正态总体均值的检验

g。试对机器
正常与否作出判断。(取 并假定 不变)
解：需检验的假设为 在 时， ，现由样本求得
由于
，故不能拒绝 ，即认为
机器正常。
(II)单边检验 H0:μ=μ0 H1:μ>μ0
问题的来源:
上一段 H0:μ=μ0 H1:μ≠μ0 中， H1:μ≠μ0 叫双边对立假设,上一段我们学习的 叫双边检验。而 H0:μ= μ0，H1:μ>μ0 中我们要 处理的假设检验叫右边检验；类似, H0:μ=μ0 H1:μ<μ0 叫左边检验。这种形式的假设检验问 题叫单边检验，它们也很有实用意义。
2 0
~
2 (n)
P
2
2 1 2
(n
1)
2
,
P
2
2
2
(n
1)
2
如果统计量的观测值 2 2 2(n) 或
2
2 1
2 (n)
则拒绝原假设；否则接受原假设。
2、正态总体均值未知的方差检验
问题：设总体X～N（，2），未知
假设
H0
: 2
2 0
;
H1
:
2
2 0
;
双边检验
构造2统计量 2 (n 1)S 2 ~ 2 (n 1)
此处n=50, =0.01,标准差S=0.5
给定 ,tn()关于自由度n是单调下降的， 查t45(0.01)=2.41,则 t49(0.01) < t45(0.01)=2.41
∴我们拒绝原假设,认为新的原材料确实提高 了绳子所能承受的最大拉力。
二、两个正态总体均值差的检验
在应用上,我们经常会遇到两个正态总 体N(1,12)和N(2,22)均值的比较问题。譬 如:
设X1,X2,,Xm与Y1,Y2,,Yn分别为来自正 态总体N(1,12)和N(2,22)的样本，且两 个样本独立。考虑检验假设：
(I) H0: 1=2 H1: 1≠2
（1）方差12和22已知的情况 根据定理，有
∴当H0:1=2为真时，
∴当H0:1=2为真时， ∴拒绝域为
（2）方差12=22 =2 ,但2未知的情况 根据定理 ∴当H0:1= 2 为真时，
为了检验该厂的结论是否真实,从其新产品 中随机抽取50件，测得它们承受的最大拉
力的平均值为15.8公斤，样本标准差 S=0.5公斤，取显著性水平 =0.01。问从 这些样本看，我们能否接受厂方的结论， 即新原材料是否确实提高了绳子的质量?
解:问题归结为检验如下假设 H0:μ=15 H1:μ>15 (方差2未知)
对药品A，随机抽取8个病人，他们服药2 小时后，测得血液中药的浓度(用适当的单位) 为:
1.23,1.42,1.41,1.62,1.55,1.51,1.60,1.76
对药品B，随机抽取6个病人，他们服药2 小时后，测得血液中药的浓度为:
1.76,1.41,1.87,1.49,1.67,1.81. 假定这两组观测值抽自于具有共同方差的 两个正态总体。在显著性水=0.10下，试检 验病人血液中这两种药的浓度是否有显著不 同?
∴拒绝域为 其中
说明 上面,我们假定12=22.当然,这是个不 得已加上去的条件。但如果不加此条件,就无 法使用简单易行的t检验了。
在实用中,只要我们有理由认为12和22相差 不是太大就可以使用上面方法。通常是如果 方差比检验未被拒绝(见下节),就认为12和22 相差不是太大。
例3 假设有A,B两种药，欲比较它们在服用2 小时后血液中的含量是否一样。
(III)单边检验 H0: 1≥2 H1: 1<2
类似(一)(II)’的分析,拒绝域和 H0: 1= 2 ,H1: 1<2 是一样的。
三、正态总体的方差检验
1、正态总体均值已知的方差检验
问题：设总体X～N（，2），已知
假设H0: 12＝22 H1: 12≠22
双边检验
构造2统计量
2
(n
1)S 2
2 0
P
2
2 1 2
(n
1)
2
,
P源自文库
2
2
2
(n
1)
2
确定临界值
2 1
2 (n
1),
2
2 (n
1)
如果统计量的观测值
2
2 2 (n 1)
或
2
解：问题就是从总体 X～N(1,2)和 Y～N(2,2)，分别抽取样本X1,X2 ,,X8 和 Y1,Y2 ,,Y6。其样本均值,样本方差分别算 得为
∴接受原假设.即认为病人血液中这两种药 浓度无显著差异。
(II)单边检验 H0: 1= 2 H1: 1<2
方差12和22已 知的情况,拒绝域为
方差12=22 =2 但2未知的情况,拒 绝域为
方差2已知的情况(检验法) 构造统计量
方差2未知的情况 构造统计量 于是当原假设 H0:μ=μ0 成立时,有
以上检验法叫t检验法。
例 1 某洗涤剂厂有一台瓶装洗洁精的罐装
机，在生产正常时，每瓶洗洁精的净重服从
正态分布，均值为454g,标准差为12g，为
检查近期机器是否正常，从中抽出16瓶，
称得其净重的平均值为
例如，工厂生产的一种产品的某项指标 平均值为μ0 ,采用了新技术或新配方后,被认 为产品质量提高了,该指标的平均值应该随 之上升。
我们想看看是否有显著上升。于是问题 就是检验： H0:μ=μ0━━即新技术或新配方对于提高产品 质量无效果；还是 H1:μ>μ0━━即新技术或新配方确实有效,提高 了产品质量。
解决问题的思路: 如果μ=μ0,即原假设成立时,那么
就不应该太大；反之,如果它过于 大,那么想必是原假设不成立。 求解: 方差2已知的情况
根据定理，
∴当原假设 H0:μ=μ0 成立时,有
方差2未知的情况
根据定理，有 于是当原假设 H0:μ=μ0 成立时,有
例2 某厂生产一种工业用绳，其质量指标是绳 子所承受的最大拉力，假定该指标服从正态 分布。原来该厂生产的这种绳子平均最大拉 力μ0 =15公斤。现在采用了一种新的原材料， 厂方称这种原材料提高了绳子的质量，也就 是说绳子所承受的最大拉力μ比15公斤大了。
欲比较甲、乙两厂生产的某种产品的质 量。
我们把两厂生产的产品的质量指标分别 看成两个正态总体N(1,12)和N(2,22)。比 较它们的产品质量指标的问题,就变为比较 这两个正态总体的均值1和2的问题。
欲考察一项新技术对提高产品质量是否 有效。
我们把新技术实施前后生产的产品质量 指标分别看成一个正态总体N(1,12)和 N(2,22)。这时，我们所考察的问题，就 归结为检验这两个正态总体的均值1和2 是否相等的问题。