概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第七章习题参考答案

第七章 假设检验
习题7.1
1． 设X 1 , …, X n 是来自N (µ , 1) 的样本，考虑如下假设检验问题
H 0：µ = 2 vs H 1：µ = 3，
若检验由拒绝域为}6.2{≥=x W 确定． （1）当n = 20时求检验犯两类错误的概率；
（2）如果要使得检验犯第二类错误的概率β ≤ 0.01，n 最小应取多少？ （3）证明：当n → ∞ 时，α → 0，β → 0． 解：（1）犯第一类错误的概率为
0037.0)68.2(168.220126.21}2|6.2{}|{0=Φ−=⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧=−≥−==≥=∈=n X P X P H W X P µµα，
犯第二类错误的概率为
0367.0)79.1(79.120136.21}3|6.2{}|{1=−Φ=⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧−=−<−==<=∉=n X P X P H W X P µµβ；
（2）因01.0)4.0(4.0136.21}3|6.2{≤−Φ=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧−=−<−==<=n n n n X P X P µµβ，
则99.0)4.0(≥Φn ，33.24.0≥n ，n ≥ 33.93，故n 至少为34；
（3）)(0)6.0(16.0126.21}2|6.2{∞→→Φ−=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=−≥−==≥=n n n n n X P X P µµα，
)(0)4.0(4.0136.21}3|6.2{∞→→−Φ=⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧−=−<−==<=n n n n n X P X P µµβ． 2． 设X 1 , …, X 10是来自0-1总体b (1, p ) 的样本，考虑如下检验问题
H 0：p = 0.2 vs H 1：p = 0.4，
取拒绝域为}5.0{≥=x W ，求该检验犯两类错误的概率． 解：因X ~ b
(1, p )，有),10(~1010
1
p b X X i i =∑=，
则0328.08.02.0}2.0|510{}2.0|5.0{}|{10
5
10100=⋅⋅==≥==≥=∈=∑=−k k k k
C p X P p X P H W X P α，
6331.06.04.0}4.0|510{}4.0|5.0{}|{4
10101=⋅⋅==<==<=∉=∑=−k k k k
C p X P p X P H W X P β．
3． 设X 1 , …, X 16是来自正态总体N (µ , 4) 的样本，考虑检验问题
H 0：µ = 6 vs H 1：µ ≠ 6，
拒绝域取为}|6{|c x W ≥−=，试求c 使得检验的显著性水平为0.05，并求该检验在µ = 6.5处犯第二
类错误的概率．
解：因05.0)]2(1[22162162}6||6{|}|{0=Φ−=⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=≥−==≥−=∈=c c c X P c X P H W X P µµα，
则Φ (2c ) = 0.975，2c = 1.96，故c = 0.98；
故}5.6|48.05.648.1{}5.6|98.0|6{|}|{1=<−<−==<−=∉=µµβX P X P H W X P
83.0)96.2()96.0(96.01625
.696.2=−Φ−Φ=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<−<−=X P ．
4． 设总体为均匀分布U (0, θ )，X 1 , …, X n 是样本，考虑检验问题
H 0：θ ≥ 3 vs H 1：θ < 3，
拒绝域取为}5.2{)(≤=n x W ，求检验犯第一类错误的最大值α ，若要使得该最大值α 不超过0.05，n 至少应取多大？
解：因均匀分布最大顺序统计量X (n ) 的密度函数为θθ<<−Ι=
x n
n n nx x p 01
)(，
则n
n n n n
n n n x dx nx X P H W X P ⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛=====≤=∈=∫
−6535.23
3}3|5.2{}|{5
.20
5
.20
1)(0θα， 要使得α ≤ 0.05，即05.065≤⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛n
，43.16)6/5ln(05.0ln =≥n ，
故n 至少为17．
5． 在假设检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯哪一类错误？若检验结果是拒绝原假设，
则又有可能犯哪一类错误？
答：若检验结果是接受原假设，当原假设为真时，是正确的决策，未犯错误；
当原假设不真时，则犯了第二类错误．
若检验结果是拒绝原假设，当原假设为真时，则犯了第一类错误；
当原假设不真时，是正确的决策，未犯错误．
6． 设X 1 , …, X 20是来自0-1总体b (1, p ) 的样本，考虑如下检验问题
H 0：p = 0.2 vs H 1：p ≠ 0.2，
取拒绝域为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤≥=∑∑==1720
