控制系统建模、优化与仿真

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三自由度交流混合磁轴承原理、数学模型、
参数优化与仿真
姓名:李媛媛学号:S1107062 专业:双控
1 磁轴承研究背景
磁轴承按其约束功能可分为轴向单自由度、径向二自由度和轴向-径向三自由度磁轴承。

三自由度磁轴承集轴向、径向磁轴承于一体,简化了结构,缩小了体积。

按悬浮力产生原理,磁轴承又可分为主动式、被动式及混合式。

混合式磁轴承是由永磁体提供静态偏置磁通,而电磁铁只提供控制磁通,因而功放体积较小,结构紧凑,耗能小,气隙也能做得大些。

按励磁电流类型将磁轴承分为直流式与交流式。

直流式磁轴承功率放大器价格高,体积大,一个径向磁轴承通常需要四路功率放大电路;而交流式采用交流三相功率逆变器给控制线圈绕组提供励磁电流,一个三相功率逆变器就可完全控制径向两自由度,且三相逆变器应用技术成熟、价格便宜、体积小巧,采用矢量控制策略,易于控制系统软件的编程与移植,从而整体上减小了磁轴承控制系统成本。

目前国内外均已研制出直流式三自由度磁轴承[1~4];瑞士也已研制出交流式二自由度磁轴承[5]。

本文首次提出一种新型的交直流三自由度混合磁轴承(AC-DC-3DOF-HMB),这种轴承轴向采用直流励磁、径向采用交流励磁,由一块径向充磁永磁体同时给轴向-径向提供偏置磁通,集成了交流励磁、永磁偏置及轴向-径向联合控制等优点,在超高速超精密数控机床、磁悬浮电机、飞轮储能系统及人造卫星等悬浮支承系统中将有着重要的应用价值与前景。

2 结构和工作原理
2.1 交直流三自由度混合磁轴承结构
交直流三自由度混合磁轴承三维结构示意图如图1(a)所示,其各组件如图1(b)所示,由轴向定子、轴向控制线圈、带三个磁极的径向定子、径向控制线圈、转子、径向充磁永磁体等构成。

工作时轴向两个线圈对轴向单自由度进行控制;沿圆周120O均匀分布的A,B,C三个线圈绕组通以三相交流电产生可旋转的合成磁通来控制径向二个自由度。

径向定子铁芯采用硅钢片叠压而成,永久磁体采用
稀土材料钕铁硼制成。

当径向、轴向都稳定悬浮时,转子在永磁体产生的静态偏置磁场吸力下处于悬浮的中间位置,径向和轴向气隙取为0.5mm。

(a)三维结构示意图
(b)组件结构示意图
(c)磁轴承磁路图
图1 交直流三自由度混合磁轴承结构示意图
2.2交直流三自由度混合磁轴承工作原理
图1(c)是交直流三自由度混合磁轴承磁路示意图。

图中带箭头(控制磁通箭头方向由控制电流方向按右手定则确定)的实线表示永磁体产生的静态偏置磁通,它从永磁体的N极出发,经过轴向定子、轴向气隙、转子、径向气隙、径向定子、最后回到永磁体的S极;带箭头的虚线表示的是控制磁通,轴向控制磁通在轴向定子、轴向气隙与转子内构成回路;径向控制磁通在径向定子、径向气隙与转子间形成回路。

由图可看出,轴向控制磁通与径向控制磁通互不干扰,不存在磁路耦合,各气隙磁通由各处的静态偏置磁通和控制磁通两部分叠加合成。

转子在轴向平衡位置时,永磁体在轴向两端气隙处所产生的磁通是相等的。

当转子受到轴向外力而产生轴向位置偏移时,气隙减小的那一端永磁体产生的轴
向磁通Φp z 1增大,磁力亦增大,气隙增大的那一端轴向磁通Φp z 2减小,磁力亦减小,只要轴向控制磁通Φcz 满足下式:
p 1p 2
2
z z cz φφΦ-≥
(1)
则无论转子受到向左或向右的外扰动,带位置负反馈的轴向磁轴承系统,通过轴向控制器控制励磁绕组中的电流,调节左右气隙处磁通的大小,则始终能保持转子在轴向的参考平衡位置。

径向磁轴承部分的工作原理是基于无轴承电机的原理,使转矩绕组极对数p1为0,悬浮力绕组极对数p2为1,满足径向悬浮力产生的条件p2= p1 +1[6],采用三相功率逆变器对悬浮力绕组提供励磁电流,因而这种结构的无轴承电机实际就变成了只产生径向悬浮力的磁轴承。

