第三讲 杆件结构有限元分析
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du dx
l
0
AE
l du d u dx f x udx 0 dx dx
其中E表示弹性模量，A表示横截面积，方程左端得到单元的刚度矩阵。
建立有限元模型
现考虑一个由5个长度相同(le=1m)横截面积不同的杆件构成的一维杆件，各杆弹性模量都为 E=1.0e10pa，A1=0.5m2，A2=0.4 m2，A3=0.3 m2，A4=0.2 m2，A5=0.1 m2，如图1所示，右端给定位移 u右=0.1，左端固定位移u左，分析杆件内位移分布：
根据虚功原理，方程两边乘以虚位移δu，平衡方程可以写为：
其弱形式为：
l
0
[
d ( A x ) f ( x)] udx 0 dx
l
0
A x
l d u dx f x udx Pj u j 0 dx j
基本方程的最终弱形式
其中，右端最后一项可以看作是节点力情况，所以可以不单独列出，同时 x E 所以上式可以继续写为：
网格尺寸设置
网格划分信息
网格划分
选择calculate → calculate，在弹出的对话框，点击OK，保存，前处理完毕。
工程求解
点击工具栏中“求解计算”按钮，完成模型的求解计算。
后处理
点击工具栏中的“后处理”按钮进入GID，查看计算结果，如下图所示。
结果分析： 本章针对一个变截面一维杆件，通过理论分析和ELAB1.0软件实现两种方式来分析，一方面对有限元
几何模型
将其划分为五个单元六个节点，即每根杆件作为一个单元，每个单元的节点关系如下图所示：
单元拓扑关系
确定杆单元的形函数
考虑其中一个杆单元，其两个端点分别为节点1，节点2，基本变量为节点位移u1，u2:：
设该单元的位移场为u(x)，这里要通过一个线性分布函数来进行插值以得到单元内的未知位移。
定义一个局部坐标系ζ：
前处理
求解计算及后处理
一维杆件有限元理论分析 基本方程
杆件从构造上说是长度远大于其截面尺寸的一维构件。在结构力学中常常将承受轴力或扭矩的杆件统称 为杆。根据桁架或者杆件承受的载荷不同，根据它们的变形不同可以将杆单元分为二维和三维桁架单元两种。 承受轴向载荷等截面直杆的基本方程如下：
A d x f ( x) 0 dx
6、定义工程名和工程路径，完成工程设置
定义材料参数
点击工具栏“参数设置”→“材料参数”，如下图所示：
材料参数对话框中设定相应的材料参数，如下图所示：
前处理
•几何建模：
点击工具栏中“前处理”按钮进入GID，建立该工程的几何模型。
进入GID后要进行FELAC的数据转化data→problemtype→FELAC，如下图所示。
dN 2 du d ( N1u1 N 2u2 ) dN1 u1 u2 dx dx dx dx
由局部坐标系ζ，与整体坐标系的关系式及位移的插值函数可得：
dN1 dN1 d 1 2 1 1 dx d dx 2 x2 x1 x2 x1 le dN 2 dN 2 d 1 2 1 1 dx d dx 2 x2 x1 x2 x1 le
则所有的节点位移为： u [0.0 0.0087591 0.019708 0.034307 0.056204 0.1]T m
一维杆件ELAB1.0软件实现 工程建模
1、点击“工程向导”进入公式库 2、选择“结构力学”→“桁 架”→“二维直角坐标” 3、选择“坐标系”
4、选择“单元类型”
5、选择“问题类型”
2 ( x x1 ) 1 x2 x1
由该式可得，在节点x1 处，ζ=-1，在节点x2处，ζ=1，如下图所示局部坐标系：
基于上坐标系来定义用于位移插值的形状函数：
1 2 1 N 2 ( ) 2 N1 ( )
确定了形状函数后，单元内的线性位移场就可以0.5 0.4 0.4 0.4 0.4 0.3 0.3 1.0e10 0.3 0.3 0.2 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1
边界处理及整体刚度方程求解
边界条件u1=0，u2=0.1，带入方程中去掉第一条和第六条方程得到： u1 u2 u3 u4 u5 u6
u( x) N1u1 N2u2
通常来说形函数需满足以下条件：
• 在单元内，一阶导数必须存在；
• 在单元之间的连接处，位移必须连续；
推导该问题的单元刚度矩阵表达式
对于基本方程的最终弱形式：
l du d u dx f x udx 0 dx dx
l
0
AE
在一个单元内： u( x) N1u1 N2u2 因此：
杆件结构有限元分析
