人教版初三数学下册锐角三角函数(正弦、余弦和正切)

锐角三角函数教案

概念

1．在直角三角形中，斜边大于直角边且各边均为正数，正弦、余弦都是直角边与斜边的比值，正切是两直角边的比值，因此正弦值、余弦值都是小于1的正数，正切值是大于零的数，并且都没有单位，即00（∠A 为锐角）．

2．每一个三角函数都是一个完整的符号，如sin A 不能理解为sin·A ，sin A 中的“A ”是用一个大写字母表示的角，sin A （或sin α）只表示一个角A （或α）的正弦（角的符号可以省略）；若用三个大写字母表示的角，在表示它的三角函数时，角的符号不能省略，如“∠AOB 的正弦”应写成“sin∠AOB ”而不能写成“sin AOB ”，更要避免出现“sin10°+sin40°=sin50°”、“tan10°+tan40°=tan50°”等错误．

3．当锐角A 的度数固定不变时，∠A 的三角函数也是固定不变的，它与∠A 的两边长短（即三角形的边长）无关．

4．三角函数式乘方时，一般将指数写在三角函数符号与角之间，如sin α的平方“（sin α）２”一般写成“sin2α”．

5．三角函数式是一个等式，右边是一个分式，所以它具有等式、分式的性质，即已知式子中的两个量时，可以求出第三个量，如sin a A c =，它的两个变式为：①a =c ·sin A ；②sin a c A

=．

关系

学习锐角三角函数时，应注意以下两种关系：

1．直角三角形中互余两角的三角函数的关系：如图， Rt△ABC 中，∠A +∠B =90°，由三角函数定义得sin a A c =，cos(90)cos a A B c -==o ，cos sin sin(90)b A B A c

===-o ，所以sin A =cos （90°-A ），cos A = sin （90°-A ）．即任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值．

2．同一锐角三角函数的关系：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，sin a A c =

，cos b A c

=，则222222222sin cos 1a b a b c A A c c c c +⎛⎫⎛⎫+=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即同一锐角的正弦、余弦的平方和等于1，或者说若α为锐角，则sin 2α+cos 2

α=1．

规律

学习锐角三角函数时，应明确三角函数值的两个变化规律：

1．特殊角的三角函数值的记忆规律：

观察上表可知：

（1）正弦、余弦值可表示为2x 的形式，正切值可表示为3

x 的形式； （2）顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七．这三句话中的1、2、3；3、2、1；3、9、27，分别是30°，45°，60°的角的正弦、余弦、正切值中分子根号内x 的值．顺口溜简单、有趣、易记．

2．锐角三角函数值的增减性：锐角α的正弦sin α值随着∠α的增大而增大；锐角α的余弦cos α值随着∠α的增大而减小；锐角α的正切tan α值随着∠α的增大而增大．