241525行波法与积分变换法

数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
第三章 行波法与积分变换法
一 行波法
1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定
特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。
2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐
次二阶偏微分方程。
3 适用范围： 无界域内波动方程，等…
数学物理方程与特殊函数
f (x, ),
x ,t1 0 x
(x,t1)
1 2a
xat1 f ( , )d 1
xat1
2a
xa(t )
f ( , )d
xa(t )
t
u2 (x,t)
(x,t, )d
0
1
t xa(t )
f ( , )dd
2a 0 xa(t )
从而原问题的解为
u(x,t) 1 (x at) (x at) 1
u
B
u
x
A
u
B
u
x
A2
2u 2
x at
2a t
x
1 a
t
x
1 a
t
u
0
1
x a t
1
x a t
1 1 2 x a t
x t
x t
2u
u
0
u f ( )
u f1( ) f2 ()
1 1 2 x a t
u f1(x at) f2 (x at)
xat
( )d
2
2a xat
一维波动方程的达朗贝尔公式
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
u(x,t) 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
2
2a xat
4 解的物理意义
a. 只有初始位移时，u(x,t) 1 (x at) (x at)
2
(x at) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波
at
)
2
e(xat)2 ]
1 2a
xat 2ases2 ds
x at
1 2
[e
(
x
at
)2
e( xat)2 ]
1 2
xat es2 ds2
x at
1 2
[e
(
x
at
)
2
e( xat)2
]
1 2
[
es2
xat xat
e ( xat)2
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
6 相关概念
af1( x)
af 2( x)
(x)
f1(x)
f2 (x)
1 a
x
( )d C
0
f1(x)
1 2
(x)
1 2a
x
(
)d
C
0
2
f2
(x)
1 (x)
2
1 2a
x
(
)d
C
0
2
u 1 (x at) 1
xat
(
)d
C
1
(x
at)
1
xat
( )d
C
2
2a 0
22
2a 0
2
u 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
2
2a xat
1
t xa(t )
f ( , )dd
2a 0 xa(t )
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2u
2u
2u
(A B) AB 0
x 2
xy
y 2
u u u A u B u x x x
y Ax y Bx
2u x2
A
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2u2 t 2
a2
2u2 x2
f
( x, t ),
x ,t 0
u2 (x, 0)
0,
u2 (x, t
0)
0,
x
利用齐次化原理，若 满足：
2
t
2
a2
(x, )
2
x2 ,
0, (x,
t
)
f
(x, ),
t
则：u2 (x,t)
数学物理方程与特殊函数
2u
t
2
u ( x,0)
a2 2u , x 2
(x), u(x,0)
t
(x),
u f1(x at) f2 (x at)
第3章行波法与积分变换法
x ,t 0
x
t1
f2
行波法
f1
u(x,0) f1(x) f2 (x) (x)
t2
u(x,0) t
(x at) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
b. 只有初始速度时： u(x,t) 1
xat
( )d
2a xat
假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0
u(x,t) 1(x at) 1(x at)
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速 为a波的叠加，故称为行波法。
x
行波法又叫特征线法
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第3章行波法与积分变换法
7 非齐次问题的处理
2u
t
2
a2
2u x2
f
( x, t ),
u(x, 0) (x), u(x, 0) (x),
t
x ,t 0 x
利用叠加原理将问题进行分解：u u1 u2
2u1 t 2
a2
2u1 x2
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第3章行波法与积分变换法
u(x,t) 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
2
2a xat
5 达朗贝尔公式的应用
utt
a
u |t0
2u e
xx x2
,
0, ut
x |t 0 2axex2
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
u ( x)
1 2
[e
(
x
,
u1(x, 0)
( x),
u1(x, 0) t
( x),
x ,t 0 x
2u2 t 2
a2
2u2 x2
f
( x, t ),
u2 (x, 0)
0,
u2 (x, 0) t
0,
x ,t 0 x
u1
(
x,
t)
1 2
(
x
at)
(
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x
at)
1 2a
xat
( )d
xat
第3章行波法与积分变换法
2u
t
2
u ( x,0)
a2 2u , x 2
(x), u(x,0)
t
(x),
2u 1 2u 0 x 2 a 2 t 2
2 x 2
1 a2
2 t 2
u
2
1
2
u
0
x a t
x x 0
,t 0
x at x
2 x
x
t
t
u(x,t) 1 (x at) (x at) 1
xat
( )d
t2
2a xat
t
P( x, t )
依赖区间
x
x at x at
x x1 at
x x2 at
决定区域
x1
x2
x
t
x x1 at
影响区域
x1
x2
x x2 at
x at C 特征线 x at x at 特征变换
(x,t, )d
0
令：t1 t
x ,t
x
2
t12
( x,
a2 0)
2
x2 ,
0, (x,
t1
0)
f (x, ),
x ,t1 0 x
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2
t12
( x,
a2 0)
2
, x2
( x,
0, t1
0)