1201i i i i x x W 或，
（1）求p = 0, 0.1, 0.2, …, 0.9, 1的势并由此画出势函数的图；
（2）求在p = 0.05时犯第二类错误的概率．
解：（1）因X ~ b
(1, p )，有),20(~201p b X i i ∑=，势函数∑∑=−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈=622020
1
)1(201)(k k
k i i p p k p W
X P p g ， 故110201)0(6
220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k k g ，3941.09.01.0201)1.0(6
220=××⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k
k k g ， 1559.08.02.0201)2.0(6
220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k k g ，3996.07
.03.0201)3.0(6
220=××⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k
k g ，
7505.06.04.0201)4.0(6
220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k
k g ，9424.05.05.0201)5.0(6
220=××⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k k g ， 9935.04.06.0201)6.0(6
220=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k k g ，9997.03.07.0201)7.0(6
220=××⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k
k g ， 999998.02.08.0201)8.0(6
220=××⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k
k g
11.09.0201)9.0(6
220≈××⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k k
k g ， 10
1201)1(6
220=××⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−=∑=−k k
k k g ； （2）在p = 0.05时犯第二类错误的概率
2641.095.005.02005.0|6220201=××⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∉=∑∑=−=k k
k i i k p W X P β． 7． 设一个单一观测的样本取自密度函数为p (x )的总体，对p (x )考虑统计假设： H 0：p 0(x ) = I 0 < x < 1 vs H 1：p 1(x ) = 2x I 0 < x < 1．
若其拒绝域的形式为W = {x : x ≥ c }，试确定一个c ，使得犯第一类，第二类错误的概率满足α + 2β 为最小，并求其最小值．
解：当0 < c < 1时，α = P {X ∈ W | H 0} = P {X ≥ c | X ~ p 0(x )} = 1 − c ，
且20112)}(~|{}H |{c xdx x p X c X P W X P c
==<=∉=∫β，
则2
22
4128721161287212⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=+−=+c c c c c βα，
故当41=
c 时，α + 2β 为最小，其最小值为8
7
． 8． 设X 1, X 2, …, X 30为取自柏松分布P (λ)的随机样本．
（1）试给出单侧假设检验问题H 0：λ ≤ 0.1 vs H 1：λ > 0.1的显著水平α = 0.05的检验； （2）求此检验的势函数β (λ)在λ = 0.05, 0.2, 0.3, …, 0.9时的值，并据此画出β (λ)的图像．
解：（1）因)30(~3021λP X X X X n +++=L ，
假设H 0：λ ≤ 0.1 vs H 1：λ > 0.1， 统计量)30(~λP X n ，
当H 0成立时，设)3(~P X n ，其p 分位数)3(p P 满足
∑
∑
=−−=−≤<)
3(0
3
1
)3(0
3
e !
3e !
3p p P k k P k k k p k 显著水平α = 0.05，可得P 1−α (3) = P 0.95 (3) = 6，右侧拒绝域}7{≥=x n W ；
（2）因∑=−−=≥=∈=6
30e
!)30(1}|7{}|{)(k k k X n P W X n P λ
λλλλβ， g
故0001.0e !5.11)05.0(6
05.1=−=∑=−k k k β，3937.0e !
61)2.0(6
06
=−=∑=−k k k β，
7932.0e !91)3.0(6
09=−=∑=−k k k β，9542.0e !121)4.0(60
12
=−=∑=−k k k β，
9924.0e !151)5.0(6
015=−=∑=−k k k β，9990.0e !181)6.0(60
18
=−=∑=−k k k β，
9999.0e !211)7.0(60
21
=−=∑
=−k k
k β， 1e !241)8.0(6
024
≈−=∑=−k k k β，
1e !
