理论力学_动力学课件

其中： Fi (i ) dt 0
dp Fi e dt
dp Fi dt d I
e
(e) i
dp Fi (e) dt
p p0 t 0
或： 微 分 形 式
p p0 I
( p x p0 x I x e ) ( p y p0 y I ye )
3. 质点系的动量矩定理
d M O (mi vi ) M O ( Fi ( e ) ) M O ( Fi (i ) ) dt
d M O (mi vi ) M O ( Fi ( e ) ) M O ( Fi (i ) ) dt
其中：
M O ( Fi ) 0
(i )
4. 动量矩定理
1) 质点的动量矩定理
d d M O (mv ) (r ´ mv ) dt dt dr d ´ mv r ´ (m v ) dt dt v ´ mv r ´ F M O (F )
d MO (mv) MO (F ) dt
★ 质点对某定点 的动量矩对时间的导数，等于 作用力对同一点的力矩。
W
12.2 刚体绕定轴的转动微分方程
例1 桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速运动， 速度为
v0 ，重物中心至悬挂点距离为L。突然刹车，重物因惯性
绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
解：①选重物(抽象为质点)为研究对象
②受力分析如图所示 ③运动分析，沿以O为圆心, L为半径的圆弧摆动。
例题1. 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度转动,
rC
z`
ri
x` x
O
z
ri
质点系对O点的动量矩
动坐标为平移坐标系
LO ri mi vi rC mi vi ri mi vi rC mi vi LC rC mvC LC 平面运动刚体 Lz M z (mvC ) JC
平面运动刚体对垂直于质量对称平面的某轴的动量矩， 等于刚体随同质心作平移时质心的动量对该轴的动量矩 与绕质心轴作转动时的动量矩之和。
= t
B
N
max = - Fcos
F = - 2 mr2
例：质量为 m 长为 l 的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度
为u , = 0。分析小球的运动。 解：1、取研究对象画受力图、 确定坐标系 2、建立微分方程 3、求解并分析小球运动

F n
ma F mg : ml mg sin : ml 2 F mg cos

0 Fb
dv m F dt 2 v m Fn

0 Fb
质点运动微分方程还可有极坐标形式, 柱坐标形式等等。 应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10-3
质点动力学两类问题
1.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 解题步骤和要点： ①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 ④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 ⑤求解未知量。
运动微分方程
s
u
分析小球的运动
mg
（微幅摆动）
l g sin 0
g l
2
sin
2 0
g 0 l
④列出自然形式的质点运动微方程
G dv Gsin 1 g dt G v2 ma n Fn , T Gcos 2 g l ma F ,
(e) i
dp x / dt F dp z / dt F
(e) x (e) y
dp y / dt F
(e) z
p z p0 z I z( e )
积 分 形 式
12 动量矩定理 12.1 质点和质点系的动量矩
1. 质点的动量矩
z
M O (mv ) r mv
J11 ( J 22 m2v2 R2 ) m3v3 R2 v3 v2 R22 1 R11 2
J1 J2 LO ( 2 2 m2 m3 ) R2v3 R2 R2
例2 求系统对O轴的动量矩。
。ห้องสมุดไป่ตู้
解: v =r
PA PB LO v r v r J O g g
平移刚体可视为质量集中于质心的 质点来计算对点（或轴）的动量矩。 2.定轴转动刚体
z

ri Mi
对转轴 的动量矩
Lz M z (mi vi ) mi ri 2 J z
mi vi
定轴转动刚体对转轴的动量矩等于 刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。
3.平面运动刚体 质点系对质心的动量矩
★ 第一定律（惯性定律） ★ 第二定律（力与加速度之间的关系的定律）
ma F
★ 第三定律（作用与反作用定律）
§10-2 质点运动微分方程的形式
将动力学基本方程 (ma F ) 表示为微分形式的方程，称为 质点的运动微分方程。 1.矢量形式 2.直角坐标形式
d2 x m d t 2 X 2 d y m 2 Y dt d2 y m 2 Z dt
1P 2 r 2 P 将J O r 代入, 得 LO ( PA PB ) 2g g 2
例题3. 重150N的均质圆盘B
与重60N,长24 cm的均质直 杆AB在 B处用铰链连接如图.
C

A
求系统对A点的动量矩。
B
圆盘B平动,杆AB作定轴转动.
B
150 60 WB 2 2 0.24 0.24vB J A lvB 9.8 3 9.8 g
OA = AB = r.滑块B的运动方程为x = 2rcos .如滑块B的质量为m, 摩擦及连杆AB的质量不计.求当 = t = 0 时连杆 AB所受的力.
A O

