, y, z), ut ( x, y, z,0) ( x, y, z), (28)


u u u u cos cos cos u n n x y z
5
utt a 2 (u xx u yy u zz ) ( x, y, z , t 0), (27) u( x, y, z,0) ( x, y, z), ut ( x, y, z,0) ( x, y, z), (28)
首先，任意固定点M ( x, y, z), S rM 表示以
M 为球心，
r 为半径的球面。 利用球坐标，则球面上的点
P ( , , ) ( x r sin cos , y r sin sin , z r cos ).
用 (sin cos , sin sin , cos ) 表示球面 S rM 的单位 外法向，则球面 S rM 上的点可简单记作 M r. 同时 也可被看成单位球面上的点。因此，我们 也记球面上的微元
微积分里面的奥-高公式
(

P Q R )dv ( P cos Q cos R cos )dS x y z
可写成散度形式
div vd v ndS

n 的单位 其中 为简单闭曲面 所围成的区域，是 外法向。
4
M 2 2 u u dV 4 a r . tt r r VrM
另一方面，利用

VrM
fdV
M r
dr1 fdS dr1 f ( M r1 )r12 d.
0 M r1 S rM 1
0 S1M
r
r
则有
utt dV
VrM
M r
2 2 t
的泊松公式
(31)
当初始函数足够光滑时，容易验证，由公式(31) 所表示的函数 u ( x, y, z, t ) 确实是问题(27)(28)的解。
12
u(M , t ) t t 4
t ( M at ) d 4 S1M
S1M
(M at)d. (31)
2 M 2 udV r t VM
r

r
0
dr1 u ( M r1 )r12 d
S1M
2 4 2 t

r
0
r12 u (r1 , t )dr1 .
8
utt a 2 (u xx u yy u zz ) ( x, y, z , t 0), (27) u( x, y, z,0) ( x, y, z), ut ( x, y, z,0) ( x, y, z), (28)
M r
r r 4r 2
r 1 ( P ) dS 4r 2 a M Sr
M r
( P ) dS S rM
M r
在上式中取 r at 并代入 u(M , t ) 2 f (at) 可得
11
utt a 2 (u xx u yy u zz ) ( x, y, z , t 0), (27) u( x, y, z,0) ( x, y, z), ut ( x, y, z,0) ( x, y, z), (28) r 1 r M M 2 f (r ) ( P ) dS ( P ) dS r r a 4r 2 r 4r 2 S M M S r r 三维波动方程 u ( M , t ) 2 f (at)
1 2 f ( r ) ( r u ) r | t 0 ( ru ) t | t 0 a r 1 r M u |t 0 dSr 2 a 4r 2 r 4r S M r
S rM
u
t
|t 0
dS
例1 求下列初值问题的解
utt u xx u yy u zz ( x, y, z , t 0),
u( x, y, z,0) 0, ut ( x, y, z,0) 2xy,
t t ( , , )dS ( , , )dS 2 2 2 2 t 4a t S M M at 4a t Sat t t (M at )d (M at )d. t 4 S M 1 4 S1M
ru f (r at) g (r at),
上式两端分别对 t , rFra bibliotek求导得(ru ) t rut af (r at) ag (r at),
(ru ) r u ru r f (r at) g (r at),
(29) (30)
上面的两式中，令 r 0, 得
10
utt a 2 (u xx u yy u zz ) ( x, y, z , t 0), (27) u( x, y, z,0) ( x, y, z), ut ( x, y, z,0) ( x, y, z), (28)
(ru ) t |t 0 af (r ) ag (r ), (ru ) r |t 0 f (r ) g (r ),
现在引进 u的球面平均数 dSrM r 2 d.
1 u (r , t ) 4r 2
对上式两边对 r 取极限 r 0, 得
S rM
M u ( P , t ) dS r
1 4
S1M
u(M r, t )d.
u(M , t )d u(M , t ). r 为半径的球体， 此外，记 VrM 表示以 M 为球心，
其中 ( x, y, z) 与 ( x, y, z) 为已知函数。
1
utt a 2 (u xx u yy u zz ) ( x, y, z , t 0), (27) u( x, y, z,0) ( x, y, z), ut ( x, y, z,0) ( x, y, z), (28)