Lecture 31 应用：capm检验

实证检验中两个问题
变量中的误差(Errors-in-Variables)，Lintner先对每个样 本股票估计各自 βi 值(时间序列估计)，然后利用估计的 βi 值而不是真正的 βi 值，从横断面上估计模型来检验 CAPM，从而产生了变量中的误差，导致γ1的估计值太小 了，截矩项为正的。 残差方差与真正的 βi值相关，残差方差与股票的βi系数 有关， βi 值大的股票有高的非系统风险，从而 γ 2 是上偏 的。 为了处理上述问题，一些学者检验CAPM时，对变量中 的误差问题，采用将股票构成投资组合的方式，这一类 的 研 究 后 来 被 认 为 是 CAPM 的 经 典 检 验 ， 就 是 Black, Jensen and Scholes (1972)、Fama-Macbeth (1973)。
CAPM
资本资产定价模型
现代财务经济学中一个最重要问题就是定量风险与预期报酬之间 的关系，资本资产定价模型(capital asset pricing, CAPM)就是说明 风险与预期报酬间的关系。实际上，CAPM是指一种资产预期报 酬是其与市场投资组合报酬间协方差的线性函数。
E ( Ri ) = R f + β i ( E ( Rm ) − R f )
BJS检验CAPM的时间序列方法
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1wk.baidu.com
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投资组合形成期 1年: 投资组合估计期 (beta预先排序) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 计算投资组合报酬 2 3 4 5
投资组合形成期
2年: 投资组合估计期 (beta预先排序)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
R jt − R ft = α j + β j ( Rmt − R ft ) + ε jt
将会有以下问题，当利用大量股票的信息时估计单个模型将是一 个非有效的方法；由于误差项横断面可能存在相关性，从而不能 构造单个t 统计值；样本期内betas 可能是非平稳的。 BJS(1972)考虑用以下的方法，将所有股票十等分，构成10个投资 组合，分别估计各投资组合的α 和 β，这样，α估计值的标准差将 会考虑了误差项横断面可能存在的相关性。同时，每隔5年重新估 计β值，以避免β的非平稳性。 BJS(1972)检验CAPM的方法有三种：时间序列方法、横断面方 法、两因素模型(Black, 1972)。
The Capital Asset Pricing Model : Some Empirical Tests
Written by FISCHER BLACK MICHAEL C.JENSEN MYRON SCHOLES
Black, Jensen and Scholes(1972,BJS)
Black, Jensen and Scholes(1972,BJS)认为检验CAPM模型
FM
检验CAPM，FM提出用下面的模型检验， R it = γ 0t + γ 1t β i + γ 2t β i2 + γ 3t si + η it 其中，Rit为t－1期至t期股票i报酬，si为股票i的非系统性风险(与 βi无关)，βi为股票i的系统性风险，ηit为均值为0，并与其他变量 独立的随机变量。 关于CAPM的检验有3个假说， C1: E(γ2t)=0，这意味着预期报酬与风险间存在着线性关系。 C2: E(γ3t)=0，这意味着非系统性风险对预期报酬无影响。 C3: E (γ 1t ) = E (Rmt ) − E (R0t ) > 0 ，即风险报酬大于0 FM以1926年1月至1968年间在NYSE上市的所有普通股为研究对 象，采用月度报酬。FM认为检验CAPM的三个假说时，应用到 股票i真正的βi，但检验时却用βi估计值 ˆ Cov ( Ri , Rm ) βi = 这会引起变量中的误差问题。 Var ( Rm )
