第三章线性系统的能控性与能观性

0 1 a2
0 1
a2
1 a2
a1 a2
2
0 0
1
Mc [B AB A2B] 0 1
1 a2
a1
a2 a2
2
无论a1、a2取何值，ranckM 3n，得证。
一、秩判据
0 0 3 1 1
例：已知系统 A2 0 7,B0 1，判别系统能
控性。
0 1 0 0 1
二、对角型、约当型判据
1设、系非统奇状异态变空换间不描改述变为系统X的 能YA控XC性XBU
任取非奇异变换阵P，令Xˆ PX，变换后系统为
Xˆ AˆXˆ BˆU
其中
A ˆP 1A Y,B P ˆCˆ XˆP 1B ,C ˆCP
现在证明当且仅当∑=（A,B,C）能控时，(Aˆ,Bˆ,Cˆ)
能控。
一、秩判据
例：对于三阶能控标准型的系统，试证明其必然能控。
证明：三阶能控标准型如下：x1 0 1 0 x1 0
xx3 20a0
0 a1
1a2xx3 21 0U
0 1 0 0 0
AB 0 0 1 0 1
a0 a1 a2 1 a2
0 A2B A AB 0
a0
1 0 a1
ranck rM a[B n ˆA ˆkB ˆ A ˆn1B ˆ] ra[P nk B PA 1P PB (PA 1)P P ( A 1) P(PA 1)P P]B
ra[P n(B kA BAn1B)]
由于矩r阵aP(P n 是nk M c*)n非奇异矩阵，由矩阵性质可得
rankcM rankcM
3.2.2 能控性判据
一、秩判据 二、对角型、约当型判据
一、秩判据
定理：线性定常系统状态完全能控的充 要条件是系统能控性判别矩阵 M c [B A B A 2 B A n 1 B ]
满秩，即 rankcMn
n为状态矢量的维数
一、秩判据
1 2 2 2
例：已知系统 A0 1 1,B0 ，判别系统能
二、对角型、约当型判据
证明：由秩判据可知，当且仅当
ra 控c 。 n r 当且k a [ 仅B 当A M n rk B A a n 1 c B n ] r n 时k a [ ，B ˆ M ∑A ˆ n =B ˆ（ Ak A ,ˆ Bn ,1 CB ˆ）] 能n
时，(Aˆ,Bˆ,Cˆ)能控。
R1
R2
C1
C2
i
R3
Y
显然，输入i不能影响C2，只能影响C1端电压。 另外，能从输出Y估计C2端电压，不能估计 C1端电压。因此，我们把这样的系统称为 不完全能控不完全能观。
3.1
概述
首先需研究输入u对系统个状态变量 施加影响的可能性，以便使状态变量 沿期望状态轨迹运动。
其次，为了进行状态反馈，还需研究 由输出值估计状态变量的可能性。
U
D1 B1 + X ∫
C1 + + Y
+
A1
D2
Y+
+
B2=C1T
X∫
+
C2=B1T
+
U
A2=A1T
3.4.1 线性系统的对偶关系
2、对偶关系的含义 输入-输出互换 信号传递方向相反 信号引出点和相加点互换 对应矩阵转置 时间倒转 3、对偶系统特征方程相同 41 0
0 0 0 CA2 CA A [3 1 0]2 0 1 [2 0 1]
3 1 0
C 1 0 1
Mo CA 3 1 0 CA2 2 0 1
rankMo=3=n，所以系统能观测。
3.3.2 系统能观测性判据
例：已知 性。
A 03 14,C[ 12 12，] 判别系统的能观
二、对角型、约当型判据
例：已知
A
1 0
1 1
00，判别以下各种系统的能观性
0 0 3
1） 1 1 B 0 1
0 1
2）
1 1
B 2 1
0 0
3）
1
B 1
1
4）
1
B0
1
解：由对角型判据可知，1）3）能观，2）4）不 能观
3.3
3.3.1 3.3.2
能观测性及其判据
能观测性定义 系统能观测性判据
控性
1 0 1 1
解：
1 AB 0
2 1
22 4 1 0 1
1 0 11 1
1 2 2 4 0 A2B A AB 0 1 1 1 0
1 0 1 1 5
2 4 0 M c [B AB A2 B] 0 1 0
1 1 5
ranckM 3n，故系统能控。