第三讲
元计算技术部
本讲通过对一维杆件进行理论分析和ELAB1.0有限元实现两种方式来介绍有限元的思想，并给出用 有限元方法求解实际问题的流程： 基本方程 基本方程的最终弱形式
一维杆件有限元理论分析
建立有限元模型
确定杆单元的形函数
确定单元刚度，总体刚度
带入边界求解方程 工程建模 一维杆件ELAB软件实现
1 u1 le u2
确定该问题每个单元的刚度矩阵
1 l e ke 1 l e
u6 K (1) u5 K (2)
1 1 l 2 l 2 1 1 AE 1 1 e e AEle AEle 1 1 l l le 1 1 e e l 2 l 2 e e
，在下拉菜单中选择Line → trull2，在
Mate num中输入数值1，点击assign，选择左边第一条线，按鼠标中键结束。依次在Mate
num中输入2、3、4、5，分别为另外四条线赋材料，如下图所示。
材料属性
•添加边界条件： 在conditions对话框中选择 ， 在下拉菜单中选择point → lea，在对应的输入框中输入：u-l:-1，u-D:0，
T 节点位移： u [u1 u2 u3 u4 u5 u6 ]
T 对于本问题没有节点力即： f [0 0 0 0 0 0]
整体刚度方程为：
u1
u2
u3
u4
u5
u6 u1 0 u 0 2 u3 0 u4 0 u5 0 0 u6
确定问题类型
几何模型建立步骤： 点击左侧菜单中 ，在GID下方command命令行中输入（5,0）回车，再输入（4,0）回车，
再输入（3,0）回车，再输入（2,0）回车, 再输入（1,0）回车, 再输入（0,0）回车,单击鼠标中 键结束，此时杆件创建完毕如下图所示。
•赋予材料属性：
一维杆件模型
选择data→conditions，弹出图示对话框。选择
的分析思路进行整理，一方面对ELAB1.0的操作过程进行介绍，对比两种方式的计算结果，其结果一致，
且通过软件可以比较直观的看到结果云图，而对于复杂的模型，大家可以采用ELAB1.0方便的实现，对于 结构力学问题来说，因为桁架和梁的基本理论都是建立在一维空间上，因此对于平面二维问题及空间三维 问题，需进行坐标变换，此点在ELAB1.0软件中大家可以方面的使用,对于结构力学中其他结构的分析将在 下讲进行！
点击assign，选择模型左端点，点击鼠标中键结束，在输入框中输入：u-l:-1，u-D:0.1，选择模型左端点，
点击鼠标中键结束，即为模型添加边界(左端位移固定为0，右端位移为0.1)。如下图所示。
边界设定
•划分网格： 选择Mesh → Structured → Lines → Assign size，此时弹出Enter value window对话框，将值改为10(该值 大于所有线中的最大长度，使每一杆件为一个单元)，点击assign选择所有线，按鼠标中键结束。选择Mesh → generate mesh…，对弹出的窗口保持默认设置，划分网格，弹出网格划分信息的对话框，单击View mesh，效果图如下图所示。
le x2 x1
由上面的关系式可得到：
1 1 u1 dN 2 du dN1 u1 u2 dx dx dx le le u2
对δu取与u相同的形函数，并将上面的关系式带入基本方程的最终弱形式中可得：
1 le l du d u AE dx u u 1 2 0 dx dx 1 l e 1 AE le 1 l 1 e u1 u2 AEle 1 le l e 1 u1 le 1 1 d le u2 2
K
(4)
1.0e10 0.4 1 1 u3 1 1 u 1 2
K
(5)
1.0e10 0.5 1 1 u2 1 1 u 1 1
确定该问题总体刚度矩阵
将得到的各个单元刚度矩阵按节点编号进行组装，可以形成整体刚度矩阵，同时将所有节点荷载也 进行组装。 刚度矩阵： K K (1) K (2) K (3) K (4) K (5)
0 0 0.4 0.5 0.5 0.4 u2 0 u 0 0.4 0.4 0.3 0.3 3 1.0e10 u4 0 0.3 0.3 0.2 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 u5 0 0 0.1 求解上方程得到： u2 0.0087591 u 0.019708 3 u4 0.034307 0.056204 u 5
u5 u4 K (3) u4 u3
1.0e10 0.1 1 1 u6 1 1 u 1 5 u3 u2
1.0e10 0.2 1 1 u5 1 1 u 1 4