根据电机理论,三相绕组通上三相交流电后,可产生一个旋转磁场,形成一个单极合成磁通。

当磁轴承受到径向扰动时,转子偏离参考位置,传感器检测出转子的偏移位置并反馈至控制器,控制器计算出转子的偏移量x 与y 后再将其转变成控制电流信号,通过CRPWM (电流跟踪)功率逆变器将其变换成三相控制电流[5],使得径向三相绕组中控制电流产生的合成单极磁通指向与位置偏移相反的方向,产生相应的悬浮力,从而使转子回到径向平衡位置。

3 数学模型
3.1 等效磁路计算
为了简化磁路计算,对交直流三自由度混合磁轴承磁路作如下假设:只考虑永磁体内外两环面漏磁,将整个磁路系统看作由一个漏磁磁阻与有效磁路系统的并联系统;只考虑工作气隙的磁阻,忽略铁芯磁阻、转子磁阻及涡流损耗等。

这样可得到如图3所示的磁轴承永磁体磁路等效图。

图2 永磁体磁通分布等效磁路图
图2中, F m 是永磁体对外提供的磁动势,φm 是永磁体发出的总磁通,φ1是
总的漏磁通,漏磁导是G 1,右边轴向气隙和左边轴向气隙的磁导分别是G z 1和G z 2,径向三个气隙磁导分别是G A ,G B ,G C 。

S a 、S r 分别为轴向、径向磁极面积;δa 、δr 分别为轴向、径向气隙;现假设转子轴向正方向偏移z ,径向正方向各偏移x 、y ,则各气隙处的磁导为:
0a 0a 12a a 0r r z z A
B C S S G G z z S G x G G μμδδμδ⎧==⎪-+⎪⎪=⎪-⎪⎨
⎪=⎪⎪
⎪=
⎪⎩
(2)
式中μ0是真空磁导率。

根据磁路基尔霍夫定律:∑F =0 和 ∑φi =0,求解出各支路中永磁体产生的磁通如下:
A B C p m 12A B C
12p m 12A B C zi zi z z z z j
j z z (G G G )F G (G G )(G G G )(G G )F G (G G )(G G G )++⎧
φ=⎪++++⎪⎨
+⎪φ=⎪++++⎩
(3) 式中 i =1,2; j =A, B, C
施加控制磁通后,如图1(c)所示,各气隙处的合成磁通即为控制磁通叠加或相减上永磁偏置磁通:
1c p 11p 1
2c p 22p 2c p p z z z z z z z z z z z z z z j j j r j j j
N i G N i G N i G φφφφφφφφφφφφ⎧=-=-⎪
=+=+⎨⎪
=+=+⎩ (4) 式中 N z i z ——轴向各磁极控制线圈的安匝数
N r i j ——径向各磁极控制线圈的安匝数 j =A B C ,,
3.2 交直流三自由度混合磁轴承轴向悬浮力公式
假若转子轴向向右偏移z ,要使转子回到轴向平衡位置,则要轴向气隙处的合成磁通产生的合力向左,根据磁场力与磁通的关系:
2221
210a
2z z z z z F F -F S φφμ-==
(5) 式中 F z 2——转子左边受到的电磁吸力; F z 1——转子右边受到的电磁吸力;
式(2),(3),(4) 代入到式(5),在平衡位置处附近(x,y<<δR , z<<δZ )对F z 进行线性化处理并略去二阶以上无穷小量得:
z iz z z z y x i z
z z y x i z
z i k z k i i F z z
F F z z +=∂∂+
∂∂≈
========0
00
(6)
式中 2
0m 2
a r a a a
r 0m a r a a r 22323z z iz F k S S S F N k S S μδδδμδδδ⎧=-⎪⎛⎫⎪
+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪
=⎪⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩
k z 称为轴向力/位移系数, k iz 为轴向力/电流系数,在磁轴承结构和工作点确定后,k z 、k iz 均为常数。

3.3 交直流三自由度混合磁轴承径向悬浮力公式
假设转子在径向正方向各偏移x ,y ,则各气隙处合成磁通φA ,φB ,φC

生的悬浮力如下[7~8]:
r
022S F j
j μφ= (7)
式中A B C j ,,=
式(2),(3),(4) 代入到式(7),在平衡位置处可按下式对F j (A B C j ,,=)进行计算得:
j ir j z y x i j
j z y x i j
j i k F i i F F F j j ⋅+=∂∂+
=========pm 0
00
(8)
式中 2
0m pm 2a r r
a r 0m a r r a r 18()233()23r ir F F S S S F N k S S μδδμδδ
δ⎧=⎪⎪+⎪
⎨⎪=
⎪+⎪

