广西桂林市第十八中学2020-2021学年高一上学期开学考试数学试题 答案和解析
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广西桂林市第十八中学【最新】高一上学期开学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设全集 则 =
A． B． C． D．
2．设集合 ，则下列关系中正确的是
A． B． C． D．
3．下列图形能表示函数 的图象的是
13．
【解析】
解 得 .又 ，所以 或1.
用列举法表示为：
14．19
【解析】
方程 的两根为 .
由韦达定理可得： .
.
15．-3
【解析】
若
则 或 ，解得 或 .
当 时， , ，
有 不满足题意；
当 时， , 不满足集合的互异性；
当 时， , 满足题意.
故 .
16．
【解析】
已知函数 的定义域为 ，所以 ，有 .
9．D
【解析】
令 ,则
由 .可得：
所以 ，故选D.
10．D
【解析】
令 ，则 ，所以 ，解得 或
的对称轴为 ，所以 在 .
又 ，所以 的单调递减区间为 .
故选D.
点睛：形如 的函数为 , 的复合函数， 为内层函数, 为外层函数.
当内层函数 单增，外层函数 单增时，函数 也单增；
当内层函数 单增，外层函数 单减时，函数 也单减；
当内层函数 单减，外层函数 单增时，函数 也单减；
当内层函数 单减，外层函数 单减时，函数 也单增.
简称为“同增异减”，同时要注意定义域的限制.
11．D
【解析】
函数 ， .
.
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 .
故选D.
12．B
【解析】
根据题意,M的长度为 ,N的长度为 ，
当集合M∩N的长度的最小值时，
则 中பைடு நூலகம் ，解得 .
所以 的定义域为 .
点睛：求解定义域问题即为求解函数中自变量 的取值集合，对于复合函数依然如此，对于函数 和 而言，求解定义域依旧是各自函数中 的取值集合，特别注意两函数中 和 的范围一样，即可以根据一个函数的定义域求解括号中整体的范围，再去求解另一个函数的定义域即可.
17．（1） ；（2） .
（1）写出税收 （万元）与 的函数关系式；
（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的 ，试确定 的取值范围
参考答案
1．D
【解析】
全集 集合 ，所以
故选D.
2．B
【解析】
集合 .D不正确
,所以A,C不正确 ，所以B正确.
故选B.
3．D
【解析】
由函数的定义可知，定义域中的每个自变量只能有唯一确定的 与之对应，A，B，C不满足.
【详解】
由于函数y=ax与y=- 在区间(0，+∞)上都单调递减，
所以a<0，-b>0，即a<0，b<0.
因为抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=- <0，且抛物线开口向下，
所以y=ax2+bx在区间(0，+∞)上单调递减.
故选：B
【点睛】
本题考查了由幂函数的单调性求参数的取值范围、二次函数的图像与性质，属于基础题.
A． B． C． D．
4．若 ，则
A． B． 或 C． D．
5．已知函数 若
A．1B．2C．3D．4
6．已知 ,若集合P中恰有4个元素,则
A． B． C． D．
7．函数y＝ 的图象是()
A． B． C． D．
8．若函数y=ax与y=- 在区间(0，+∞)上都单调递减，则函数y=ax2+bx在区间(0，+∞)上（）
二、填空题
13．集合 ，用列举法表示为___________.
14．若方程 的两根为 ，则 =____________．
15．若 ，则 ___________.
16．已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为___________.
三、解答题
17．已知集合 ，集合
（1）求
（2）求
18．已知函数
（1）
（2）求 的值.
【解析】
试题分析：（1）根据集合交集的定义，求出两个集合的公共元素即可；
（2）根据集合并集的定义，由两集合的所以元素组成即可
试题解析：
（1）由已知得：
（2）
18．（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：（1）将 中的 换成 ，即可求得 ，再进行运算即可；
M与N应分别在区间[0,1]的左右两端，
故M∩N的长度的最小值是 + −1= ，
故选B.
点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增
9． ，则 的解析式为
A． B． C． D．
10．函数 的单调递减区间为
A． B． C． D．
11．已知函数 若 ，则实数 的取值为
A．-1B．1C．-1或2D． 或1
12．设 , 都是 的子集,如果 叫做集合 的长度,则集合M∩N的长度的最小值为
A． B． C． D．
5．C
【解析】
. .
故选C.
6．B
【解析】
已知 ,若集合P中恰有4个元素,则 .
所以有 .
故选B.
7．B
【解析】
方法一：代入选项验证即可．x=2,y=0,所以舍去A,C,D.
方法二：y＝ ＝－ ＋1，利用函数图象的变换可知选B．
8．B
【分析】
首先利用幂函数的单调性可得a<0，b<0，再利用二次函数的性质即可求解.
19．已知集合 ．
（１）若 ，求实数 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
20．已知集合
（1）若 ；求
（2）若 ，求实数a的取值范围
21．已知函数 ．
（1）判断函数 在 上的单调性并加以证明；
（2）对任意的 ，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
22．某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低 （ ）个百分点，预测收购量可增加 个百分点.
故选D.