Rf：无风险资产的报酬,Rm：市场投资组合的报酬 第二个重要的模型是套利定价模型(Ross,1976)，指任何风险性资 产的报酬是影响资产报酬各种共同因素的线性组合，套利定价模 型(APT)较CAPM更一般，因它包括更多的因素。
资本资产定价模型的检验
有些学者认为不存在着上面的线性形式，也就是说，解释预期报 酬的因素除β外，还有其他因素，如公司规模、市盈率等；还有学 者认为，Rf可能是不太适当的无风险资产报酬。因此，对CAPM进 行检验时，就有一个问题，模型能很好地拟合数据吗？ 由于E(R)是预期报酬，而预期是不能观测的，因此，需将预期或 事前的形式转换成可以用观测数据检验的形式。这可通过假设任 一资产的报酬是公平博弈，即总体上一种资产的报酬等于预期报 酬E(Ri)。 λ mt = Rmt − E ( Rmt ) Rit = E ( Rit ) + β i λ mt + ε it E (λ mt ) = 0 E (ε it ) = 0 其中，εit是随机误差项， Cov(ε it , λ mt ) = 0 Cov(ε it , ε i ,t −1 ) = 0 β i = Cov( Rit , Rmt ) Var ( Rmt )
E (Ri ) = E (R0 ) + β i [E (Rm ) − E (R0 )]
R0 为零-Beta证券报酬，与市场投资组合报酬无关。式表明证 券i的预期报酬是零-Beta证券预期报酬R0加风险报酬，Rm为所 有股票等权重的报酬。 如果CAPM成立，那么预期报酬与风险间存在着线性关系，βi 是对股票i风险的完全度量，高风险高报酬， E (Rm ) − E (R0 ) > 0
FM方法
步骤1：投资组合形成期(1926-29) ˆ 利用头4年各样本股票月度报酬，计算单个股票的 β i ，在期末(1929年12月 ˆ 底)，对 β i 排序，将所有股票20等分，构成20个投资组合。 步骤2：初始估计期(1930-34) ˆ ˆ 利用后5年的数据(1930-34)，重新计算单个股票的 β i，各投资组合的 β pt为 ˆ 成份股票 β i 的平均值。 步骤3：检验期(1935-38) ˆ 1935－38年间的每一年，每年重新计算单个股票的 β i 后，利用的数据期 间分别为1930－35年、1930－36年、1930－37年、1930－38年，再计算投 ˆ 资组合的 β pt 。1935－38年的投资组合月度报酬为成份股票月度报酬的平 均值。
时间序列方法
BJS依个股的betas值排序，将所有股票十等分，从而构成10个投资 组合。BJS认为这样构成投资组合的方法会引起样本选择偏差，即 大的beta投资组合可能含有高的beta度量误差。BJS认为解决该问 题的可能方法就是利用工具变量法，如BJS利用前一期估计的beta 值作为工具变量。 BJS(1972)以1926年1月至1966年3月在纽约证券交易所上市的股票为 研究对象，无风险资产报酬为：1926-1947年为交易商商业本票利 率，1948-1966年为美国国库券利率。市场投资组合为等权重的每月 月初在纽约证券交易所上市股票构成投资组合。 利用前5年的数据(1926-30年)估计各个样本股票的beta值，依估计的 beta值大小在1931年构建10个投资组合，计算出1931年10个投资组 合的月度报酬。用1927-31年的数据估计各个样本股票的beta值，依 估计的beta值在1932年构建10个投资组合，计算出1932年10个投资 组合的月度报酬，依此类推，可以得到10个投资组合在1931－66年 间各月的月度报酬。参见图。
CAPM检验
CAPM假设资产报酬服从联合正态分布，将CAPM中的预期报酬 E(Ri)代入可得，
Rit = R ft + β i (E ( Rmt ) − R ft ) + β i (Rmt − E ( Rmt ) ) + ε it = R ft + β i (Rmt − R ft ) + ε it
计算投资组合报酬
4
5
计算投资组合报酬 Betas (beta事后排序)