1.0e10 0.3 1 1 u4 1 1 u 1 3 u2 u1
l
0
AE
l du d u dx f x udx 0 dx dx
其中E表示弹性模量，A表示横截面积，方程左端得到单元的刚度矩阵。
建立有限元模型
现考虑一个由5个长度相同(le=1m)横截面积不同的杆件构成的一维杆件，各杆弹性模量都为 E=1.0e10pa，A1=0.5m2，A2=0.4 m2，A3=0.3 m2，A4=0.2 m2，A5=0.1 m2，如图1所示，右端给定位移 u右=0.1，左端固定位移u左，分析杆件内位移分布：
根据虚功原理，方程两边乘以虚位移δu，平衡方程可以写为：
其弱形式为：
l
0
[
d ( A x ) f ( x)] udx 0 dx
l
0
A x
l d u dx f x udx Pj u j 0 dx j
基本方程的最终弱形式
其中，右端最后一项可以看作是节点力情况，所以可以不单独列出，同时 x E 所以上式可以继续写为：
网格尺寸设置
网格划分信息
网格划分
选择calculate → calculate，在弹出的对话框，点击OK，保存，前处理完毕。
工程求解
点击工具栏中“求解计算”按钮，完成模型的求解计算。
后处理
点击工具栏中的“后处理”按钮进入GID，查看计算结果，如下图所示。
结果分析： 本章针对一个变截面一维杆件，通过理论分析和ELAB1.0软件实现两种方式来分析，一方面对有限元
几何模型
将其划分为五个单元六个节点，即每根杆件作为一个单元，每个单元的节点关系如下图所示：
单元拓扑关系
确定杆单元的形函数
考虑其中一个杆单元，其两个端点分别为节点1，节点2，基本变量为节点位移u1，u2:：
设该单元的位移场为u(x)，这里要通过一个线性分布函数来进行插值以得到单元内的未知位移。
定义一个局部坐标系ζ：
前处理
求解计算及后处理
一维杆件有限元理论分析 基本方程
杆件从构造上说是长度远大于其截面尺寸的一维构件。在结构力学中常常将承受轴力或扭矩的杆件统称 为杆。根据桁架或者杆件承受的载荷不同，根据它们的变形不同可以将杆单元分为二维和三维桁架单元两种。 承受轴向载荷等截面直杆的基本方程如下：
A d x f ( x) 0 dx
6、定义工程名和工程路径，完成工程设置
定义材料参数
点击工具栏“参数设置”→“材料参数”，如下图所示：
材料参数对话框中设定相应的材料参数，如下图所示：
前处理
•几何建模：
点击工具栏中“前处理”按钮进入GID，建立该工程的几何模型。
进入GID后要进行FELAC的数据转化data→problemtype→FELAC，如下图所示。
dN 2 du d ( N1u1 N 2u2 ) dN1 u1 u2 dx dx dx dx
由局部坐标系ζ，与整体坐标系的关系式及位移的插值函数可得：
dN1 dN1 d 1 2 1 1 dx d dx 2 x2 x1 x2 x1 le dN 2 dN 2 d 1 2 1 1 dx d dx 2 x2 x1 x2 x1 le
则所有的节点位移为： u [0.0 0.0087591 0.019708 0.034307 0.056204 0.1]T m
一维杆件ELAB1.0软件实现 工程建模
1、点击“工程向导”进入公式库 2、选择“结构力学”→“桁 架”→“二维直角坐标” 3、选择“坐标系”
4、选择“单元类型”
5、选择“问题类型”
2 ( x x1 ) 1 x2 x1
由该式可得，在节点x1 处，ζ=-1，在节点x2处，ζ=1，如下图所示局部坐标系：
基于上坐标系来定义用于位移插值的形状函数：
1 2 1 N 2 ( ) 2 N1 ( )
确定了形状函数后，单元内的线性位移场就可以0.5 0.4 0.4 0.4 0.4 0.3 0.3 1.0e10 0.3 0.3 0.2 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1
边界处理及整体刚度方程求解
边界条件u1=0，u2=0.1，带入方程中去掉第一条和第六条方程得到： u1 u2 u3 u4 u5 u6
u( x) N1u1 N2u2
通常来说形函数需满足以下条件：
• 在单元内，一阶导数必须存在；
• 在单元之间的连接处，位移必须连续；
推导该问题的单元刚度矩阵表达式
对于基本方程的最终弱形式：
l du d u dx f x udx 0 dx dx
l
0
AE
在一个单元内： u( x) N1u1 N2u2 因此：
杆件结构有限元分析
第三讲
元计算技术部