4．C
【详解】
由 ，解得
所以 .
故选C.
【点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设全集 则 =
A． B． C． D．
2．设集合 ，则下列关系中正确的是
A． B． C． D．
3．下列图形能表示函数 的图象的是
13．
【解析】
解 得 .又 ，所以 或1.
用列举法表示为：
14．19
【解析】
方程 的两根为 .
由韦达定理可得： .
.
15．-3
【解析】
若
则 或 ，解得 或 .
当 时， , ，
有 不满足题意；
当 时， , 不满足集合的互异性；
当 时， , 满足题意.
故 .
16．
【解析】
已知函数 的定义域为 ，所以 ，有 .
9．D
【解析】
令 ,则
由 .可得：
所以 ，故选D.
10．D
【解析】
令 ，则 ，所以 ，解得 或
的对称轴为 ，所以 在 .
又 ，所以 的单调递减区间为 .
故选D.
点睛：形如 的函数为 , 的复合函数， 为内层函数, 为外层函数.
当内层函数 单增，外层函数 单增时，函数 也单增；
当内层函数 单增，外层函数 单减时，函数 也单减；
当内层函数 单减，外层函数 单增时，函数 也单减；
当内层函数 单减，外层函数 单减时，函数 也单增.
简称为“同增异减”，同时要注意定义域的限制.
11．D
【解析】
函数 ， .
.
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 .
故选D.
12．B
【解析】
根据题意,M的长度为 ,N的长度为 ，
当集合M∩N的长度的最小值时，
则 中பைடு நூலகம் ，解得 .
所以 的定义域为 .
点睛：求解定义域问题即为求解函数中自变量 的取值集合，对于复合函数依然如此，对于函数 和 而言，求解定义域依旧是各自函数中 的取值集合，特别注意两函数中 和 的范围一样，即可以根据一个函数的定义域求解括号中整体的范围，再去求解另一个函数的定义域即可.
17．（1） ；（2） .
（1）写出税收 （万元）与 的函数关系式；
（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的 ，试确定 的取值范围
参考答案
1．D
【解析】
全集 集合 ，所以
故选D.
2．B
【解析】
集合 .D不正确
,所以A,C不正确 ，所以B正确.
故选B.
3．D
【解析】
由函数的定义可知，定义域中的每个自变量只能有唯一确定的 与之对应，A，B，C不满足.
【详解】
由于函数y=ax与y=- 在区间(0，+∞)上都单调递减，
所以a<0，-b>0，即a<0，b<0.
因为抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=- <0，且抛物线开口向下，
所以y=ax2+bx在区间(0，+∞)上单调递减.
故选：B
【点睛】
本题考查了由幂函数的单调性求参数的取值范围、二次函数的图像与性质，属于基础题.
A． B． C． D．
4．若 ，则
A． B． 或 C． D．
5．已知函数 若
A．1B．2C．3D．4
6．已知 ,若集合P中恰有4个元素,则
A． B． C． D．
7．函数y＝ 的图象是()
A． B． C． D．
8．若函数y=ax与y=- 在区间(0，+∞)上都单调递减，则函数y=ax2+bx在区间(0，+∞)上（）
二、填空题
13．集合 ，用列举法表示为___________.
14．若方程 的两根为 ，则 =____________．
15．若 ，则 ___________.
16．已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为___________.
三、解答题
17．已知集合 ，集合
（1）求
（2）求
18．已知函数
（1）
（2）求 的值.
【解析】
试题分析：（1）根据集合交集的定义，求出两个集合的公共元素即可；
（2）根据集合并集的定义，由两集合的所以元素组成即可
试题解析：
（1）由已知得：
（2）
18．（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：（1）将 中的 换成 ，即可求得 ，再进行运算即可；
M与N应分别在区间[0,1]的左右两端，
故M∩N的长度的最小值是 + −1= ，
故选B.
点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增
9． ，则 的解析式为
A． B． C． D．
10．函数 的单调递减区间为
A． B． C． D．
11．已知函数 若 ，则实数 的取值为
A．-1B．1C．-1或2D． 或1
12．设 , 都是 的子集,如果 叫做集合 的长度,则集合M∩N的长度的最小值为
A． B． C． D．
5．C
【解析】
. .
故选C.
6．B
【解析】
已知 ,若集合P中恰有4个元素,则 .
所以有 .
故选B.
7．B
【解析】
方法一：代入选项验证即可．x=2,y=0,所以舍去A,C,D.
方法二：y＝ ＝－ ＋1，利用函数图象的变换可知选B．
8．B
【分析】
首先利用幂函数的单调性可得a<0，b<0，再利用二次函数的性质即可求解.
19．已知集合 ．
（１）若 ，求实数 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
20．已知集合
（1）若 ；求
（2）若 ，求实数a的取值范围
21．已知函数 ．
（1）判断函数 在 上的单调性并加以证明；
（2）对任意的 ，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
22．某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低 （ ）个百分点，预测收购量可增加 个百分点.
故选D.
4．C
【详解】
由 ，解得
所以 .
故选C.
【点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．