2020-2021学年宁夏青铜峡市高级中学高二下学期第一次月考数学理试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1．命题“∀x∈R，x 2

﹣x+1≥0”的否定是（）

A ．∀x∈R，x 2﹣x+1＜0

B ．∃x 0∈R，x 02﹣x 0+1＜0

C ．∃x 0∈R，x 02﹣x 0+1≥0

D ．∀x 0∈R，x 02﹣x 0+1≤0 2．已知平面α，直线,l m 且//m α，则“l m ⊥”是“l α⊥”的（）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．不充分也不必要条件 3．已知函数()ln x f x e x =，则()1f '的值为（）

A ．0

B ．1e

C ．1

D ．e

4．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1，0)，离心率等于12

，则C 的方程是（） A ．22

1

34x y += B ．2214x = C ．22143x y += D ．2214

x y += 5．已知命题p ：(0)x ∞∀∈+，

，32x x >；命题q ：(0)x ∃∈-∞，，32x x ，则下列命题为

真命题的是（）．

A ．p q ∧

B ．p q ⌝∨

C ．p q ⌝∨

D ．⌝⌝∧p q

6．双曲线22

221x y a b

-=(0a >，0b >)

A ．2y x =±

B ．3y x =±

C ．2

y x =± D ．y x = 7．平面直角坐标系xOy 中，动点Р到圆()2211x y -+=的圆心的距离与其到直线1x =-的

距离相等，则Р点的轨迹方程是（）

A ．24y x =

B ．24x y =

C ．22y x =

D ．2

2x y = 8．三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等边三角形，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝AB ，N ，M 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，则AM 与BN 所成角的余弦值为（）

A ．110

B ．35

C ．710

D ．45

9．在三棱锥O ABC -中，,,,2OA a OB b OC c AM MO ====，N 为BC 中点，则MN =（）

A ．121232a b c -+

B ．111322a b c -++

C ．111222a b c +-

D ．121332

a b c +- 10．如图，P 是椭圆22

194

x y +=上的一点，F 是椭圆的右焦点且PQ FQ =-，2OQ =，则PF =（）

A ．2

B ．5

C ．3

D ．4

11．在底面是正方形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，12BB =，113A AD A AB π∠=∠=

，则=||1C A （） A ．2 B ．10 C ．3 D ．2

12．已知直线l 过抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点F ，交C 于,A B 两点，交C 的准线于点P ．若AF FP =，且8AB =，则p =（）

A ．2

B ．3

C ．6

D ．8

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．设动点A 的轨迹为抛物线2

4y x =，点()2,0B 为定点.若线段AB 的中点为点P ，则点P 的轨迹方程为_____.

14．若直线2y kx =-与抛物线2

8y x =相交于不同的两点A B 、，且AB 中点纵坐标为2，则k =_______.

15．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，12

AF AD a ==，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为___________. 16．给出以下四个命题：

①命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则2320x x -+≠” ②命题“若2x ≠或3y ≠，则5x y +≠”的否命题为真命题

③若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题

④对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥ 四个命题中，其中是真命题的序号是__________．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．(本题10分)求下列函数的导数：

（1）221()(31)y x x =-+；（2）y ＝e x cosx ；（3）sin x y x =

18．(本题12分)已知(1,1,2),(6,21,2)a b m λλ=+=-.

（1）若//a b ，分别求λ与m 的值；

（2）若||5a =，且与(2,2,)c λλ=--垂直，求a

19．(本题12分)已知函数()3

16f x x x =+-． （I ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．

（Ⅱ）若直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．

20．(本题12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1AC BC ==，12AA =，1AD AA λ=

（1）证明：当12

λ=时，求证：1DC ⊥平面BCD ； （2）当34λ=

时，求二面角1D BC C --的余弦值.

21．(本题12分)椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，右焦点F 的坐标为（2，0），且点F 到短轴的一个端点的距离是6．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）过点F 作斜率为k 的直线l ，与椭圆C 交于A 、B 两点，若43OA OB ⋅>-

，求k 的取值范围．

22．(本题12分)已知抛物线24y x =，过其焦点F 做两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l 交抛物线于A ，B 两点，2l 交抛物线于C ，D 两点.