第三章-周期信号的傅里叶级数表示
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11
如何理解傅里叶级数？
综合公式:
x(t )
k
ak e jk0 t
k
ak e jk ( 2 / T )t ,
综合公式说明：任意周期为T的信号可以由一个直流信号和一系列周期为T 的约数(T,T/2,T/3,…)的周期复指数信号合成
如右图所示，周 期分别为T,T/2, T/3,…的周期信 号相加后仍然是 一个周期为T的信 号 下面的问题是： 如何能够保证这 些信号相加后得 到的波形和x(t)一 12 样？
若系统对一个输入信号的输出响应仅是一个幅度因子 常数（可能是复数）乘以该输入信号，则称该信号为 系统的特征函数，而该幅度因子常数称为系统的特征 值(eigenvalue )。
e 是连续LTI系统的特征函数
st
z n 是离散LTI系统的特征函数
对一个特定 sk 或 zk , H (sk ) 或 H ( zk ) 就是对应的特征值。
9
a1e j0 t -----基波分量或一次谐波分量
k N : a N e jN0 t -----N次谐波分量
傅里叶级数系数的确定:
T
1 ak T
T
x (t )e jk0t dt
T
这里 表示在一个周期内求积 分，即
0
T
T/2
-T/2
t 0 T
d e
st
h( )e s d
其中
h( )e s d 是个与t无关的量，记其为 H ( s ) ，即
H (s) h( )e s d
y(t ) est H (s) 则有：
同样，给定一个离散LTI系统的单位冲激响应h[n]和输入信号 x[n] z n ，其输出为：
y[n]
k
h[k ]x[n k ] h[k ]z
k
nk
z
n
k
h[k ]z k z n H ( z )
其中： H ( z )
k
h[k ]z k
5
2、LTI系统对复指数信号的响应是一个同样的 复指数信号，只是在幅度上有变化
15
2、三角函数形式的傅里叶级数
由上例可见，周期方波信号又可以分解为成谐波关系的正弦 信号的线性加权和。实际上，实周期信号总是可以写成三角 函数形式的傅立叶级数。 由复指数傅里叶级数：
x(t )
x (t )
k
ak e jk0 t
k
x(t)的共轭信号x*(t)的复 指数傅里叶级数：
ak
ak
argak
a0 1 T
傅里叶级数的系数或x(t)的频谱系数
幅度谱 相位谱
T
x (t )dt
x(t)的直流分量（一个周期内的均值）10
证明：
x(t )
k
1 ak T
jk0t
T
x(t )e jk0t dt
jn0t
本证明供学有余力同学参考
ak e
x(t )e
0
1
3
5
ˆ x1
ˆ ˆ a0 x1 x3
ˆ x3 ˆ x5 ˆ x9 ˆ x19
ˆ ˆ ˆ a0 x1 x3 x5
ˆ ˆ a0 x1 x7
ˆ ˆ a0 x1 x19
ˆ ˆ a0 x1 x99 x(t )
可见，周期信号确实可以按傅里叶级数形式分解为一系列 复指数信号的线性加权和
k
T
0
e j ( k n )0t dt
其中： e
0
T
j ( k n )0 t
dt cos[(k n)0t ]dt j
T , k n sin[(k n)0t ]dt 0, k n
当k n, T cos[(k n) t ]dt j T sin[(k n) t ]dt T 1 dt j T 0 dt T 0 0 0 0 0 0 T T 当k n, cos[(k n)0t ]dt j sin[(k n)0t ]dt 0 j 0 0(正弦信号在一个周期内 的积分为 0)) 0 0
从时域分析到频域分析（以连续时间非周期信号为例）
时域分析： x (t ) 基本信号 δ (t ) LTI
x(t ) x( ) (t )d
y (t ) h(t ) x (t ) x ( )h(t )d
h(t )
频域分析： x(t ) 基本信号 e jt LTI
1 x(t ) 2
1 y (t ) 2
X ( j ) H ( j )e jt d
H ( j )e jt
X ( j )e jt d
1 y (t ) Y ( j )e jt d 2 Y ( j ) X ( j ) H ( j )
7
4、将一个信号分解为特征函数(复指数信号) 的线性加权和
如果一个LTI系统的输入信号（连续/离散）可以分解 为复指数信号的线性加权和：
x(t ) ak e sk t
k
n x[n] ak zk k
那么根据特征函数的性质和LTI系统的叠加特性， 系统的输出有如下形式：
y(t ) ak H (sk )e sk t
k
n y[n] ak H ( zk ) zk k
A. 什么样的信号可以分解为复指数信号的线性加权和？ B. sk, zk取何值？ C. 如何确定系数ak？ 8
3.3. 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
1、复指数傅里叶级数
sk =jk0，即: esk t e jk0t , k 0, 1, 2,
2
频域分析
Fra Baidu bibliotek
周期信号（离散/连续）的傅里叶级数（第三章） 连续非周期信号的傅里叶变换（第四章,本课程重点内容) 离散非周期信号的傅里叶变换（第五章）
3
3.2. LTI系统对复指数信号的响应
1、信号分解的概念---将一个信号表示为一系 列基本信号的线性加权和
基本信号的两个性质:
A.由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用的信号. B. LTI系统对这些基本信号的响应很简单，系统对任意 输入信号的响应可以表示为每一个基本信号的响应的线性 加权和.
