单轴晶体的折射率

单轴晶体中反射和透射系数的表述方法
专业：光信息科学与技术 姓名：褚宏观 学号：2011412220 指导老师： 宋连科教授
摘要：本文根据电磁场边界条件，讨论了当光从各向同性介质入射到各向异性介质的单轴
晶体，且入射光平行与入射面时，其反射系数和透射系数的表述方式。

关键词：单轴晶体，反射系数，折射系数,电磁场边界条件。

1 引言
过折射率椭球中心做椭球的圆截面，通过圆截面的中垂线称为晶体的光轴。

如果只能截出一个圆，便对应一个光轴，这类晶体为单轴晶体。

在七大类晶体中，三角、四角、六角结构均为单轴晶体【8】。

光从各项同性介质射向各向异性的单轴晶体界面上振幅的反射和透射系数，是一个很重要的理论问题，在光学仪器设计和激光通讯、加工等现代光学技术领域内有着极其广泛的应用。

对于各项同性介质而言，光在界面上的反射和折射遵守反、折射定律；光的反射系数满足菲涅尔公式【4】。

在单轴晶体中，光分为寻常光（o 光）和非常光（e 光），o 光、e 光都为线偏振光 ；在各项异性介质表面发生折射（反射）时，将产生两束光，一束o 光，一束e 光。

很多文献对于单轴晶体的反射系数和透射系数有了一定的注解。

本文根据电磁场边界条件，讨论了当光从各向同性介质入射到各向异性介质的单轴晶体，且入射光平行与入射面时，其反射系数和透射系数的表述方式。

2、坐标系统的选取以及晶体光学中的有关公式的说明
2.1 坐标系的选取和说明
假设单色光从各向同性介质射向各向异性的单轴晶体，P 1是两种介质的分界面，则由界面法线oy 1以及晶体光轴oz 组成的是该单轴晶体的主截面P 3，对于单轴晶体来说，它的另一个主轴oy 的方向是可以任选,在此我们就选择oy 轴在该主截面内，这样oy 、oy 1、oz 轴三轴处于同一平面。

由图1可见，β是光轴oz 和界面P 1之间的夹角，而α是单轴晶体主截面P 3和入射面s o 1y (其坐标系为
1x 1y 1z ）之间的夹角。

两个坐标系之间有如下关系：首先绕o x 轴旋转β角得到
xy 1z 2坐标系，然后再绕oy 1轴旋转α角得到1x 1y 1z 坐标系。

s 、r s 、o s 、e s 分别代表入射光、反射光以及晶体中折射的o 光和e 光的波法线
方向，则角i 和ϕ是入射角和晶体内e 光的波法线折射角。

设晶体光轴oz 在入射面坐标系里的方向余弦为cos 1α、cos 1β、cos 1γ。

2.2 e 光波法线折射角以及其方向数
根据文献【2】
，在单轴晶体内，光的波法线折射角ϕ以及在晶体主轴坐标系内的方向数x s 、y s 、z s 的表达式可由以下的（1）、（2)两式来确定：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛222222
111sin sin z e o e s n n n n i ϕ （1） ϕαsin sin =x s
()ϕβαβϕsin sin cos cos cos +-=y s （2） βϕϕβαsin cos sin cos cos -=z s
入射方介质的折射率是（1）式中的n ，且o n 、e n 为单轴晶体的两个主折射率，e
光的波法线折射率为 ϕsin sin '
i n e =。

角α的表达式根据文献【3】由下式得到
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=11sin cos arccos βγα （3）
而 190ββ-= （4） 2.3单轴晶体中有关o 、e 光的几种速度表达式 根据文献
【3】
，单轴晶体中e 光的相速p v 的公式如下所示：
22222
211z e o
e p s n n c n c v ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= （5）
且根据惯例有 i
i n c
v =
，（z y x i ,,=） （6） 在（5）、（6）两式中，c 是真空中的光速，x n 、y n 、z n 是单轴晶体沿三个主轴的折射率；对于单轴晶体来说，o y x n n n ==，e z n n =，于是可以得到o
o n c v =
，e
e n c
v =。

