第二型曲线曲面积分的计算方法

第二型曲线曲面积分的计算方法

PB07210153 刘羽 第二型曲线曲面积分与第一型曲线曲面积分相比有明显不同的几何意义和物理意义，第一型曲线曲面积分分别可以看成是定积分与二重积分的更一般情况，其意义较易理解，计算也相对比较简单。而第二型曲线曲面积分又称为对坐标的积分，具有第一型不具有的方向性，计算较为复杂，物理意义十分明显，分别是变力沿曲线做功和向量场过曲面的通量，这在物理学上有重要的应用，与格林定理，斯托克斯定理，高斯定理紧密相关，是微积分中的重点和难点，以下简单介绍第二型曲线曲面积分的常用计算方法。

1．第二型曲线积分计算方法

向量场F Pi Q j Rk =++ ，τ 是曲线L 上指向指定方向的单位切向量，则称形式积分L L Pdx Qdy Rdz F dl τ++=⎰⎰ 为第二型曲线积分，右端是F τ 在L

上第一型曲线积分。这里要理解τ 的方向性，dx i dl τ= 是有向曲线微元dl τ 在

Ox 轴方向投影，dx 可正可负（与定积分不同），这正是第二型曲线积分具有方向性的原因。

计算第二型曲线积分的方法主要有定义法，参数法，利用性质以及利用Green 公式和Stokes 公式。

（1）定义法

当已知或易于表达时，可考虑用定义法，一般用得较少。

（2）参数法

参数法是计算第二型曲线积分最常用的方法，将其转化为定积分，应用时要特别注意上下限的确定（根据所给的方向而不是大小）。

设有向曲线L 的参数方程为x=x(t),y=y(t),z=z(t),其起点对应t=a ，终点对应t=b ，则

L P d x Q d y R d z ++⎰=

[((),(),())'()((),(),())'()((),]b a P x t y t z t x t Q x t y t z t y t P x t y t z t

z t d t ++⎰ 计算时只要将所有量（包括微分量）用参数变量表示出来即可，不需记忆此式。

例 1 求曲线积分L ydx zdy xdz ++⎰，其中L 是2x y +=与

2222()x y z x y ++=+的交线，从原点看去是逆时针方向。

解：在曲线L 满足的方程组中消去y 并化简得222(1)2x z -+=，可知L 在Ozx 平面上的投影曲线是椭圆222(1)2x z -+=，注意到坐标原点在平面2x y +=的

x →-∞的一侧，所以从x 轴正方向看曲线是顺时针方向。

设,1sin ,21sin ,02z t x t y x t t π=+=-=-≤≤，且其方向是参数减少方向，从而

L y d x z d y

x d z ++⎰

=02[(1s i n )c 2c o s (c o s )s i n )(2s i n )]t t t t t t d t π--++⎰

=20π=⎰

（3）利用第二型曲线积分的性质，如用分段法，分项法，方向性来简化计算。

（4）利用Green 公式和Stokes 公式。

Green 公式：

()L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰ Stokes 公式：()(L S R Q P P d x Q d

y z z ∂∂∂++=-∂∂∂⎰⎰⎰ 要注意两个公式都只对闭合曲线成立，有时当所求曲线部分十分复杂

而非闭合部分仅为一条直线或简单曲线时，可采用补线法进行计算，这时要特别注意方向性，

最好画图避免错误。

Green 公式的一个应用

Green 公式可以求平面闭合曲线围成区域的面积：

L L

D S dxdy xdy ydx ===-⎰⎰⎰⎰

2. 第二型曲面积分计算方法

向量场v Pi Q j Rk =++ ，n 是指向双侧曲面定侧的单位法向量，称形

式积分

S S

Pdydz Qdzdx Rdxdy v ndS ++=⎰⎰⎰⎰ 为第二型曲面积分，右端是v n 在曲面S 上的第一型曲面积分。这里要理解dydz i ndS = ，其大小为dS 在Oyz 平面

上投影的大小，其符号由n 与i 的夹角是锐角或钝角而定，是有正负的，是

有向面积元ndS 在Oyz 平面上投影。

计算第二型曲面积分的常用方法主要有定义法，参数法，单一坐标平

面投影法，

分项投影法，以及利用高斯公式求解等。

（1）定义法

当单位法向量容易求得，易于表达时可考虑用定义法。

（2）参数法

常用球面参数和柱面参数：

球面参数：sin cos ,sin sin ,cos x R y R z R θϕθϕθ===，可推广到椭球面。 柱面参数；cos ,sin ,x a y a z z θθ===

其他参数由于计算复杂使用不多。

（3）单一坐标平面投影法（参数法特例）

设以Oxy 平面为投影面

S Pdydz Qdzdx Rdxdy ++⎰⎰('')x y D

z

P z Q R dxdy ε=--+⎰⎰ 以Oyz,Ozx 平面为投影面情况类似。

（4）分项投影法

分项投影法是利用第二型曲面积分的线性性：

S Pdydz Qdzdx Rdxdy ++⎰⎰=S S S

Pdydz Qdzdx Rdxdy ++⎰⎰⎰⎰⎰⎰

分别将右式三项投影到Oyz,Ozx,Oxy 平面上，由于

1S D Pdydz Pdydz =⎰⎰⎰⎰，1S D Pdydz Pdydz =⎰⎰⎰⎰，1

S D Pdydz Pdydz =⎰⎰⎰⎰

分别投影直接计算二重积分，避免投影到一面上求偏导的计算，此法非常

实用，看似复杂，实则简单，非常实用。

计算中要注意原曲面与投影曲面一一对应，若不一一对应要分片投

影，如一个完整的球投影到Oxy 平面上，上下半球曲面要分别投影计算。计算中注意利用方向性等性质以简化计算。

例2 计算2

S y dzdx zdxdy +⎰⎰，其中S 是椭球面22

2144x y z ++=，外侧。 此题可利用参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法等多种方法计算，难度不大，答案是163

π。 （5）利用高斯公式

Gauss 公式：(

)S V P Q R Pdydz Qdzdx Rdxdy dxdydz x y x

∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 注意公式只对闭合曲面成立，Gauss 公式将第二型曲面积分转化为三

重积分，被积函数（向量场散度）容易求得，有时十分方便求解。如果空间曲面较为复杂但只差一个简单曲面或平面即可构成闭合曲面，则可利用补面法进行计算，此时也应特别注意方向的判断。

第二型曲线曲面积分是场论知识的数学抽象，以上并没有涉及梯度，散度，旋度，有势场等场论的概念，以及Stokes 公式和Gauss 公式的向量形式。在此类积分计算时应注意一些基本方法的掌握，一些细节如方向性的注意也很重要，此外做题练习也是很有必要的。