3.3.2 系统能观测性判据
例：已知
1 A 0
0 2
0 0
，判别以下各种系统的能观
测性。 0 0 3
1）
C
0 1
0 1
0 2
2）
C
0 0
0 1
0 2
3） C110
4） C115
解：由对角型判据可知，1）4）能观测，2）3） 不能观测
3.3.2 系统能观测性判据
2）约当型判据 定理：线性时不变系统{A，B，C}具有相
证明：
0 0 31 1 0 3 AB 2 0 70 12 5
0 1 00 1 0 1
0 0 30 3 0 3 A2BAAB2 0 72 5 0 13
0 1 00 1 2 5
1 1 0 3 0 3 Mc [BABA2B]0 1 2 5 0 13
0 1 0 1 2 5
ranckM 3n，故系统能控。 （如难M果c，T这阶考样次虑的n到输nr*入an维n矩数kc阵M r来较ra求大n秩，kc。M 判M ）c别T，矩可阵通M过c的判秩别较M困c
定理：若线性系统∑1=（A1,B1,C1,D1）∑2= （A2,B2,C2,D2）互为对偶系统，则∑1能控性等 价于∑2能观测性；∑1能观测性等价于∑2能控性
证明：由已知条件
1状态 r能 a(M n 控 c1k B 1 A 1B 1 A 1n 1B 1)n
C 2
ra(C n2 TkA 2 TC 2 T (A 2 n 1)TC 2 T)n ra(M no2k C 2 A 2 )n 2能观 C 2A 2n 1
3.2.1 状态能控性定义
2、说明 1)若系统状态不完全能控，可能有一部分状态能控，
另一部分状态不能控。此时，可把它们分解程完全 能控子空间和完全不能控子空间，二者互相正交 2)定义对输入u和状态轨迹不加限制，只关心能控状 态的分布 3)能控和能达 能控：初态x(t0)为任意非零点，终态x(tf)为原点 能达：初态x(t0)为原点，终态x(tf)为任意非零点 对于线性系统（包括连续、离散），由状态转移的可 逆性，能控与能达是等价的。 4)如果系统中有不依赖于输入的干扰f(t)，只要f(t) 保证所给系统有唯一性，则干扰不影响系统能控性
同的特征值，则其状态能观的充要条件是： 系统经非奇异变换后获得的对角型 {Aˆ, Bˆ,Cˆ}中，Aˆ 中每个约当块首列对应的矩阵Cˆ 的列元素不全为零。如果系统具有特征值 相同的特征块，则除上述条件外，对应的 矩阵Cˆ 的列元素必须线性无关。
3.3.2 系统能观测性判据
例：已知
A
2 0
1 2
0 0
取摆杆相对于垂直位置的偏离角
，小车相对于
期望位置r0的偏离值
作为状态变量，即
X
r
r
θl
m2g r0
m1g
要达到控制目的，u必须对所有的状态变量都发生影 响，才有可能把X控制至零。此即能控性问题。
3.1
概述
例：如图所示电气网络，输入变量是电流源i，
输出变量是端电压Y，取C1、C2端电压作
为状态变量。
3.2
3.2.1 3.2.2
能控性定义及判据
状态能控性定义 能控性判据
3.2.1 状态能控性定义
1、定义
x ax bu
对于动力学系统
y cx
如果对于任意给定状态x(t0)、x(tf)，均存
在一个分段连续（可导）的输入u(t)，能
在[x(t0)，x(tf)]有限时间内，使系统从 x(t0)转移到x(tf)，则称系统状态完全能 控，简称系统是能控的。
所谓能控性，指输入能否控制状态变化；所 谓能观性，指输出能否反映状态变化。
控制器需通过状态反馈来给出合适的u，但 并非所有的状态变量都是能测量的。因此能 否由系统测量值来近似估计其他状态变量值， 就非常重要，此即所谓的能观性问题
3.1
概述
质往摆量复杆为运可m 动相， 对1的小于小车垂车上直，倒位在立置u一左的质右作量摆用为动下，m，试2可、问沿长能光为否滑l的利轨摆用道杆控， 制杆力处u于使直小立车位停置留。到人们所期望的位置r0，并且摆
3.3.1 能观测性定义
1、定义
x ax bu
对于线性连续定常系统
y cx
的任意
初态x(t0)，均能根据输入矢量u(t)、输