3、入射光为平行于入射面的线偏光且其电矢量为p E
如上图1所示，规定了反射光的电矢量1rx E 或rp E 以及其入射光的电矢量p E 或
1x E 的正方向，而折射o 光的电矢量ox E 的方向则是垂直于晶体的主截面(P3)的，
其相应的磁矢量o H 的方向可以从上图中得到，由于在单轴晶体中产生了o 、e 光，所以反射光r S 就不再是线偏振光。

3.1电磁场边界条件
实际上电磁场问题一直都是在一定的空间和时间范围内发生的，它有起始状态（静态电磁场例外）和边界状态。

即使是无界空间中的电磁场问题，该无界空间也可能是由多种不同的介质组成的，不同的介质的交界面和无穷远界面上电磁场构成了边界条件。

在不同介质的分界面处，由于可能存在的电荷电流分布等情况，使电磁场量产生突变。

微分方程不能适用，但可用积分方程。

从积分方程出发，可以得到在分界面上场量间的关系，这被称为边值关系。

它是方程积分形式在界面上的具体化，
只有知道了边值关系，才能求解出多种介质情况下场方程的解。

因为在介质界面两侧的介质的介电常数ε和磁导率μ不相同，所以界面两侧的电磁场并不连续，那么我们就可以利用麦克斯韦方程组来推出电磁场在两种介质的界面上的边界条件，以此来表示电磁场在两个介质之间的关系：
()012=-⨯E E u ()012=-⨯H H u ()012=-⋅B B u ()012=-⋅D D u
由电磁场的边界条件可以知道在单轴晶体表面是电场强度 E 和磁场强度 H 切向分量的连续，磁感应强度 B 和电位移矢量 D 是在界面两侧的法向分量是连续的。

3.2求入射光、反射光以及折射光o 光的电矢量以及沿界面分量的表达式 可以从图示1中可以得到： 入射光s 01=x E ，i E E p z cos 1=
反射光r s 11rx rx E E =，i E E rp rz cos 11-= （7） 折射o 光o s αcos 1ox ox E E =，αsin 1ox oz E E = 这样我们就得到了其具体的表达式。

3.3求折射的e 光的电矢量表达式
根据文献【1】在各向异性的单轴晶体中,非常光e 光的电矢量e E 在单轴晶体主轴坐标系中的各分量的表达式如下所示:
)(222e e k p
k k
k s E s v v v E ∙-=，（z y x k ,,=） （8）
上式中e s 为e 光波法线上的单位矢量，依此又可以得到：
)()(222e e x e e x p
o o
ex s E as s E s v v v E ∙=∙-=
)()(222e e y e e y p o o
ey s E as s E s v v v E ∙=∙-= （9）
)()(222e e z e E z p
e e
ez s E bs s E s v v v E ∙=∙-=
在这里还必须把上述三个分量用入射面坐标系1x 、1y 、1z 的分量来进行表示,再
利用坐标轴间的旋转关系于是就有下列关系式的成立 αβαβαsin sin sin cos cos 1ey ez ex ex E E E E +-=
ββsin cos 1ez ey ey E E E += （10） αβαβαcos sin cos cos sin 1ey ez ex ez E E E E -+= 将（9）式代入（10）式可以得到：
()[])()(sin cos sin sin cos 1e e e e z y x ex s E M s E bs s s a E ∙=∙-+=αββαα )())(sin cos (1e e e e z y ey s E T s E bs as E ∙=∙+=ββ (11) ()[])()(cos cos cos sin sin 1e e e e z y x ez s E K s E bs s s a E ∙=∙+-=βααβα 这样又可以得到：
)(2222
221
11e e ez ey ex s E K T M E E E E ∙++=++= （12） 3.4求对应的磁矢量H 沿界面分量的各个值
假设入射方介质的折射率是n ,单轴晶体中o 光的折射率是o n ,而e 光波法方向的折射率是'
e n ,于是根据电磁矢量之间的关系并参照图示1,可以得到: 入射光s p x nE H -=1,01=z H
反射光r s rp rx nE H -=1，i nE H rx rz cos 11-= (13) 折射光o s αsin 1ox o ox E n H -=，αcos 1ox o oz E n H = 3.5求折射的e 光的磁矢量H 各个分量的表达式 首先我们先求磁矢量e H 的沿界面分量1exx H 、1exz H
对于折射的e 光所对应的磁矢量e H 及沿x 、y 、z 轴的分量ex H 、ey H 、ez H 我们可以通过以下的方法求得。

