概率论与数理统计答案 第二章 离散型随机变量

第二章 离散型随机变量

2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？ (1)⎪⎪⎭⎫

⎝⎛2.03.05.0531 (2) ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛1.01.07.0321

(3) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ n n 31213121312121

2102 (4)⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛ 2221212121

n 解 （1）是

（2）11.01.07.0≠++，所以它不是随机变量的分布列。

（3）4

33121312131212

12

=+⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭

⎫ ⎝⎛+ n

,所以它不是随机变量的分布列。

（4）,021>⎪⎭⎫ ⎝⎛n n 为自然数，且1211=⎪⎭

⎫ ⎝⎛∑∞

=n n

，所以它是随机变量的分布列。 2.2 设随机变量ξ的分布列为：5,4,3,2,1,15

)(==

=k k

k P ξ，求(1))21(==ξξ或P ; (2)2

5

21(

<<ξP ) ； (3) )21(≤≤ξP 。 解 (1) 5

1152151)21(=+=

==ξξ或P ; (2) 5

1)2()1()2521(==+==<<ξξξP P P ;

(3) )21(≤≤ξP 5

1

)2()1(==+==ξξP P .

2.3 解 设随机变量ξ的分布列为3,2,1,32)(=⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅==i C i P i

ξ。求C 的值。 解 1

32323232=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+C ，所以3827=C 。

2.4 随机变量ξ只取正整数N ，且)(N P =ξ与2N 成反比，求ξ的分布列。

解 根据题意知2)(N C N P ==ξ，其中常数C 待定。由于162

12

=⋅=∑

∞=πC N

C N ，所以26π=C ，即ξ的分布列为2

26)(N N P πξ=

=，N 取正整数。

2.5 一个口袋中装有m 个白球、m n -个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了ξ个白球，求ξ的分布列。

解 设“k =ξ”表示前k 次取出白球，第1+k 次取出黑球，则ξ的分布列为：

.,,1,0,)

()1()

)(1()1()(m k k n n n m n k m m m k P =---+--=

=ξ

2.6 设某批电子管的合格品率为4

3，不合格品率为

4

1，现在对该批电子管进行测试，设第ξ次为首

次测到合格品，求ξ的分布列。

解 .,2,1,4

3

41)(1

=⎪⎭

⎫ ⎝⎛==-k k P k ξ 2.7 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以ξ表示取出球的取大号码，求ξ的分布列。

解 .5,4,3,3521)(=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛-==k k k P ξ 2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p )10(<

所需要的次数，求ξ的分布列。

解 ,3,2,)(11=+==--k q p p q k P k k ξ

，其中p q -=1。

2.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。

解 设ξ，η表示第二名队员的投篮次数，则

4.04.06.0)(11--==k k k P ξ+6.04.06.01-k k ,2,1,24.076.01=⋅=-k k ； 6.04.06.0)(1-==k k k P η4.04.06.0k k + ,2,1,4.06.076.01=⋅=-k k k 。

2.10 设随机变量ξ服从普哇松分布，且==)1(ξ

P )2(=ξP ，求)4(=ξP 。

解 ,2,1,0)0(!

)(=>=

=-k e k k P k

λλξλ

。由于,2

2

λλ

λλ--=

e e

得,21=λ02=λ（不

合要求）。所以2

243

2!42)4(--===e e P ξ。 2.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。

解 设ξ为该种商品当月销售数，x 为该种商品每月进货数，则999.0)(≥≤x P ξ

。查普哇松分布

的数值表，得16≥x 。

2.12 如果在时间t （分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t 成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。

解 设ξ为时间t 内通过交叉路口的汽车数，则

,2,1,0),0(!

)()(=>==-k e k t k P t

k λλξλ

1=t 时，2.0)0(===-λξe P ，所以5ln =λ；2=t 时，5ln 2=t λ，因而

=>)1(ξP -=-)0(1ξP ==)1(ξP 83.025/)25ln 24(≈-。

2.13 一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。

解 在指定的一页上出现某一个错误的概率

500

1

=

p ，因而，至少出现三个错误的概率为 k

k k k -=⎪

⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝

⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑500500

35004995001500k

k

k k -=⎪

⎭⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝

⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑5002

050049950015001

利用普哇松定理求近似值，取1500

1

500=⨯

==np λ

，于是上式右端等于 080301

.025

1!

1112

0≈-=--=∑e e k k 2．14 某厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？

解 设每箱至少装x +100个产品，其中有k 个次品，则要求x ,使

k

x k x

k k x -+=∑⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≤100097.003.01009.0， 利用普哇松分布定理求近似值，取303.0)100(≈⨯+=x λ，于是上式相当于3

0!

39.0-=∑≤e k x

k k ，查普哇松分布数值表，得5=x 。

2.15 设二维随机变量),(ηξ的联合分布列为：

)10,0()

!(!)1(),(<<>--=

==--p e m n m p p m n P m

n m n λληξλ

,2,1,0,,1,0==n n

m

求边际分布列。

解 ∑=====n

m m n P n P 0

),()(ηξξ

m n m n

m n p p m n m n n e -=---=

∑)1()!

(!!

!0λ

λ ,2,1,0!

==

-n n e n λ

λ