出矢量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的
测量值，唯一确定x(t0)，则称系统状态
完全能观测，简称能观，否则称为不能观
测（不完全能观测）。
3.3.1 能观测性定义
即当且仅当 rankcMn 时，才有
rankM c n。得证
二、对角型、约当型判据
2、对角型判据 定理：线性定常系统具有互不相同的特
征值，其状态完全能控的充要条件是 系统经非奇异变换后的对角型状态空 间描述中，输入矩阵不包含全为零的 行。
二、对角型、约当型判据
1 0 0
例：已知A 0 2 0，判别以下各种系统的能控性
解：由对角型判据可知，1）能观测，2）不能观 测（单行阵必然线性相关）
3.4能控性与能观测性的对偶关系
3.4.1 3.4.2
线性系统的对偶关系 对偶原理
3.4.1 线性系统的对偶关系
一、定义
给定线性系统∑1=(A1,B1,C1,D1)， ∑2=(A2,B2,C2,D2)若 ，则A 1 称 系A 2 统T,B ∑1 1 、C ∑2 T 2,是C 1 互 为B 2 对T偶的。其状态 结构图如下
解：
CA [12
1 0 23
1 4
3 6
3 6
1 1
Mo
C CA
2 3
2 3
6 6
rankMo=1<n=2，所以系统不能观测。
3.3.2 系统能观测性判据
2、对角型、约当型判据 1）对角型判据 定理：线性时不变系统{A，B，C}具有互
不相同的特征值，则其状态能观的充要条 件是：系统经非奇异变换后获得的对角型 中，输出矩阵不包含有元素全为零的列。
3.5
3.5.1 3.5.2
能控标准型、能观测标准型
单输入系统能控标准型 单输出系统的能观测标准型
第三章 线性系统的能控性和能观性
3.1 概述 3.2 能控性定义及判据 3.3 能观测性及其判据 3.4 能控性与能观测性的对偶关系 3.5 能控标准型、能观测标准型 3.6 线性系统结构分解 3.7 传递函数阵的最小实现
3.1
概述
60年代初由卡尔曼提出
系统控制、综合和设计问题，如极点配置、 观测器设计、解耦问题、最优控制、最优估 计等，都与能控性和能观性密切相关
，判别以下各种系统的
能观测性。0 0 3
1）C
0 1
0 0
0 2
2）
C
0 0
0 1
0 2
解：由对角型判据可知，1）能观测，2） 不能观测
3.3.2 系统能观测性判据
2 1 0 0
例：已知 测性。
A
0 0 0
2 0 0
0 2 0
0 ，判别以下系统的能观
1 2
1）
C32
0 0
1 0
0 0
2） C 2010
3.3.2 系统能观测性判据
1、秩判据 x ax bu
线性系统状态
y cx
能观测的充要条件
是其能观测性矩阵
C
Mo
CA
CA n 1
满秩，即rankMo=n
3.3.2 系统能观测性判据
0 0 0
例：已知A2 0 1,C[1 0 1]，判别系统的能观性。
解：
3 1 0
0 0 0
CA [1 0 1]2 0 1 [3 1 0]
2、说明 若系统状态不完全能观，可能仍有一部分状态能观，
另一部分状态完全不能观。此时，可把它们分解成 完全能观子空间和完全不能观子空间，二者互相正 交。 能观测性表示输出反映状态变量的能力，由输入引 起的输出响应是已知的（可算出），因此，在定义 中可以不涉及输入。 定义中确定的是初态，由状态转移矩阵可知，知道 初态，可根据 x(t) (tt0)x(t0)求出任意时刻状态。 引入不依赖输入的干扰f(t)，不影响系统能观测性。
0 0 3
1） 1 1 B 0 1
0 1
3）
1
B 1
1
2）
1 1
B 2 1
0 0
4）
1
B0
1
解：由对角型判据可知，1）3）能控，2）4）不 能控
二、对角型、约当型判据
3、约当型判据 定理：线性定常系统 xaxbu具有相同的
特征值，其状态完全能控的充要条件是系 统经非奇异变换后的约当型状态空间描述 xˆaˆxˆbˆu中，输入矩阵中每个约当块的最 后一行元素不全为零，并且特征值相同的 约当块的最后一行线性无关。