根据电磁场理论，在单轴晶体的主轴坐标系中有以下关系
()()[]
K E s E s j E s E s i E s E s n E s n H x y y x z x x z y z z y e e e e e )()('
'
-+-+-=⨯= （14）
把（2）、（9）式代入（14）可得：
)()())(()('
2222222
'
e e y e e e y p o p e z p e o e ex s E Ws n s E s v v v v s v v v n H ∙=∙---=
)()()
)(()('
222222
2'
e e x e e e x p o p e z p o e e ey s E Ws n s E s v v v v s v v v n H ∙-=∙---=
（15）
0=ez H
由此我们可以得到ex H 沿界面的两个分量1exx H 、1exz H ，它们分别为：
ααcos )(cos '
1e e y e ex exx s E Ws n H H ∙==
ααsin )(sin '1e e y e ex exz s E Ws n H H ∙== （16）
再求ey H 的沿界面分量1eyx H 、1eyz H ，我们假设单轴晶体的晶体主轴系中y 轴在入射面坐标系中的方向余弦分别为2cos α、2cos β、2cos γ则依据1oy 、oy 、oz 三轴共面的条件以及图1中的关系我们可以得到：
9021=+ββ
1cos cos cos 222222=++γβα （17）
0cos cos cos 010cos cos cos 1
1
2
2
2
2
=γβαγβα
又可以从上式得到： 1
2
12112cos cos cos cos cos γαβαα+=
；1
2
12
112cos cos cos cos cos γαγβγ+=
（18）
由（15)式和（18）式又可以得到
)(cos cos 2'
21e e x e ey eyx s E Ws n H H ∙-==αα (19) )(cos cos 2'
21e e x e ey eyz s E s W n H H ∙-==γγ
这样折射的e 光磁矢量的各分量表达式就求出来了。

3.6应用电磁场的边界条件来求rp E 、1rx E 、ox E 、e E
在此我们将入射介质假设为空气，其折射率1≈n ，根据电磁场的边界条件我们可以得到：
1x E 分量：()
e e ox rx s E M E E ∙+=αcos 1
1z E 分量：)(sin cos cos e e ox rp p s E K E i E i E ∙+=-α
1x H 分量：()()
e e x y e ox o rp P s E s s W n E n nE nE ∙-+-=--2'
cos cos sin ααα （20）
1z H 分量：()()
e e x y e ox o rx s E s s W n E n i nE ∙-+=-2'
cos sin sin cos 1γαα
设反射系数和透射系数分别为s R 、p R 、o T 、e T ，解上述（20）中的四个式子，我们可以得到：
()()()U i n R K P i n E E R o o p rp p 1cos sin 2cos cos -+++=
=
αα （21）
()[]U
M i n R i E E R o p
rx s cos cos cos 21+-=
=
α （22）
U
i
R E E T p ox o cos 2=
=
（23） U
i n i K T M E E T o p e e αcos )cos (cos 2222+++== （24）
其中（21）~（24）四式中的P 、R 、U 分别为：
()[]K s s i W n P x y e --=2'
cos cos cos αα
()[]i M s s W n R x
y
e
cos cos sin 2
'+-=γα
()()[]ααsin cos 1cos cos i n R i n P U o o +++=
这样就得到光从各向同性介质(空气)入射到各向异性的单轴晶体，且当入射光平行与入射面时，单轴晶体中反射系数和透射系数的表达式。

参考文献：
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