变化率与导数、导数的计算PPT教学课件

的导数. 解 方法一 （导数定义法）
y 1 x 1,
y 1 x 1 1 ,
x
x
1 x 1
lim
x0
1
1 x
1
1Байду номын сангаас2
,
y
x1
1. 2
方法二 （导函数的函数值法）
y x x x,
y x x x
1
,
x
x
x x x
lim
x0
1 x x
1. x 2x
y
x1
1. 2
题型二 导数的运算
2.函数y=f（x）在x=x0处的导数 （1）定义
称函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率
lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
=
y
lim
x0 x
为函数y=f（x）在
x=x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x=x0，
即f′(x0)=
lim
x0
y x
=
lim f (x0 x) f (x0 )
【例2】求下列函数的导数.
（1）y=2x3+x-6；
（2）y= x x5 sin x ； x2
（3）y=(x+1)(x+2)(x+3)；
（4）y=-sin x (1-2cos2 x ）；
2
4
（5）y 1 1 .
1 x 1 x
思维启迪 如式子能化简的，可先化简，再利用导
数公式和运算法则求导.
解 （1）y′=6x2+1.
.
x (x0 x)2 1 x02 1
探究提高 求函数 f（x）平均变化率的步骤： ①求函数值的增量Δf = f（x2）- f（x1）；
②计算平均变化率 f f (x2 ) f (x1).
x
x2 x1
解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简
单，只要注意运算过程就可以了.
知能迁移1 利用导数定义，求函数 y x 在x=1处
第三编 导数及其应用
§3.1 变化率与导数、导数的计算
基础知识 自主学习
要点梳理
1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 f (x2 ) f (x1) 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为 x2 x1 ，
若Δx=x2-x1,Δy=f（x2）-f（x1），则平均变化率 y
可表示为 x .
f(x)=ln x 5.导数运算法则
f′(x)= ex
f′(x)=x
1 ln
a
(a＞0,且a≠1)
f′(x)=
1 x
（1）［f（x）±g(x)］′=f′(x)±g′(x) ;
(2)［f(x)·g(x)］′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ;
(3) f (x) ′= g(x)
f (x)g(x) f (x)g(x)
D.不确定
解析 ∵y=sin x,∴y′=(sin x)′=cos x,
k1=cos
0=1，k2=cos
π 2
=0，∴k1＞k2.
3. 曲 线 y=x3-3x2+1 在 点 （ 1 ， -1 ） 处 的 切 线 方 程 为
（ B）
A.y=3x-4
B.y=-3x+2
C.y=-4x+3
D.y=4x-5
【例1】求函数y= x2 1 在x0到x0+Δx之间的平均变 化
思率维. 启迪
y f (x0 x) f (x0 )
x
x
紧扣定义
进行
计算. y 解 (x0
( x)2
x01xx02)2 1
1
(x0 x)2 1 x02 1
x02 1
2x0x (x)2
(x0 x)2 1 x02 1
y
2x0 x
4.基本初等函原数函的数导数公式 f（x）=c
导函数 f′(x)= 0
f(x)=xn (n∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax
f′(x)= nxn-1
f′(x)=cos x f′(x)=-sin x f′(x)=axln a(a＞0)
f(x)=ex f(x)=logax
解析 由y′=3x2-6x在点（1，-1）的值为-3，故切
线方程为y+1=-3(x-1)，即y=-3x+2.
4.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)＞-
f(x)恒成立，且常数a,b满足a＞b,则下列不等式
一定成立的是 ）
B（
A.af(b)＞bf(a)
B.af(a)＞bf(b)
C.af(a)＜bf(b)
A（
A.
）1,
1 2
C.［0，1］
BD..［12-,11，0］
解析 ∵y=x2+2x+3，∴y′=2x+2. ∵曲π4线在点P(x0,y0)处切线倾斜角的取值范围是 [0, ], ∴曲线在点P处的切线斜率0≤1 k≤1.
2 ∴0≤2x0+2≤1,∴-1≤x0≤ .
题型分类 深度剖析
题型一 利用导数的定义求函数的导数
B.Δx- 1 -2
x
x
C.Δx+2
D.2+Δx- 1
x
解析 ∵Δy=（1+Δx）2+1-12-1=(Δx)2+2Δx,
∴ y =Δx+2. x
2.设正弦函数y=sin x在x=0和xπ= 附近的平均变化 2
率为k1,k2,则k1,k2的大小关系为 A （ ）
A.k1＞k2
B.k1＜k2
C.k1=k2
x0
x
.
（2）几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在 曲线y=f（x）上(点x0,f(x0)) 处切的线的斜率 . 相应地，切线方程y-为y0=f′(x0)(x-x0) .
3.函数f(x)的导函数
f (x x) f (x)
称函数f′(x)=
lim
x0
x
为f（x）的导
函
数，导函数有时也记作y′.
g ( x)2
6.复合函数的导数
(g(x)≠0).
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)
的
x
y′u ·u′x
导数间的关y对系u为y ′ = u对x
，即y对x的
基础自测
1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点
（1+Δx，2+Δy），则 y 为
（ C）
x
A.Δx+ 1 +2
1
(2)
y
x2
x5 x2
sin
x
3
x2
x3
sin x x2
,
y
3
(x 2 )
( x3 )( x 2
sin
x)
3
5
x2
3x2
2x3 sin
x
x2
cos
x.
2
(3)方法一 y=(x2+3x+2)(x+3) =x3+6x2+11x+6， ∴y′=3x2+12x+11.
方法二 y′=［(x+1)(x+2)］′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′ =［(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′］(x+3)+(x+1)(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x2+12x+11.
D.af(b)＜bf(a)
解析 令g(x)=xf(x),∴g′(x)=xf′(x)+f(x)＞0.
∴g(x)在R上为增函数，∵a＞b,
∴g（a)＞g(b),即af(a)＞bf(b).
5.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P
处切线倾斜角的取值范围是[0π， ]，则点P横坐标
4
的取值范围为