271)9.0(6
027
≈−=∑=−k k k β．
习题7.2
说明：本节习题均采用拒绝域的形式完成，在可以计算检验的p 值时要求计算出p 值． 1． 有一批枪弹，出厂时，其初速率v ~ N (950, 1000)（单位：m /s ）．经过较长时间储存，取9发进行测
试，得样本值（单位：m /s ）如下：
914 920 910 934 953 945 912 924 940．
据经验，枪弹经储存后其初速率仍服从正态分布，且标准差保持不变，问是否可认为这批枪弹的初速率有显著降低（α = 0.05）？
解：设枪弹经储存后其初速率X ~ N (µ , 1000)，假设H 0：µ = 950 vs H 1：µ < 950，
已知σ 2，选取统计量)1,0(~N n
X U σµ
−=
， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W = {u ≤ −1.645}， 因928=x ，µ = 950，σ = 10，n = 9， 则W u ∈−=−=
6.69
10950
928，并且检验的p 值p = P {U ≤ −6.6} = 2.0558 × 10−11 < α = 0.05，
故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为这批枪弹的初速率有显著降低． 2． 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N (4.55, 0.1082 )．现在测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484，
如果铁水含碳量的方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55（α = 0.05）？ 解：设现在生产的铁水含碳量X ~ N (µ , 0.1082 )，假设H 0：µ = 4.55 vs H 1：µ ≠ 4.55，
已知σ 2，选取统计量)1,0(~N n
X U σµ
−=
， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α /2 = u 0.975 = 1.96，双侧拒绝域W = {| u | ≥ 1.96}， 因484.4=x ，µ = 4.55，σ = 0.108，n = 9， 则W u ∉−=−=
8333.19
108.055
.4484.4，并且检验的p 值p = 2P {U ≤ −1.8333} = 0.0668 > α = 0.05，
β (
故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55． 3． 由经验知某零件质量X ~ N (15, 0.05 2 ) （单位：g ），技术革新后，抽出6个零件，测得质量为
14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6．
已知方差不变，问平均质量是否仍为15 g （取α = 0.05）？
解：设技术革新后零件质量X ~ N (µ , 0.05 2 )，假设H 0：µ = 15 vs H 1：µ ≠ 15，
已知σ 2，选取统计量)1,0(~N n
X U σµ
−=
， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α /2 = u 0.975 = 1.96，双侧拒绝域W = {| u | ≥ 1.96}， 因9.14=x ，µ = 15，σ = 0.05，n = 6， 则W u ∈−=−=
8990.46
05.015
9.14，并且检验的p 值p = 2P {U ≤ −4.8990} = 9.6326 × 10−7 < α = 0.05，
故拒绝H 0，接受H 1，即不能认为平均质量仍为15 g ． 4． 化肥厂用自动包装机包装化肥，每包的质量服从正态分布，其平均质量为100 kg ，标准差为1.2 kg ．某
日开工后，为了确定这天包装机工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得质量如下：
99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 102.1 100.5．
设方差稳定不变，问这一天包装机的工作是否正常（取α = 0.05）？ 解：设这天包装机包装的化肥每包的质量X ~ N (µ , 1.22 )，假设H 0：µ = 100 vs H 1：µ ≠ 100，
已知σ 2，选取统计量)1,0(~N n
X U σµ
−=
， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α /2 = u 0.975 = 1.96，双侧拒绝域W = {| u | ≥ 1.96}， 因9778.99=x ，µ = 100，σ = 1.2，n = 9， 则W u ∉−=−=
0556.09
2.1100
9778.99，并且检验的p 值p = 2P {U ≤ −0.0556} = 0.9557 > α = 0.05，
故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为这一天包装机的工作正常． 5． 设需要对某正态总体的均值进行假设检验
H 0：µ = 15， H 1：µ < 15．
已知σ 2 = 2.5，取α = 0.05，若要求当H 1中的µ ≤ 13时犯第二类错误的概率不超过0.05，求所需的样本容量．
解：设该总体X ~ N (µ , 2.5 )，假设H 0：µ = 15 vs H 1：µ < 15，
已知σ 2，选取统计量)1,0(~N n
X U σµ
−=
， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W = {u ≤ −1.645}， 因µ = 15，σ 2 = 2.5，有n
x u 5.215
−=
，
当µ ≤ 13时犯第二类错误的概率为
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤−+−>−=⎭⎬⎫⎩⎨