分析公式:
1 1 jk 0t ak x(t )e dt x(t )e jk ( 2 / T )t dt T T T T
分析公式说明：为了令这些周期信号相加后等于x(t),各个信号 的振幅ak必须满足上式 例如对如图所示周期方波信号,其在一个周期(-1,1)内的信 x(t) 号表达式为:
复指数信号满足这两个性质： 连续时间： st e 离散时间： z n
4
例：设一个连续时间LTI系统的单位冲激响应为h(t)，当输入信号 x(t ) est 时，求其输出？ 为
y(t ) h( ) x(t )d h( )e
s ( t )
所以有： x(t )e
0
T
jn0t
dt
k
ak e j ( k n )0t dt
0
T
a 0 an 1 0 an 0 an 1 0 a 0 Tan 1 T 1 jn0t an x(t )e dt x(t )e jn0t dt T 0 T T
连续时间： 离散时间：
e H (s)e
st
n
st
n
z H ( z) z
复振幅因子H(s)或H(z)一般来说是复变量s或z的函数, 它们跟h(t)或h[n]有如下的关系：
H ( s) h( )e d
s
H ( z)
k
h[k ]z k
6
3、系统的特征函数(Eigenfunction)
k
ak e jk0t e jn0t
两边都从 0 ~ T对t求积分：
T
0
x(t )e
jn0t
dt
T
0
k T
a e
k 0
jk0t jn0t
e
dt
k
a
k T 0
T
0
e
jk0t jn0t
e
dt
k
a
0.5 0.5
13
k 1 : a1e j0t k k k k k
2 ˆ x1 a1e j0t a1e j0t cost 1 1 j 0 t 1 : a1e cost j sin t 1 1 3 : a3e j 30t cos3t j sin 3t 2 3 3 ˆ x3 a3e j 30t a3e j 30t cos3t 1 1 3 3 : a3e j 30t cos3t j sin 3 3 3 1 1 5 : a5e j 50t cos5t j sin 5t 2 5 5 ˆ x5 a5e j 50t a5e j 50t cos5t 1 1 5 5 : a5e j 50t cos5t j sin 5t 5 5 k 2 : a 2 e j 2 0 t 0 j 2 t j 2 t ˆ x2 a 2 e 0 a 2 e 0 0 k 2 : a 2 e j 2 0 t 0 k 4 : a 4 e j 4 0 t 0 x(t ) ak e jk0 t j 4 t j 4 t ˆ x4 a 4 e 0 a 4 e 0 0 k k k 4 : a 4 e j 4 0 t 0 ˆ ˆ ˆ 即：x(t ) a x (t ) x (t ) x (t ) 1 cost j 1 sin t
ae
jk0t k
m -k
m
a me jm0t
k m a k e jk0t k
因为x(t)是实数，即： x(t ) x (t ) 故有
k
一个周期为T的周期信号x(t) 的复指数傅里叶级数：
x(t )
k
ak e jk0 t
0 2 / T
其中系数 ak一般来说是 k0 的复函数。
e
jk0 t
, k 0, 1, 2, 成谐波关系的复指数信号集
k 0: k 1 :
a0
-----直流分量
t0
综合公式:
(synthesis equation)
x(t )
k
ak e jk0 t
k
ak e jk ( 2 / T )t ,
分析公式:
(analysis equation)
1 1 jk 0t ak x(t )e dt x(t )e jk ( 2 / T )t dt T T T T
1, xt 0, t 0.5 0.5 t 1
1
…
-2 -1 -0.5 0.5 1 2
… t
1 0.5 a0 1 dt 0.5 2 0.5
1 0.5 jk0t 1 ak 1 e dt e jk0t 2 0.5 j 2k0 sin(k0 / 2) sin(k / 2) k0 k
第三章 周期信号的傅里叶级数表示
本章主要内容：
• 连续时间周期信号的傅里叶级数表示 及其性质 • 离散时间周期信号的傅里叶级数表示 及其性质
说明：此课件对应于教材第3章的3.2-3.7节（其中3.4节仅简单介绍 ，不作要求）；3.8-3.11节关于LTI系统分析及滤波器以后再讲。
2013-7-1 1
如何理解傅里叶级数？
综合公式:
x(t )
k
ak e jk0 t
k
ak e jk ( 2 / T )t ,
综合公式说明：任意周期为T的信号可以由一个直流信号和一系列周期为T 的约数(T,T/2,T/3,…)的周期复指数信号合成
如右图所示，周 期分别为T,T/2, T/3,…的周期信 号相加后仍然是 一个周期为T的信 号 下面的问题是： 如何能够保证这 些信号相加后得 到的波形和x(t)一 12 样？
若系统对一个输入信号的输出响应仅是一个幅度因子 常数（可能是复数）乘以该输入信号，则称该信号为 系统的特征函数，而该幅度因子常数称为系统的特征 值(eigenvalue )。