F pm 为平衡位置时永磁体磁通在径向各气隙处产生的磁力,其大小是相等的。

k ir 为径向力/电流系数,在磁轴承结构和工作点确定后,F pm 、k ir 均为常数。

将F A , F B , F C 分解到X ,Y 轴上,得:
A B C A B C 1111
2222x ir ir ir F F F F k i k i k i =--=--
(9)
B C B C y ir ir F i i == (10)
又对于三相交流电系统,有:
A B C 0i i i ++= (11)
由式(9),(10),(11),可得出径向力与径向三相控制电流的关系式:
A B C 112
120
x ir y i F k i F i ⎡⎤
--⎡⎤⎡⎤⎢⎥
=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
(12)
实际控制时,由3/2变换,即可得出X 方向与Y 方向的等效控制电流:
a a
b a
c 1
12
120
x y i i i i i ⎡⎤
--⎤⎡⎤⎢⎥
=⋅⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎦
⎢⎥⎣⎦
(13)
式中 i a x —— 3/2变换后X 方向等效控制电流
i a y —— 3/2变换后Y 方向等效控制电流 则由等效电流表示的悬浮力模型为:
a a a r a 1010301012
x x xy i y y F i x k F i y ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ (14) 3.4 交直流三自由度混合磁轴承控制策略
由式(6),式(12)分别确定轴向悬浮力与轴向位移、轴向控制电流的关系,径向悬浮力与径向控制电流的关系,构建如图1所示的控制系统框图,采用数字和模拟电路相结合进行控制。

图1交直流三自由度混合磁轴承控制框图
轴向位移传感器检测出转子轴向偏移位置后,反馈位移信号至DSP控制器、经数字控制器进行PID计算后输出控制电流信号至直流功率放大器,对轴向控制线圈励磁电流进行控制,从而控制轴向气隙处的磁通大小,确保转子处于轴向平衡位置。

径向位移传感器检测出转子径向偏移位置后,反馈位移信号至DSP控制器、经PID调节后转换成力的控制信号,再由式(12)转换成参考控制电流信号,与电流互感器检测出的径向三相绕组中的实时电流进行电流跟踪比较后,通过控制三相逆变器开关器件来改变径向三相绕组中励磁电流的大小,从而改变控制磁通,产生悬浮力使转子回到径向平衡位置。

4样机参数设计与有限元分析
4.1 气隙长度的选取及饱和磁感应强度的确定
考虑到气隙大小与永磁体外部磁动势及控制线圈安匝数的关系,工程上一般取气隙为0.15~1.50mm,本样机系统取δr=δa =δ0 =0.5mm。

一般硅铁材料的饱和磁感应强度B s=1.5T,设计时常取B s=0.6~0.8T。

4.2磁极面积的计算及控制线圈安匝数的确定
在平衡位置附近(x,y<<δr, z<<δa)要使轴向承载力达到最大F z max,式(5)中气隙磁通相叠加的一边磁感应强度要达到最大值B max,减少的一边达到最小值
0,此时轴向承载能力最大。

B max 通常取软磁材料的饱和磁感应强度B S [1]。

依上述条件,代入式(2),(3)到(4)即有:
m
0a a 0a
1a
a a r
1
2023z z z F N i S S S S S μμφδδ=-=+ (13)
m
0a a 0a
2s a a
a a r
121123z z z F N i S S S B S S S μμφδδ=+=⋅+ (14)
当转子处于空载平衡位置时,假设不考虑转子本身重力,偏置磁通即可使转子保持在平衡位置,无需控制电流,转子各气隙处的磁感应强度均等于偏置磁感应强度B 0,由永磁磁路的基本方程:
∑φz i =∑φj
B 0˙2S a = B 0˙3S r
2S a =3S r (15)
转子处于平衡位置附近时,由图2及式(8)知转子受永磁体所产生的径向合力为0,此时最大径向承载力即为径向控制磁通所产生的力:
0m r r max r a r
r
a
r
3(
)23ir r F N F k i i S S μδδδ=⋅=
⋅+ (16) 联结式(6),(13),(14),(15),(16)解得:
max 0
a
2
s max 0r 2s s 00
s 0r max
r r 0max s 0
m 0243232z z z z
z F S B F S B B N i B F N i F B F μμδμδμδμ⎧=⎪⎪⎪=
⎪⎪
⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪
⎪⎪=⎪⎩
(17) 4.3 实验样机的设计及有限元分析
本新型磁轴承是用于无轴承永磁同步电机实验样机中转轴另一端三自由度悬浮支承,设计要求和
主要设计参数如表1所示。

