§ 2 计算实对称矩阵特征值的同时迭代法
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QkWk 1 Dm diag(d1,, dm ).
从而,由(2.10)式有
1 1 Vk 1 U k 1Wk 1 Rk 1 ( X a Da X b Db Ek )QkWk 1 Rk 1 1 ( X a Da X b Db Ek ) Dm Rk 1 1 1 ( X a X b Db Ek Da ) Da Dm Rk 1 1 ( X a X b Db Ek Da )R
其中 x j 是与 j 相应的特征向量.现设
1 2 3 n .
且 1 m1 ,1 m n.同时迭代法的计算步骤如下: 取m个初始近似向量组成一个 n m 阶列直交矩阵V0,即有V0TV0 I m , 对 k 1,2 ,执行以下各步:
(1)计算
U k AVk 1;
(2.1)
(2)计算 m m 阶实对称矩阵:
Bk VkT1U k ;
(k ) (k ) (3)计算Bk的特征值 1(k ) , 2 ,设其排列次序为 , m (k ) (k ) 1( k ) 2 m ,
(2.2)
共计算其特征向量矩阵Wk,取它为一个直交矩阵; (4)计算Uk Wk;
Vk 1 的第j向量可作为与 j 相应的近似特征向量(j=1,…,m).当 这说明，
j ( j 1,, m) 非互异时，亦有类似的结论成立.
降阶法和同时迭代都可用来计算实对称矩阵模数较大的前几个特征 值.但当A为稀疏带状时,前者在迭代过程中破坏这种结构;对于后者,第(1)
步中的A在迭代过程中始终不变,可以利用A的稀疏性来减少计算量和存
记
Da diag(1 , 2 , , m ), Db diag(m 1 , , n ), X a [ x1 , x2 , , xm ], X b [ xm 1 , , xn ].
设
V0 XC,
(2.4)
其中C为 n m阶矩阵,并把C 分块成
其中Ca为 m m 阶矩阵,其中 Cb为(n m) m 阶矩阵,则
同时迭代法又称块乘幂法或子空间迭代法.它能同时求出求出一
个实对称矩阵的几个特征值和特征向量.
n阶实对称矩阵的特征值 1 , 2 , n 均为实数,且必存在一个标准 特征向量系 x1 , x2 , , xn :
1, i j; x x j ij 0, i j ,
T i
从而据(2.2)式就有
T T Bk 1 VkTU k 1 Qk ( Da Ek Db Ek )Qk
故当k充分大时,有
Qk Bk 1Qk1 Da .
(2.11)
( k 1)
这就说明,当k充分大时,Bk+1的特征值 j
可以作为 j 的近似值
(j=1,…,m).
当k充分大时,由于
贮量.
AkV0 Fk
(2.6)
其中
1 Fk W1R11W2 R2 Wk Rk1
从而,据(2.5)式就有
Vk Ak ( X a Ca X bCb ) Fk
k X a Da Ca Fk X b Dbk Cb Fk
(2.7)
令
k Qk Da Ca Fk
(2.8)
若Ca非奇异,则
(5)对Uk Wk作直交分解: U kWk Vk Rk ,
其中Rk为上三角矩阵,Vk为 n m 阶列直交阵;
(2.3)
(6)检验相邻两次迭代得到的 (jk 1) 和 (jk ) 之间的差是否满足精度要求:若
(j k 1) (jk ) TOL ,
其中TOL为预先给定的误差容限,则取 j
( k 1) Bk 1Wk 1 Wk 1diag(1( k 1) ,, m ) Wk 1Da ,
因此据(2.11)式可得
DaQkWk 1 QkWk Fra bibliotekDa .(2.12)
假设 1 , 2 , m 互异,由
DaQkWk 1 QkWk 1Da .
可知QkWk+1为对角阵.因此,据(2.12)式有
( k 1)
作为 j 的近似值,Vk+1的第j
列向量作为与 j 相应的近似特征向量;否则,对k增加1,转回到(1)继续 进行迭代.
下面讨论同时迭代法的收敛性.由于A为实对称矩阵,记
X [ x1, x2 ,, xn ] ,则
X T AX D diag(1, 2 ,, n ).
(2.13)
1 其中 R Da Dm Rk 1 为上三角矩阵.于是
1 T 2 1 I m VkT1Vk 1 RT (I m Da Ek Da Ek Da )R RT R
由此可知，
R diag(1).
因此，据(2.13)式有
Vk 1 X a diag(1).
Vk ( X a X b Ek )Qk
1 k Ek Dbk CbCa Da [eij ],
(2.9)
k , i m 1,, n, j 1,, m. i eij j 由于 VkTVk I m ,因此据(2.9)式则有
T T Qk (I m Ek Ek )Qk I m ,
从而
T T Qk Qk ( I m Ek Ek )1 ,
当k充分大时,Ek的诸元素均为很小的量,因此Qk为一个近似的直交阵. 据(2.1)和(2.9)式,有
U k 1 AVk A( X a X b Ek )Qk ( X a Da X b Db Ek )Qk
(2.10)
V0 X aCa X bCb .
