自主招生数学试题及答案

2017年自主招生数学试题

(分值: 100分 时间:90分钟)

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）

1、若对于任意实数a ，关于x 的方程0222

=+--b a ax x 都有实数根，则实数b 的取值范围是（ ）

A b ≤0

B b ≤21-

C b ≤8

1

- D b ≤-1 2、如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，已知S △BDE ∶S △CDE =1∶3，则S △DOE ∶S △AOC 的值为（ ）

A ．1∶3

B ．1∶4

C ．1∶9

D ．1∶16 3、某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高(如图所示)。已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为300，在C 处测得电线杆顶端A 得仰角为450，斜坡与地面成600角，CD=4m ，则电线杆的高(AB)是（ ）

A ．)344(+m

B ．)434(-m

C ．)326(+m

D ．12m 4、如图，矩形ABCD 中，AB=8，AD=3．点

E 从D 向C 以每秒1个单位的速度运动，以AE 为一边在AE 的右下方作正方形AEFG ．同时垂直于CD 的直线MN 也从C 向D 以每秒2个单位的速度运动，当经过（ ）秒时，直线MN 和正方形AEFG 开始有公共点。 A ．53 B ．

12 C ．43 D ．23

(第2题图) (第3题图) (第4题图)

5、如图，在反比例函数x

y 2

-

=的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC=BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数x

k

y =的图

象上运动，若tan ∠CAB=2，则k 的值为( )

A.2

B.4

C.6

D.8

6、如图，O 是等边三角形ABC 内一点，且OA=3，OB=4，OC=5．将线段OB 绕点B 逆时针旋转600得到线段O′B ，则下列结论：①△AO′B 可以由△COB 绕点B 逆时针旋转600得

到；②∠AOB=1500；③633AOBO'S =+四边形93

64

AOB AOC S S +=+

△△。其中正确的是（ ）

A.②③④

B.①②④

C.①④

D.①②③

O'

O

C B A

(第5题图) (第6题图)

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 7、已知方程组24221

x y k

x y k +=⎧⎨+=+⎩，且1x y -<-<0，则k 的取值范围是 。

8、一次函数b x y -=

34与13

4

-=x y 的图象之间的距离等于3，则b 的值是 。 9、如图，△ABC 中，∠ACB=900，BC=6cm ，AC=8cm ，动点P 从A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 移动到B ，则点P 出发 s 时，△BCP 为等腰三角形。

10、已知关于x 的方程32

2=-+x m

x 的解为正数，则m 的取值范围 。

11、如图，AC ⊥BC 于点C ，BC=4，AB=5，⊙O 与直线AB 、 BC 、CA 都相切，则⊙O 的半径等于 。

12、如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点B 顺时针旋转到△A 1BO 1的位置，使点A

的对应点A 1落在直线x y 3

3

=

上，再将△A 1BO 1绕点A 1顺时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线x y 3

3

=上，依次进行下去…，若点A 的坐标是(0,1)，点B

的坐标是(3,1)，则点A 8的横坐标是 。

O

B

A

C

(第9题图) (第11题图) (第12题图)

三、解答题（本大题共3小题，满分40分）

13、(本题共12分) 如图，在△ABC 中，∠C=900，以AB 上一点O 为圆心，OA 长为半径的圆与BC 相切于点D ，分别交AC 、AB 于点E 、F 。 (1)若AC=6，AB=10，求⊙O 的半径；

(2)连接OE 、ED 、DF 、EF ，若四边形BDEF 是平行四边形，试判断四边形OFDE 的形状，并说明理由。

A

E

C D

F B

O

14、(本题共14分) (1)已知：△ABC 是等腰三角形，其底边是BC ，点D 在线段AB 上，E 是直线BC 上一点，且∠DEC=∠DCE ，若∠A=600(如图①)，求证：EB=AD ； (2)若将(1)中的“点D 在线段AB 上”改为“点D 在线段AB 的延长线上”，其它条件不变(如图②)，(1)的结论是否成立，并说明理由；

(3)若将(1)中的“若∠A=600”改为“若∠A=900”，其它条件不变，则AD

EB

的值是多少(直接写

出结论，不要求写解答过程)

15、(本题共14分)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2-x+3(a≠0)交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且对称轴为直线x=-2。

(1)求该抛物线的解析式及顶点D 的坐标；

(2)若点P(0,t)是y 轴上的一个动点，请进行如下探究： 探究一：如图1，设△PAD 的面积为S ，令W=tS ，当0＜t ＜4时，W 是否有最大值如果有，求出W 的最大值和此时t 的值；如果没有，说明理由；

探究二：如图2，是否存在以P 、A 、D 为顶点的三角形与Rt △AOC 相似如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请说明理由。