CAPM检验的时间序列方法
利用上面所说的无风险资产报酬、市场投资组合月度报酬，可以 估计1931－66年间以及分段区间的各个投资组合的α 和 β，见表 利用时间序列方法检验CAPM，检验α＝0，由表可知，除投资组 合2、9、10外，其他投资组合估计的α 在5%显著性水平下与0无 αˆ α ) tβ( ˆ 显著差异。BJS认为，时间序列方法表明基本接受CAPM。
投资组合形成期、估计期、检验期
投资组合形成期 初始估计期 检验期 1926-29 1930-34 1935-38 1927-33 1934-38 1939-42 1931-37 1938-42 1943-46 1935-41 1942-46 1947-50 1939-45 1946-50 1951-54 1943-49 1950-54 1955-58 1947-53 1954-58 1959-62 1951-57 1958-62 1963-66 1955-61 1962-66 1967-68
变量中的误差
Blume(1970)认为投资组合p由N种股票构成，股票i的权重为wi，投资 N 组合p的βp ˆ ˆ
β p = ∑ wi β i
i =1
FM认为，如果变量中的误差并不是完全正相关，那么，投资组合βp 的估计值较单个股票βi的更为准确。 为了减少检验过程中利用投资组合而不是单个股票所引起的信息损 ˆ 失，投资组合的构成是按 β i 大小排序而形成的，这样可以得到投资组 ˆ 合的 β p。但是，这样将会引起较为严重的回归问题，在横断面上，高 ˆ ˆ 的 β i 往往高于真正的βi，低的 β i 往往低于真正的βi。从而会引起构成 投资组合过程中抽样的偏差， ˆ 其结果就是，高βi构成投资组合的 β p 往往高估了βp，低βi构成投资组 ˆ 合的 β p 往往低估了βp。 为此，FM提出了下面的方法以规避这样的问题，先从一期的数据估 ˆ ˆ 计 β i ，依 β i 大小排序构成投资组合，然后用下一期的数据估计已形 ˆ 成投资组合的 β p ，使用新的数据的好处在于，一个投资组合中单个 ˆ 股票的 β i 误差是随机的，从而基本消除变量中的误差问题。
参数 1
ˆ β
ˆ α
投资组合 2 1.3838 3 1.2483 4 1.1625 5 1.0572 6 0.9229 7 0.8531 8 0.7534 9 0.6291 10 0.4992
1.5614
-0.0829
-0.1938
-0.0649
-0.0167
-0.0543
0.0593
0.0462
0.0812
Rit − R ft = β i Rmt − R ft + ε it 两边减去Rft，可得 是CAPM事后形式。我们得出CAPM的事后形式的假定是，资产 报酬服从正态分布，从公平博弈的意义上资本市场是有效的。这 样，我们可以利用观测报酬数据检验CAPM。
(
)
检验CAPM
R pt − R ft = γ 0 + γ 1 β p + ε pt
其中， γ 1= Rmt－Rft，为市场超额报酬，Rpt－Rft为投资组合 超额报酬 如果CAPM成立，那么，
截距项γ0在统计意义上与0无显著差异， β p 是解释风险资产报酬的唯一因素。其他因素如残差方差、股 利收益率、市盈率、公司规模等没有解释股票报酬的能力。 Rpt－Rft与βp存在着线性关系。 βp的回归系数γ 1应等于 Rmt- Rft γ 1>0，因为市场投资组合也是风险资产，总体上其报酬应大于 无风险资产报酬。
0.1968
0.2012
ˆ t (α )
-0.4274
-1.9935
-0.7597
-0.2468
-0.8869
0.7878
0.7050
1.1837
2.3126
1.8684
Fama-MacBeth法
Fama and MacBeth (1973,FM)提出了检验CAPM的方法，该方 法不仅仅用于检验CAPM，而且可用于多因素定价模型检验， 其滚动回归的思想还应用于预测。 CAPM指预期报酬E(R)与风险间存在着线性关系，这种关系能 用于解释横断面预期报酬，Fama and MacBeth(1973)第一个提 出了横断面回归的思路。检验CAPM模型为