狄拉克函数

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记 n ( x)
sin nx lim n ( x) lim ( x) n n x
这可看作是 函数的另一种定义方式。

sin nx 上式可写为 x
事实上，凡是具有
性质的函数序列 n ( x) ，它们的极限都是 函数.如：
n
lim
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函数性质
(1) 抽样性质： 设f(x) 连续
特别的，
f ( x) ( x x )dx f ( x ) f ( x) ( xb)dx f (0)
0 0

并且上述性质可写为

a
f (0), 0 (a, b) f ( x) ( x)dx 0 ( a, b) 0,
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本节介绍一种新的“函数”, 函数.
函数是从某些物理现象中抽象出来的数学模型，例如：力
学中瞬间作用的冲击力，原子弹、氢弹的爆炸等。 这些物理现象有个共同特点， 即作用时间极短，但作用 强度极大。(冲激函数)
函数是由物理学家狄拉克首先引进的，可用于描写物理学
中的一切点量，如：点质量、点电荷、脉冲等，在近代物理 学中有着广泛的应用. 在数学上， 函数可以当做普通函数一样进行运算，并且可以 为处理数学物理问题带来极大的便利.
a=0时有 F
1
1 [1] ( x) 2
1 lim n 2
n

n
inx inx 1 e e sin nx ei x d lim lim n 2 n x ix
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1 1 e d 2
i x
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ei x d

f ( x) n ( x)dx f (0)
a ( x)
a a2 x2
t ( x )
1 2a t
e

x2 4 a 2t
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函数的拉普拉斯变换
需要将拉普拉斯变换定义中的积分范围修改，变为

F ( s)
0

f (t )e st dt L[ f (t )]


f ( x) ( x)dx f (0)

这个积分应理解为


f ( x) ( x)dx lim f ( x) ( x)dx
0

1 1 lim f ( x)dx lim f ( x)dx 0 0 2 2 1 要求:f 连续 由积分中值定理，得 lim f ( )2 f (0) 0 2 ( , )
f '( x)dx lim f ( x) f (0) f (0)
0 x
即在上述积分相等的意义下有 H . (称为广义导数)
( x) f ( x)dx


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类似地，在积分的意义下，可以证明 函数具有任意阶广义导 数。并且其广义导数具有与 函数类似的性质。 例如：对于一阶连续可导函数f(x)有
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函数的定义

定义： 满足以下两个条件的函数
称为 函数或单位脉冲函数 若冲激作用不是发生在 x 0 处，而是发生在 x x0 处， 则函数记为 ( x x0 ),且满足 , x x0 , ( x x0 ) ( x x0 )dx 1 0, x x0 ,
0, x y z 0 ( x, y, z ) 2 2 2 , x y z 0
2 2 2


( x, y, z )dxdydz 1

函数 ( x, y, z ) 也有类似于一维 如：对于任意连续函数
0
函数的性质。
f ( x, y, z )



( x)dx 1.
注： 函数不能看成一个普通的函数，但可用普通的函数来 逼近它。 0, x 则 lim ( x) ( x) ( x ) 取 1 , x 0 2
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注：上述定义的函数，并不是通常意义下的函数：它并没有 给出函数与自变量之间的对应关系，或者说它给出的对应关 系是 , x 0, ( x) 0, x 0, 这在通常意义下是没有意义的。 它所给出的“函数值”只是在积分运算中才有意义. 如
0 0 )dxdydz
f ( x, y, z) ( x x , y y , z z

f ( x0 , y 0 , z 0 )
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(2) 对称性： ( x) 为偶函数， 即
特别的， ( x) ( x)
( x x 0 ) ( x0 x)
于是自然有



f ( x) ( x0 x)dx f ( x0 )
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(3)
函数是Heaviside函数的(广义)导数, 即 H .
F[ ( x)] 1
同理可得
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利用
F[ ( x a)] eia
F[ ( x a)] eia
和傅里叶变换的线性性可得
ia ia 1 e e cos a F [ ( x a) ( x a)] 2 2 ia ia 1 e e F [ ( x a) ( x a)] sin a 2i 2i 1 从而有公式 F 1[cos a ] [ ( x a) ( x a)] 2 1 1 F [sin a ] [ ( x a) ( x a)] 2i
, x 0, (1) ( x) 0, x 0,
(2)


( x)dx 1
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例如：有一条无限长的细弦，它的质量( m 1 )全部都集中在点 x 0 处，那么这条弦的密度分布函数ρ(x) 描述为：
, x 0 ( x) , 0, x 0
1, x 0 H ( x) x0 0, 对于任意的满足：(a)任意阶导数均存在； (b)在某个有界区间外恒为零 的函数f(x).(称为检验函数) 有 H '( x) f ( x)dx H ( x) f ( x) H ( x) f '( x)dx
对于满足拉普拉斯变换存在定理条件的函数上述定义的拉普 拉斯变换和原先定义的是一致的.

这样， F ( s) L[ (t )] 注：
0

(t )e st dt e st

t 0
1
0

表示小于零并且趋于零。
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狄拉克函数的推广
问题：如何描述平面或三维空间中的质点的密度、点电荷 的电荷密度。 定义：三维狄拉克函数 ( x, y, z ) ( x) ( y) ( z)
解
由定义知
利用 函数的性质
F[ f ( x)]


f ( x )e

i x
dx ( x a)ei x dx



则有

f ( x) ( x x0 )dx f ( x0 )
a=0时有
F[ ( x a)] eia F[ ( x a)] eia


f ( x) '( x x0 )dx
分部积分
f ( x) ( x x0 )


f '( x) ( x x0 )dx f '( x0 )

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例1
求函数 ( x a) 的傅里叶变换，其中 a 是与 自变量 x 无关的数。