平面向量总复习最新版本ppt课件

特别注意：
ab0 cos0 为锐角 0 或
ab0 cos0 为钝角 或
由此，当需要判断或证明两向量夹角为锐角或钝角时，应
排除夹角为0或 的情况，也就是要进一步说明两向量不共
线。
典型例题分析:
例1 e1、e2不共线，a=e1+e2 b=3e1－3e2 a与b是否共线。
解：假设,a与b共线则 e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe2 1=3λ 1=-3λ 这样λ不存在。 ∴a与b不共线。
1 2
而|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1·e2+e22=7
|b|2=b2=(-3e1+2e2)2=9e12-2e1·e2+4e22=7
|a|= 7 |b|= 7 ∴cosα=
ab |a||b|
α12 =120。
8、（1）已知a,b都是非零向量，且
a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直，
则 br与 cr一 定 满 足 ( )
C A(bb ..a c)(bc)
Bb. c0 D以 . 上都不
例 8.若 向 量 ar0 r,bra arr,cr(cos,sin),
则 br与 cr一 定 满 足 ( )
[解]
b 1,
c
co2ssin2 1
(bc)(bc)
b2
c2
0
(bc)(bc).
1 2
θ=60。
（2）a2=3 b2=4 |a|·|b|=2 3 a·b=|a|·|b|cosθ= 3·cos30。=3
| a2b| (a2b)2 a2 4ab4b2 31
| ab| (ab)2 a2 2abb2 1
cosQ (a2b)(ab) |a2b| a| b|
23311
Qarccos(23311)
解：c = m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1) 3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c = a-2b
例4、 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a
解：设a =(x,y) 则 x2+y2=100 -4x-3y=0 x=6 x=-6 y=-8 y=8 a=(6,-8)或(-6,8)
A. -6 B. 6 C. 3 D. -3 5、已知|a|=3,|b|=4,(a+b)·(a+3b)=33， 则a与b的夹角为（ C ）
A. 30。 B. 60。 C. 120。 D. 150。 6.若|a-b|= 4120 3,|a|=4,|b|=5,则a·b=(A )
A.10 3 B.-10 3 C.10 2 D.10
[答案] C
uuur uuur 例9. 已知在ABC中,OAOB uuur uuur uuur uuur OBOCOCOA, 则O是ABC
的_______心.
uuur uuur uuur uuur
[解] 由OAOBOBOC得：
uuur uuur uuur
uuur uuur
OB(OAOC)0, 即OBCA0
(四) 数量积
1、平面向量数量积的定义： a b | a| | b| cos
2、数量积的几何意义：
r r r r
r
等 于 a 的 长 度 | a | 与 b 在 a 方 向 上 的 投 影 | b | c o s 的 乘 积 .
3、数量积的坐标运算
B
abx1x2y1y2
θ
4、运算律: （1） abba O
（一）向量的加法 u u u r u u u r u u u r 1、作图 三角形法则：A B B C A C a + b
平行四边形法则：
2、坐标运算： 设 a （ x1， y1 ） ， b （ x2， yA2） a 则 a b （ x1x2， y1y2） D
u ຫໍສະໝຸດ Baidu u r u u u r u u u r （二）向量的减法 A B A D D Bb
9、已知△ABC中，A(2,4),B(-1,-2), C(4,3),BC边上的高为AD。 （1）求证：AB⊥AC； （2）求点D和向量AD的坐标； （3）求证：AD2=BD·DC 解：（1）A(2,4) B(-1,-2) C(4,3)
AB=(-3,-6) AC=(2,-1) AB·AC=(-3)×2+(-6)×(-1)=0 AB⊥AC
例5、 设|a|=|b|=1 |3a-2b|=3则|3a+b|=____
解：法1 a=(x1y1) b=(x2,y2)
x12+y12=1
x22+y22=1
3a-2b=3(x1,y1)-2(x2,y2)=(3x1-2x2,3y1-2y2)
∴9(x12+y12)+4(x12+y12)-12(x1x2+y1y2)=9
B1
A
（ 2 ）（ a ） b（ ab ） a（ b ）
（ 3）a（ b） cacbc
平面向量的数量积a·b的性质: ①e·a=a·e=|a|cosθ
②a⊥b a·b=0
③a，b同向a·b=|a||b|反向时a·b=-|a|·|b|
a2=a·a=|a|2(a·a= a 2 )
④cosθ= a b
OBCA,同理OCAB,OABC,
故O是ABC的垂心.