B
解:取滑块B为研究对象.
由于杆的质量不计，AB为二力杆。滑块受力 如图。
mg F

x = 2rcos ax = - 2r2cos
y
y` mivi C
LC ri mi vi ri mi vC ri mi vir (mi ri) vC ri mi vir (mrC ) vC ri mi vir ri mi vir LCr
对质心的动量矩用绝对速度 和用相对速度计算是相等的。
[LO ]z Lz
x
质点系中所有质点对于点O的 动量矩的矢量和，称为质点系 对点O的动量矩。
3. 定轴转动刚体对转轴的动量矩
z
Lz M z (mi vi ) mi vi ri mi ri mi ri
2 2
ri
vi
mi
令：
mi ri J z
2

动量矩
平动刚体对转动轴的动量矩
Lz M z (mvC )
定轴转动刚体对转轴的动量矩
Lz J z
刚体平面运动的动量矩
Lz M z (mvC ) JC
[例1] 滑轮A：m1，R1，J1 滑轮B：m2，R2，J2 ； R1=2R2 物体C：m3 求系统对O轴的动量矩。 解： O = LOA + LOB + LOC L
d2 r m 2 F dt
x x(t ) ( 式中 y y (t ) z z (t )
X=max Y=may
3.自然形式
d2 s m 2 F dt v2 m Fn
(式中s s(t )为质点的弧坐标形式的 运动方程。F ,Fn ,Fb 分别为力F 在 自然轴系 轴, n轴和b轴上的投影)
b. 变力
dI Fdt
I Fdt
t 0
冲量为矢量，其单位与动量单位相同为
N· s
§11-2 动量定理
1. 质点的动量定理
dp d(mv ) ma F dt dt
dp d(mv ) Fdt
质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。
mv mv0 Fdt I
t 0
在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质
点上的力在同一时间内的冲量。
2. 质点系的动量定理
d (mi vi ) ( Fi ( e ) Fi (i ) )dt Fi ( e ) dt Fi (i ) dt
d (mi vi ) Fi dt Fi dt
(e) (i )
理 论 力 学 （运动学） 教 材:《理论力学》 陈国平 罗高作 主编 武汉理工大学出版社 参考书: 《建筑力学》 钟光珞 张为民 编著 中国建材工业出版社 《建筑力学》 周国瑾等 编著 同济大学出版社 《理论力学》 范钦珊 主编 清华大学出版社
10 质点动力学
第10章
质点动力学的基本方程
§10-1 动力学的基本定律
F f FN
f min
a tan g cos
11 动量定理
1 动 量
§11-1 动量与冲量
质点的动量 —— 质点的质量与质点速度的乘积
p mv
质点的动量是矢量，而且是定位矢量，它的方向与质 点速度的方向一致。其单位为 kg· 或 N· m/s s 质点系的动量 ——质点系中各质点动量的矢量和，称为 质点系的动量，又称为质点系 动量的主矢。
y x
Jz——刚体对 z 轴的转动惯量
Lz J z
★ 绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转 轴的转动惯量与转动角速度的乘积。
三、刚体动量矩计算 1.平移刚体
LO MO (mi vi ) ri mi vC rC mvC ( ri mi vi mi ri vC mrC vC ) Lz M z (mvC )
p mi vi
i 1
n
根据质点系质心的位矢公式
mi ri mi ri rC m mi
z
m2
mn m1
C
mvC mi vi
mi
rC
o
p mi vi mvC
x
ri
y
O

vC
O
vC
C

C
2 冲 量
力在作用时间上的累积效应——力的冲量
a. 常力
I Ft
MO(mv) =mvh=2△OAB
B
Mo(mv)
mv
MO(mv)
O
h
定位矢量
r
A(x,y,z) y
x
[ M O (mv )]z M z (mv )
2. 质点系的动量矩
z
vi
LO M O (mi vi )
mi
m2
ri
ri mvi
m1
O y
Lz M z (mi vi )
Oy
求：重物下落的加速度 解：取系统为研究对象

O FOx
W J O LO vR g JO W LO ( R )v R g
v R
应用动量矩定理
mg
Mo
(e)
WR
d LO Mo ( e ) dt
WR 2 a W 2 (JO R ) g
P
v
JO W dv WR ( R) R g dt
d LO M O ( Fi e ) dt
d L z M z ( F i (e) ) dt
★ 质点系对某定点 的动量矩对时间的导数，等于作用于 质点系的外力 对同一点的矩的矢量和。
例题 1
均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转 动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动， 已知重物重量为W。 F
例题2
已知：P， 。求 fmin。
a
解: （1） 取物块为研究对象， 画受力图 （2） 研究对象运动分析 （3） 列方程求解求知量
P Fx F P sin a g Fy FN P cos 0

y
x
a
F
P FN
a F P(sin ), FN P cos g
⑤求解未知量
v2 由 2 式得 T G (cos ) , gl
, 其中 ,v为变量. 由1式知 重物作减速运动 因此 0时 , T Tmax
2 v0 Tmax G (1 ) gl
[注]①减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。 ②拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量,称为静拉力 一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。