e 是连续LTI系统的特征函数
st
z n 是离散LTI系统的特征函数
对一个特定 sk 或 zk , H (sk ) 或 H ( zk ) 就是对应的特征值。
9
a1e j0 t -----基波分量或一次谐波分量
k N : a N e jN0 t -----N次谐波分量
傅里叶级数系数的确定:
T
1 ak T
T
x (t )e jk0t dt
T
这里 表示在一个周期内求积 分，即
0
T
T/2
-T/2
t 0 T
d e
st
h( )e s d
其中
h( )e s d 是个与t无关的量，记其为 H ( s ) ，即
H (s) h( )e s d
y(t ) est H (s) 则有：
同样，给定一个离散LTI系统的单位冲激响应h[n]和输入信号 x[n] z n ，其输出为：
y[n]
k
h[k ]x[n k ] h[k ]z
k
nk
z
n
k
h[k ]z k z n H ( z )
其中： H ( z )
k
h[k ]z k
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2、LTI系统对复指数信号的响应是一个同样的 复指数信号，只是在幅度上有变化
15
2、三角函数形式的傅里叶级数
由上例可见，周期方波信号又可以分解为成谐波关系的正弦 信号的线性加权和。实际上，实周期信号总是可以写成三角 函数形式的傅立叶级数。 由复指数傅里叶级数：
x(t )
x (t )
k
ak e jk0 t
k
x(t)的共轭信号x*(t)的复 指数傅里叶级数：
ak
ak
argak
a0 1 T
傅里叶级数的系数或x(t)的频谱系数
幅度谱 相位谱
T
x (t )dt
x(t)的直流分量（一个周期内的均值）10
证明：
x(t )
k
1 ak T
jk0t
T
x(t )e jk0t dt
jn0t
本证明供学有余力同学参考
ak e
x(t )e
0
1
3
5
ˆ x1
ˆ ˆ a0 x1 x3
ˆ x3 ˆ x5 ˆ x9 ˆ x19
ˆ ˆ ˆ a0 x1 x3 x5
ˆ ˆ a0 x1 x7
ˆ ˆ a0 x1 x19
ˆ ˆ a0 x1 x99 x(t )
可见，周期信号确实可以按傅里叶级数形式分解为一系列 复指数信号的线性加权和
k
T
0
e j ( k n )0t dt
其中： e
0
T
j ( k n )0 t
dt cos[(k n)0t ]dt j
T , k n sin[(k n)0t ]dt 0, k n
当k n, T cos[(k n) t ]dt j T sin[(k n) t ]dt T 1 dt j T 0 dt T 0 0 0 0 0 0 T T 当k n, cos[(k n)0t ]dt j sin[(k n)0t ]dt 0 j 0 0(正弦信号在一个周期内 的积分为 0)) 0 0
从时域分析到频域分析（以连续时间非周期信号为例）
时域分析： x (t ) 基本信号 δ (t ) LTI
x(t ) x( ) (t )d
y (t ) h(t ) x (t ) x ( )h(t )d
h(t )
频域分析： x(t ) 基本信号 e jt LTI
1 x(t ) 2
1 y (t ) 2
X ( j ) H ( j )e jt d
H ( j )e jt
X ( j )e jt d
1 y (t ) Y ( j )e jt d 2 Y ( j ) X ( j ) H ( j )
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4、将一个信号分解为特征函数(复指数信号) 的线性加权和
如果一个LTI系统的输入信号（连续/离散）可以分解 为复指数信号的线性加权和：
x(t ) ak e sk t
k
n x[n] ak zk k
那么根据特征函数的性质和LTI系统的叠加特性， 系统的输出有如下形式：
y(t ) ak H (sk )e sk t
k
n y[n] ak H ( zk ) zk k
A. 什么样的信号可以分解为复指数信号的线性加权和？ B. sk, zk取何值？ C. 如何确定系数ak？ 8
3.3. 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
1、复指数傅里叶级数
sk =jk0，即: esk t e jk0t , k 0, 1, 2,
2
频域分析
Fra Baidu bibliotek
周期信号（离散/连续）的傅里叶级数（第三章） 连续非周期信号的傅里叶变换（第四章,本课程重点内容) 离散非周期信号的傅里叶变换（第五章）
3
3.2. LTI系统对复指数信号的响应
1、信号分解的概念---将一个信号表示为一系 列基本信号的线性加权和
基本信号的两个性质:
A.由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用的信号. B. LTI系统对这些基本信号的响应很简单，系统对任意 输入信号的响应可以表示为每一个基本信号的响应的线性 加权和.