考点归纳 1、向量的概念 2、实数与向量的积 3、平面向量的坐标运算 4、线段的定比分点 5、平面向量的数量积
练习
一、选择题：
1、如图所示，G为ABC的重心，则
GA+GB-GC等于（ D ）
A
A. 0 B. GE
F
E
C. 4GD D. 4GF
|a ||b |
⑤|a·b|≤|a|·|b|
四、向量垂直的判定
（ 1）abab0 向量表示 （ 2 ） a b x1x2y1y20坐标表示
五、向量平行的判定(共线向量的判定)
（ 1） r a/r /bba（ a0） 向r 量表示 r
（ 2 ） b / / a x 1 y 2 x 2 y 1 0 ， 其 中 a （ x 1 ， y 1 ） ， b （ x 2 ， y 2 ）
x1x2+y1y2=
1 3
3a+b=3(x1,y1)+(x2,y2)=(3x1+x2,3y1+y2)
|3a+b|2=(3x1+x2)2+(3y1+y2)2
=9(x12+y12)+(x22+y22)+6(x1x2+y1y2)=12
∴(3a+b)=2 3
法2 9=9a2+4b2-12a·b
∴a·b=
1 3
r
例 7、 已 知 a （ 1 ， 2 ） ， b （ 3 ， 2 ） ， 当 k为 何 值 时 ，
rrr r
（ 1 ） kab 与 a3b垂 直 ？
rr r r
（ 2 ） kab与 a3b平 行 ？ 平 行 时 它 们 是 同 向 还 是 反 向 ？
（1）k=19
（2）k 1 , 反向 3
例 8.若 向 量 ar0 r,bra arr,cr(cos,sin),
二、向量的表示
1、代数字母表示： AB或a （可运算） | AB|或| a|
2、几何有向表示：
3、坐标表示：（综合运算）
rrr axiyj
（x，y）
OA（x，y）
（有向线段、作图）
y
y A (x,y) a
j
O ix
a
x
三、几个特点向量
1、零向量：长度为零 的向量叫零向量。记作 0 ，
零向量的方向是 任意的 ，零向量与任意向量 平行。
2、单位向量：长度为1
的向量叫单位向量。记作
a |a |
。
3、相等向量： 长度相等，方向相同 的向量叫相等向量。
4、相反向量： 长度相等，方向相反的向量叫相反向量。
5、平行向量：表示向量的一些有向线段，平行或在一直线上
的向量叫平行向量。 注意：共线向量也称平行向量
6、请说出以上向量的相互关系？
三、向量的运算
平面向量
复习
知识网络
向量
向量有关概念 向量的定义 单位向量及零向量
向量的运算 向量的加法 向量的减法
基本应用 平行与垂直的条件
求长度
相等向量及相反向量 实数和向量的积
求角度
平行向量和共线向量 向量的数量积
一、向量的概念 1、向量：既有 大小 ，又有 方向 的量 叫做向量。
向量的两要素： 大小 和 方向 （与位置无关，没有大小）
六、向量的长度
坐标表示
rr r r （ 1）ar a|a|2， | a |
r2 ar
（ 2 ） 设 a （ x ， y ） ， 则 | a | x 2 y 2
（ 七3 ） 、向A 量（ x 的若 1 ， 夹y 1 ） 角 B （ cox ， s2 ， y 2 ） | arar ||brbr | |A ， | xB 1（ 2xx1则 1xy212x2） y21x y（ 222y1y22y2） 2
例2 设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R)
解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb 2=2λ λ=-1
∴
k=-λ k=-1 ∴k=-1
例3、 已知a=(3,-2) b=(-2,1) c=(7,-4)， 用a、b表示c。
又,(3a+b)2=9a2+b2+6a·b=12
∴|3a+b|=2 3
u ru u r
例 6 、 设 re 1 ,u e u 2 u r 为 两 u u r 个 r单 位 u u 向 r量 u u ? r且 夹 角 r为 r 6 0 o ? 若 a 2 e 1 e 2 ,b 3 e 1 2 e 2? 求 a 与 b 的 夹 角 .
二、解答题：
7、已知e1与e2是夹角为60。的单位向 量，且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,求a·b及a 与b的夹角α。
解：e1,e2是单位向量，且夹角为60。
∴e1.e2=|e1||e2|cos60。=12
∴a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)
=-6|e12|+e1·e2+2e22=-3
r 2 u ru u r 2 u ru u r2 u r 2 u r u u ru u r 2
解：∵ a 2 e 1 e 2 2 e 1 e 2 4 e 1 4 e 1 e 2 e 2
u r 2r2 u ru u r
1
4 e 1 e 2 4 e 1 e 2 c o s 6 0 4 1 4 1 1 2 1 7
（2）D(x,y)
AD=(x-2,y-4) BC=(5,5)
BD=(x+1,y+2)
AD⊥BC
∴AD·BC=0
5(x-2)+5(y-4)=0 又B、D、C共线
∴5×(x+1)-5(y+2)=0
∴ a 7 同理可得 b 7
a r b r cos2 e u r 1 rae ru u r 2 brr 3 e u r 1 722 e u u r 2 1 6 e u r 1 2 e u r 1 e u u r 2 2 e 2 2 7 2 a b 7 7 2
∴θ=120°
r
G
B
DC
2、若a=(λ,2)，b=(-3,5)，且a与b的
夹角为钝角，则λ的取值范围是( A)
A.λ> 103B.λ≥ C103 .λ< D103.λ≤
10 3
3、已知|a|=18,|b|=1,a·b=-9，则a和b
的夹角θ是（ A）
A.120。 B.150。 C.60。 D.30。
4、已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为90。， c=2a+3b,d=ka-4b,c⊥d,k=（B）
求a与b的夹角；(2)已知|a|= 3,|b|= 2 ，
且a与b的夹角为
6
，试求a+2b与a-b
的夹角θ的大小。
解：（1）(a+3b)·(7a-5b)=0
(a-4b)·(7a-2b)=0
7a+16a·b-15b=0
7a2-30a·b+8b2=0
a2=b2 2a·b=b2
∴cosθ=
a b
| a || b |
r当 0时， a 0
2、数乘向量的坐标运算 ： a （ x ， y ） （ x ， y ）
3、数乘向ar量的运算律ar：（ ） a ra ra r （ a r b r） a r b r
4、平面向量基本定理
u r u u r
如 这 a r 果 一 平 1 e e u 1 r1， 面 e2 内 2 是 e u 的 u r2 同 任 一 一 个 向 平 量 面 a r内 ， 的 有 两 且 个 只 不 有 共 一 线 对 向 实 量 数 ， 1 ， 那 么 2使 对 于
a +b
1、作图 平行四边形法则：
Aa
C
b
B
C
B
2、坐标运算： 设 a （ x1， y1 ） ， b （ x2， y2）
则 a b （ x1x2， y1y2）
r
（三）数乘向量 λa(R)
r
r
1、 a 的大小和方向：（1）长度： a
a rr
（2）方向：
当
0时，
a与a同向
rr
当 0时， ar与 ar异 向