Ca C Cb
设R1 , R2 , 都非奇异,据(2.3)和(2.1)式有
Vk U kWk Rk1 AVk 1Wk Rk1
1 1 AU k 1Wk 1 Rk 1Wk Rk 1 1 A2Vk 2Wk 1 Rk 1Wk Rk 1 AkV0W1 R11W2 R2 Wk Rk1
从而,由(2.10)式有
1 1 Vk 1 U k 1Wk 1 Rk 1 ( X a Da X b Db Ek )QkWk 1 Rk 1 1 ( X a Da X b Db Ek ) Dm Rk 1 1 1 ( X a X b Db Ek Da ) Da Dm Rk 1 1 ( X a X b Db Ek Da )R
其中 x j 是与 j 相应的特征向量.现设
1 2 3 n .
且 1 m1 ,1 m n.同时迭代法的计算步骤如下: 取m个初始近似向量组成一个 n m 阶列直交矩阵V0,即有V0TV0 I m , 对 k 1,2 ,执行以下各步:
(1)计算
U k AVk 1;
(2.1)
(2)计算 m m 阶实对称矩阵:
Bk VkT1U k ;
(k ) (k ) (3)计算Bk的特征值 1(k ) , 2 ,设其排列次序为 , m (k ) (k ) 1( k ) 2 m ,
(2.2)
共计算其特征向量矩阵Wk,取它为一个直交矩阵; (4)计算Uk Wk;
Vk 1 的第j向量可作为与 j 相应的近似特征向量(j=1,…,m).当 这说明，
j ( j 1,, m) 非互异时，亦有类似的结论成立.
降阶法和同时迭代都可用来计算实对称矩阵模数较大的前几个特征 值.但当A为稀疏带状时,前者在迭代过程中破坏这种结构;对于后者,第(1)
步中的A在迭代过程中始终不变,可以利用A的稀疏性来减少计算量和存
记
Da diag(1 , 2 , , m ), Db diag(m 1 , , n ), X a [ x1 , x2 , , xm ], X b [ xm 1 , , xn ].
设
V0 XC,
(2.4)
其中C为 n m阶矩阵,并把C 分块成
其中Ca为 m m 阶矩阵,其中 Cb为(n m) m 阶矩阵,则
同时迭代法又称块乘幂法或子空间迭代法.它能同时求出求出一
个实对称矩阵的几个特征值和特征向量.
n阶实对称矩阵的特征值 1 , 2 , n 均为实数,且必存在一个标准 特征向量系 x1 , x2 , , xn :
1, i j; x x j ij 0, i j ,
T i
从而据(2.2)式就有
T T Bk 1 VkTU k 1 Qk ( Da Ek Db Ek )Qk
故当k充分大时,有
Qk Bk 1Qk1 Da .
(2.11)
( k 1)
这就说明,当k充分大时,Bk+1的特征值 j
可以作为 j 的近似值
(j=1,…,m).
当k充分大时,由于
贮量.
AkV0 Fk
(2.6)
其中
1 Fk W1R11W2 R2 Wk Rk1
从而,据(2.5)式就有
Vk Ak ( X a Ca X bCb ) Fk
k X a Da Ca Fk X b Dbk Cb Fk
(2.7)
令
k Qk Da Ca Fk
(2.8)
若Ca非奇异,则
(5)对Uk Wk作直交分解: U kWk Vk Rk ,
其中Rk为上三角矩阵,Vk为 n m 阶列直交阵;
(2.3)
(6)检验相邻两次迭代得到的 (jk 1) 和 (jk ) 之间的差是否满足精度要求:若
(j k 1) (jk ) TOL ,
其中TOL为预先给定的误差容限,则取 j
( k 1) Bk 1Wk 1 Wk 1diag(1( k 1) ,, m ) Wk 1Da ,
因此据(2.11)式可得
DaQkWk 1 QkWk Fra bibliotekDa .(2.12)
假设 1 , 2 , m 互异,由
DaQkWk 1 QkWk 1Da .
可知QkWk+1为对角阵.因此,据(2.12)式有
( k 1)
作为 j 的近似值,Vk+1的第j
列向量作为与 j 相应的近似特征向量;否则,对k增加1,转回到(1)继续 进行迭代.
下面讨论同时迭代法的收敛性.由于A为实对称矩阵,记
X [ x1, x2 ,, xn ] ,则
X T AX D diag(1, 2 ,, n ).
(2.13)
1 其中 R Da Dm Rk 1 为上三角矩阵.于是
1 T 2 1 I m VkT1Vk 1 RT (I m Da Ek Da Ek Da )R RT R
由此可知，
R diag(1).
因此，据(2.13)式有
Vk 1 X a diag(1).
Vk ( X a X b Ek )Qk
1 k Ek Dbk CbCa Da [eij ],
(2.9)
k , i m 1,, n, j 1,, m. i eij j 由于 VkTVk I m ,因此据(2.9)式则有
T T Qk (I m Ek Ek )Qk I m ,
从而
T T Qk Qk ( I m Ek Ek )1 ,
当k充分大时,Ek的诸元素均为很小的量,因此Qk为一个近似的直交阵. 据(2.1)和(2.9)式,有
U k 1 AVk A( X a X b Ek )Qk ( X a Da X b Db Ek )Qk
(2.10)
V0 X aCa X bCb .
Ca C Cb
设R1 , R2 , 都非奇异,据(2.3)和(2.1)式有
Vk U kWk Rk1 AVk 1Wk Rk1
1 1 AU k 1Wk 1 Rk 1Wk Rk 1 1 A2Vk 2Wk 1 Rk 1Wk Rk 1 AkV0W1 R11W2 R2 Wk Rk1