本讲通过对一维杆件进行理论分析和ELAB1.0有限元实现两种方式来介绍有限元的思想，并给出用 有限元方法求解实际问题的流程： 基本方程 基本方程的最终弱形式
一维杆件有限元理论分析
建立有限元模型
确定杆单元的形函数
确定单元刚度，总体刚度
带入边界求解方程 工程建模 一维杆件ELAB软件实现
1 u1 le u2
确定该问题每个单元的刚度矩阵
1 l e ke 1 l e
u6 K (1) u5 K (2)
1 1 l 2 l 2 1 1 AE 1 1 e e AEle AEle 1 1 l l le 1 1 e e l 2 l 2 e e
，在下拉菜单中选择Line → trull2，在
Mate num中输入数值1，点击assign，选择左边第一条线，按鼠标中键结束。依次在Mate
num中输入2、3、4、5，分别为另外四条线赋材料，如下图所示。
材料属性
•添加边界条件： 在conditions对话框中选择 ， 在下拉菜单中选择point → lea，在对应的输入框中输入：u-l:-1，u-D:0，
T 节点位移： u [u1 u2 u3 u4 u5 u6 ]
T 对于本问题没有节点力即： f [0 0 0 0 0 0]
整体刚度方程为：
u1
u2
u3
u4
u5
u6 u1 0 u 0 2 u3 0 u4 0 u5 0 0 u6
确定问题类型
几何模型建立步骤： 点击左侧菜单中 ，在GID下方command命令行中输入（5,0）回车，再输入（4,0）回车，
再输入（3,0）回车，再输入（2,0）回车, 再输入（1,0）回车, 再输入（0,0）回车,单击鼠标中 键结束，此时杆件创建完毕如下图所示。
•赋予材料属性：
一维杆件模型
选择data→conditions，弹出图示对话框。选择
的分析思路进行整理，一方面对ELAB1.0的操作过程进行介绍，对比两种方式的计算结果，其结果一致，
且通过软件可以比较直观的看到结果云图，而对于复杂的模型，大家可以采用ELAB1.0方便的实现，对于 结构力学问题来说，因为桁架和梁的基本理论都是建立在一维空间上，因此对于平面二维问题及空间三维 问题，需进行坐标变换，此点在ELAB1.0软件中大家可以方面的使用,对于结构力学中其他结构的分析将在 下讲进行！
点击assign，选择模型左端点，点击鼠标中键结束，在输入框中输入：u-l:-1，u-D:0.1，选择模型左端点，
点击鼠标中键结束，即为模型添加边界(左端位移固定为0，右端位移为0.1)。如下图所示。
边界设定
•划分网格： 选择Mesh → Structured → Lines → Assign size，此时弹出Enter value window对话框，将值改为10(该值 大于所有线中的最大长度，使每一杆件为一个单元)，点击assign选择所有线，按鼠标中键结束。选择Mesh → generate mesh…，对弹出的窗口保持默认设置，划分网格，弹出网格划分信息的对话框，单击View mesh，效果图如下图所示。
le x2 x1
由上面的关系式可得到：
1 1 u1 dN 2 du dN1 u1 u2 dx dx dx le le u2
对δu取与u相同的形函数，并将上面的关系式带入基本方程的最终弱形式中可得：
1 le l du d u AE dx u u 1 2 0 dx dx 1 l e 1 AE le 1 l 1 e u1 u2 AEle 1 le l e 1 u1 le 1 1 d le u2 2
K
(4)
1.0e10 0.4 1 1 u3 1 1 u 1 2
K
(5)
1.0e10 0.5 1 1 u2 1 1 u 1 1
确定该问题总体刚度矩阵
将得到的各个单元刚度矩阵按节点编号进行组装，可以形成整体刚度矩阵，同时将所有节点荷载也 进行组装。 刚度矩阵： K K (1) K (2) K (3) K (4) K (5)
0 0 0.4 0.5 0.5 0.4 u2 0 u 0 0.4 0.4 0.3 0.3 3 1.0e10 u4 0 0.3 0.3 0.2 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 u5 0 0 0.1 求解上方程得到： u2 0.0087591 u 0.019708 3 u4 0.034307 0.056204 u 5
u5 u4 K (3) u4 u3
1.0e10 0.1 1 1 u6 1 1 u 1 5 u3 u2
1.0e10 0.2 1 1 u5 1 1 u 1 4
1.0e10 0.3 1 1 u4 1 1 u 1 3 u2 u1