分析公式:
1 1 jk 0t ak x(t )e dt x(t )e jk ( 2 / T )t dt T T T T
分析公式说明：为了令这些周期信号相加后等于x(t),各个信号 的振幅ak必须满足上式 例如对如图所示周期方波信号,其在一个周期(-1,1)内的信 x(t) 号表达式为:
复指数信号满足这两个性质： 连续时间： st e 离散时间： z n
4
例：设一个连续时间LTI系统的单位冲激响应为h(t)，当输入信号 x(t ) est 时，求其输出？ 为
y(t ) h( ) x(t )d h( )e
s ( t )
所以有： x(t )e
0
T
jn0t
dt
k
ak e j ( k n )0t dt
0
T
a 0 an 1 0 an 0 an 1 0 a 0 Tan 1 T 1 jn0t an x(t )e dt x(t )e jn0t dt T 0 T T
连续时间： 离散时间：
e H (s)e
st
n
st
n
z H ( z) z
复振幅因子H(s)或H(z)一般来说是复变量s或z的函数, 它们跟h(t)或h[n]有如下的关系：
H ( s) h( )e d
s
H ( z)
k
h[k ]z k
6
3、系统的特征函数(Eigenfunction)
k
ak e jk0t e jn0t
两边都从 0 ~ T对t求积分：
T
0
x(t )e
jn0t
dt
T
0
k T
a e
k 0
jk0t jn0t
e
dt
k
a
k T 0
T
0
e
jk0t jn0t
e
dt
k
a
0.5 0.5
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k 1 : a1e j0t k k k k k
2 ˆ x1 a1e j0t a1e j0t cost 1 1 j 0 t 1 : a1e cost j sin t 1 1 3 : a3e j 30t cos3t j sin 3t 2 3 3 ˆ x3 a3e j 30t a3e j 30t cos3t 1 1 3 3 : a3e j 30t cos3t j sin 3 3 3 1 1 5 : a5e j 50t cos5t j sin 5t 2 5 5 ˆ x5 a5e j 50t a5e j 50t cos5t 1 1 5 5 : a5e j 50t cos5t j sin 5t 5 5 k 2 : a 2 e j 2 0 t 0 j 2 t j 2 t ˆ x2 a 2 e 0 a 2 e 0 0 k 2 : a 2 e j 2 0 t 0 k 4 : a 4 e j 4 0 t 0 x(t ) ak e jk0 t j 4 t j 4 t ˆ x4 a 4 e 0 a 4 e 0 0 k k k 4 : a 4 e j 4 0 t 0 ˆ ˆ ˆ 即：x(t ) a x (t ) x (t ) x (t ) 1 cost j 1 sin t
ae
jk0t k
m -k
m
a me jm0t
k m a k e jk0t k
因为x(t)是实数，即： x(t ) x (t ) 故有
k
一个周期为T的周期信号x(t) 的复指数傅里叶级数：
x(t )
k
ak e jk0 t
0 2 / T
其中系数 ak一般来说是 k0 的复函数。
e
jk0 t
, k 0, 1, 2, 成谐波关系的复指数信号集
k 0: k 1 :
a0
-----直流分量
t0
综合公式:
(synthesis equation)
x(t )
k
ak e jk0 t
k
ak e jk ( 2 / T )t ,
分析公式:
(analysis equation)
1 1 jk 0t ak x(t )e dt x(t )e jk ( 2 / T )t dt T T T T
1, xt 0, t 0.5 0.5 t 1
1
…
-2 -1 -0.5 0.5 1 2
… t
1 0.5 a0 1 dt 0.5 2 0.5
1 0.5 jk0t 1 ak 1 e dt e jk0t 2 0.5 j 2k0 sin(k0 / 2) sin(k / 2) k0 k
第三章 周期信号的傅里叶级数表示
本章主要内容：
• 连续时间周期信号的傅里叶级数表示 及其性质 • 离散时间周期信号的傅里叶级数表示 及其性质
说明：此课件对应于教材第3章的3.2-3.7节（其中3.4节仅简单介绍 ，不作要求）；3.8-3.11节关于LTI系统分析及滤波器以后再讲。
2013-7-1 1