高等数学证明题

正文:

不等式是中学数学中的重要内容之一，也是解题的一种十分重要的思想方法。在中学证明不等式一般有比较法，综合法，分析法，反证法，判别法，放缩法，数学归纳法，利用二项式定理和变量代换法等等，其中包含了很多的技巧，从而证明的难度也比较大，下面就利用高等数学知识进行不等式的证明，从中也可看出不等式的证明具有很大的灵活性。

利用函数的单调性证明不等式，首先引入下面的定理：

定理1：设有两个函数f(x)与g(x),满足：

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间（a,b)内可导有f'(x)>g'(x) ( 或 f'(x)

（3）在端点有f(a)=g(a) (或f(b)=g(b));

则在(a,b)开区间内f(x)>g(x)成立。

例1：求证：e x-1>x (当x>0时)

从例题可以看出，在不等式的中有e x形式的指数形式，如用初等代数来证明则有一定的难度，如用高等数学中上面的定理则非常直观。

分析1：要证e x-1>x，可以设f(x)=e x-1,g(x)=x 这样就转化成定理1的形式。

证明：设f(x)=e x-1,g(x)=x

并且知：f(x),g(x)在[0,∞)连续，并在(0,∞)可导

有：f'(x)=e x >g'(x)=1 (当x>0)

并有：f'(0)=e0=1 g'(0)=1

即：f'(0)=g'(0)

所以根据定理1有：f(x)>g(x) 即：e x-1>x

这样通过高等数学中的导数和函数的基本性质就可以证明。

另外，也可以将不等式转化成：e x-x-1>0，证明方法同上（略）。

如果不等式中的次数较高，形式也比较复杂，这可能需要多次转化，才能达到目标，通过下面的例子不难看出这一点。

例2：设a>ln2-1为任一常数，求证：当x>0时,有x2-2ax+1

分析：要证：x2-2ax+10

不妨设：F(x)=e x-x2+2ax-1

有：F(0)=0

则：F'(x)=e x-2x+2a

现在只需证明：F'(x)>0即可证明F(x)>0

下面分析证明：F'(x)>0

设g(x)=F'(x)=e x-2x+2a

e >0 (a>ln2-1)

有：g(0)=e0+2a>1+2(ln2-1)=ln4-1=ln

4

又因：g'(x)=e x-2

所以现在只需证：g'(x)≥0就可以证明g(x)>0.

即需要证：e x≥2

Ⅰ.当x≥ln2时成立.

Ⅱ.下面考察：当 00

g(x)=F'(x)=e x-2x+2a 又知：g'(x)=e x-2 g(0)>0

所以：g(x)在x=ln2时为极值点，且为极小值。

这样只要说明：g(ln2)>0即可。

又因：2-2ln2+2a>0 (当a>ln2-1时）

所以：在00.

综上所述，可知F'(x)>0.所在在证明不等式过程中连续两次用到求导。 有时在证明不等式时，如用初等数学知识则比较困难，如果我们能巧妙地构造函数，这样可使问题得以简化，其中判断函数的单调性，我们利用了高等数学中的导数知识很容易地就解决了。下面利用高等数学中的拉格朗中值定理进行不等式的证明，下面引入拉格朗日中值定理： 定理2：若函数f(x)满足下列条件：

（1）f(x)在[a,b]并闭区间上连续；

（2）f(x)在(a,b)开区间内可导；

则至少存在一点ξ∈（a,b),使得

f '(ξ)= a

b a f b f --)()(成立。 例3：证明：| sinb-sina | ≤| b-a |

分析：我们知道| sinx | ≤1, | cosx |≤1 ,而a,b 我们可以假设其中一个为较大者，则a,b 可组成一个区间。再分析sinx 函数在该区间内的性质可知符合拉格朗日中值定理的条件，从而可以得以证明。 证明：若a ＝b,则等号成立。

若a ≠b,不妨设a ＜b.

设f(x)=sinx 则f '(x)=cosx

则拉格朗日中值定理知，存在一点ξ∈（a,b) 使得：

f '(ξ) = cos ξ=

a b a b --sin sin 又因为：|cos ξ|≤1

所以 | sinb-sina| ≤| b-a |

从上面的定理和证明中，我们不难发现在遇到形如拉格朗日中值定理形式的不等式证明时，可用此定理，使得证明得以简化，其中我们应灵活地利用拉格朗日中值定理的各种变形进行不等式的证明。

利用定积分的有关知识进行不等式的证明

在不等式的证明中，我们经常会发现，有些不等式是求和的形式，这里我们可以利用定积分的定义或是利用积分的关的性质使问题得以解决，下面的分析不难发现这一点。

例4：对任意正整数n>1 求证：

2213++n n <(n 1)n +(n 2)n + (n 3)n +…… +(n

n )n < 2 分析：不等式中(n 1)n +(n 2)n + (n 3)n +…… +(n n )n 的形式比较复杂，但从中可看出它是一些有相同特性的分式的和。

设f(x)=xn

(其中x= n 1,n 2,n 3,……,n

n ）

可看出：x ∈(0,1) 则不等式的

和为⎰10x n dx,从下图可看出：

根据函数的凸凹性和定积分的

定义可证此题。

证明：设f(x)=x n , x ∈(0,1)

因为n ≥2,可知f(x)为单调递增的 凹函数，(如上图所示）则有： = [(n 1)n + (n 2)n + (n

3)n +…… +(n n 1-)n ]< ⎰10x n dx=1

1+n 所以：(n 1)n + (n 2)n + (n 3)n +…… +(n n 1-)n < 1

1+n 所以：(n 1)n + (n 2)n + (n 3)n +…… +(n n )n < 1

1+n +1< 2 又因为：21 [(n 0)n + (n 1)n + (n 1)n +……+(n n 1-)n +(n n 1-)n +(n n )n ] > n ⎰10x n dx

所以[(n 1)n + (n 2)n + (n

3)n +…… +(n n 1-)n +(n n )n - 21 (n n )n >1

+n n 所以：1+n n +21<(n 1)n + (n 2)n + (n 3)n +…… +(n

n )n 即： 2213++n n < (n 1)n + (n 2)n + (n 3)n +…… +(n n )n < 2 在上面的证明中，我们利用了定积分的定义以及函数的的一些性质。上面的几个例子中都利用了函数，由此可见函数在不等式的证明中起着非常关键的作用，函数的构造和对函数的分析，其中函数单调性的判断利用了高等数学中的导数的知识使问题简化，其次本文利用高等数学中的拉格朗日中值定理进行不等式的证明，使得具有符合拉格朗日中值定理形式的不等式证明得以简化，再次通过定积分的定义进行不等式的证明，以上的问题表明高等数学在不等式的证明方面存在着很大的优势，我们还需进一步的学习和研究。

参考文献：

[1]《高初数学结合讲义 》 首都师范大学张海山教师

[2]《数学分析讲义》 高等教育出版社