表1 参数设计要求和磁轴承关键参数
项目要求
最大轴向悬浮力F zmax/ N ≥120
最大径向悬浮力F rmax/ N ≥80
气隙长度δ0/mm0.5
饱和磁感应强度B S/T0.8
永磁体材料Nd-Fe-B
电流密度J max/ A/mm2 4
轴向磁极面积S a/ mm2465
径向磁极面积S r/ mm2310
轴向最大磁动势(N z i z)max/ At 160
径向最大磁动势(N r i r)max/ At 320
总长尺寸L/ mm 39
最大外径D / mm φ133
采用通用CAE有限元分析软件ANSYS7.0对前述理论设计结果进行了仿真分析。

依设计参数建立三维实体模型,其网格划分图如图2(a)所示。

采用磁标势法求解,分析了以下几种静态磁场[8,9]。

图2(b)是永磁体所产生的磁通在磁轴承中的分布,可看出永磁磁场在轴承的径向和轴向均是对称分布,轴向气隙与径向各气隙处磁感应强度均相等,与图2所示的偏置磁通回路理论分析是相同的;
图2(c)是轴向控制线圈励磁后产生的轴向控制磁通与永磁体产生的偏置磁通合成后的磁感应强度分布,可看出图中轴向磁通一端是减小的,另一端是叠加而增大的,轴向控制磁通的方向由轴向控制电流方向而定,与图2理论上分析的轴向控制磁通回路结果也是一样的;
图2(d)模拟了某一瞬态径向三相绕组所产生的磁通情况,可看出径向控制磁通只在径向定子与转子间形成回路,三气隙处瞬时磁通大小不一样,从而可形成一合成磁通,通过控制三相励磁电流,可使磁通加强或磁通减小,产生相应径向合成磁力来克服扰动力或负载使转子回到平衡位置,因而可采用交流三相逆变器对径向两自由度进行励磁,从而降低磁轴承系统成本。

图2(e)模拟了该磁轴承某一工作状态,轴向-径向线圈同时励磁,反映了轴向气隙处与径向气隙处的磁通变化情况,轴向-径向气隙处可分别产生各自的磁悬浮合力以克服负载或扰动使转子回到平衡参考位置,进一步证明了轴向-径向控制磁通互不干扰,几乎没有耦合。

仿真分析表明样机符合设计要求,从磁轴承结构、磁路分布、承载力等方面也进一步证明了理论设计是可行的。

通过进一步优化设计,该新型磁轴承在各类
悬浮支撑领域将是有着实际应用价值的。

(a)前处理模型网格划分图
(b) 永磁体的磁路
(C)轴向控制线圈励磁后的合成磁路情况
(d) 径向控制线圈的磁路
(e) 轴径向同时通电时的合成磁路情况
图2 磁轴承样机磁路与磁通分布有限元仿真与分析图
5 仿真研究与性能分析
仿真以实验样机为对象,通过传统的PID 控制器来控制三自由度混合磁轴承。

试验中磁轴承的相关参数如下:m =1.3kg ,J z =1.6329×10-4 kg∙m 2 ,
J x=J y=4.035×10-3kg∙m2,l a=0.0805m,l b=0.0526m,k ai r=99N/A,k bi r=44N/A,k iz=299 N/A,k axy=1.01×105N/m,k bxy=4.42×105N/m,k z=2.99×105N/m。

试验中功率放大器放大倍数K a为1,电涡流传感器的灵敏度为20mv/µm,其放大倍数K s=20 000。

用Matlab进行仿真,构建三自由度磁轴承系统仿真模型,如图3。

按照上述参数进行仿真,得到输出仿真位移曲线。

图4是磁轴承系统参考模型受到的阶跃响应的位移特性曲线。

由响应曲线(a)、(b)、(c)可以看出传统的PID控制器对三自由度磁轴承系统的控制达到了较好的预期效果,径向超调量只有2.3e-8,调节时间约为0.06s就可以回到平衡状态。

而轴向几乎没有超调量,调节时间只要0.0018s,系统快速性较好,稳定性较好。

图3 系统仿真模型
0.020.040.06
0.080.10.120.14
-8
t/s
x /m
(a )径向x 方向阶跃响应
00.020.040.06
0.080.10.120.14
-8
t/s
y /m
(b )径向y 方向阶跃响应
-8
t/s
z /m
(c )轴向阶跃响应
图4 系统受到的阶跃响应位移特性曲线
6 结论
本文通过对三自由度混合磁悬浮轴承结构和工作原理的分析,利用等效磁路法建立了系统的数学模型,提出了对本系统的控制策略,然后考虑到实际需求,对样机本体的部分参数进行了设计,并利用ansoft 软件进行了有限元分析。

最后根据数学模型利用matlab 软件对系统进行了仿真,在仿真实验中,控制器选的是传统的PID 控制器。

实验结果表明控制器的参数选择的较为合适,达到了较为理想的控制效果。

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