⎧≤−>−=13|5.21565.15.213|65.15.215µµ
µµβn n X P n X P 05.0)2649.165.1(15.2131565.15.2≤+−Φ−=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−+−>−≤n n n
X P µ，
则95.0)2649.165.1(≥+−Φn ，即65.12649.165.1≥+−n ，6089.2≥n ，n ≥ 6.8064， 故样本容量n 至少为7．
6． 从一批钢管抽取10根，测得其内径（单位：mm ）为：
100.36 100.31 99.99 100.11 100.64 100.85 99.42 99.91 99.35 100.10．
设这批钢管内直径服从正态分布N (µ , σ 2)，试分别在下列条件下检验假设（α = 0.05）．
H 0：µ = 100 vs H 1：µ > 100．
（1）已知σ = 0.5； （2）σ 未知．
解：设这批钢管内直径X ~ N (µ , σ 2)，假设H 0：µ = 100 vs H 1：µ > 100，
（1）已知σ 2，选取统计量)1,0(~N n
X U σµ
−=
， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，右侧拒绝域W = {u ≥ 1.645}， 因104.100=x ，µ = 100，σ = 0.5，n = 10， 则W u ∉=−=
6578.010
5.0100
104.100，并且检验的p 值p = P {U ≥ 0.6578} = 0.2553 > α = 0.05，
故接受H 0，拒绝H 1，即不能认为µ > 100． （2）未知σ 2，选取统计量)1(~−−=
n t n
S X T µ
， 显著性水平α = 0.05，t 1 − α (n − 1) = t 0.95 (9) = 1.8331，右侧拒绝域W = {t ≥ 1.8331}， 因104.100=x ，µ = 100，s = 0.4760，n = 10， 则W t ∉=−=
6910.010
4760.0100
104.100，并且检验的p 值p = P {T ≥ 0.6910} = 0.2535 > α = 0.05，
故接受H 0，拒绝H 1，即不能认为µ > 100．
7． 假定考生成绩服从正态分布，在某地一次数学统考中，随机抽取了36位考生的成绩，算得平均成绩
为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？
解：设这次考试考生的成绩X ~ N (µ , σ 2 )，假设H 0：µ = 70 vs H 1：µ ≠ 70，
未知σ 2，选取统计量)1(~−−=
n t n
S X T µ
， 显著性水平α = 0.05，t 1 − α /2 (n − 1) = t 0.975 (35) = 2.0301，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.0301}， 因5.66=x ，µ = 70，s = 15，n = 36， 则W t ∉−=−=
4.136
1570
5.66，并且检验的p 值p = 2P {T ≤ −1.4} = 0.1703 > α = 0.05，
故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分． 8． 一个小学校长在报纸上看到这样的报道：“这一城市的初中学生平均每周看8 h 电视．”她认为她所在
学校的学生看电视的时间明显小于该数字．为此她在该校随机调查了100个学生，得知平均每周看电视的时间5.6=x h ，样本标准差为s = 2 h ．问是否可以认为这位校长的看法是对的（取α = 0.05）？ 解：设学生看电视的时间X ~ N (µ , σ 2 )，假设H 0：µ = 8 vs H 1：µ < 8，
未知σ 2，选取统计量)1(~−−=
n t n
S X T µ
，n = 100，大样本，有)1,0(~N n S X T &µ−=，
显著性水平α = 0.05，t 1 − α (n − 1) = t 0.95 (99) ≈ u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W ≈ {t ≤ −1.645}，
因5.6=x ，µ = 8，s = 2，n = 100， 则W t ∈−=−=
5.7100
28
5.6，并且检验的p 值p = P {T ≤ −7.5} = 3.1909 × 10−14 < α = 0.05，
故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为这位校长的看法是对的．
9． 设在木材中抽出100根，测其小头直径，得到样本平均数2.11=x cm ，样本标准差为s = 2.6 cm ，问该
批木材小头的平均直径能否认为不低于12 cm （取α = 0.05）？ 解：设该批木材小头的直径X ~ N (µ , σ 2 )，假设H 0：µ = 12 vs H 1：µ < 12，
未知σ 2，选取统计量)1(~−−=
n t n S X T µ，n = 100，大样本，有)1,0(~N n
S X T &µ
−=， 显著性水平α = 0.05，t 1 − α (n − 1) = t 0.95 (99) ≈ u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W ≈ {t ≤ −1.645}，
因2.11=x ，µ = 12，s = 2.6，n = 100， 则W t ∈−=−=
0769.3100
6.212
2.11，并且检验的p 值p = P {T ≤ −
3.0769} = 0.0010 < α = 0.05，
故拒绝H 0，接受H 1，即不能认为这批木材小头的平均直径不低于12 cm ．
10．考察一鱼塘中鱼的含汞量，随机地取10条鱼测得各条鱼的含汞量（单位：mg ）为：
0.8 1.6 0.9 0.8 1.2 0.4 0.7 1.0 1.2 1.1．
设鱼的含汞量服从正态分布N (µ , σ 2)，试检验假设H 0：µ = 1.2 vs H 1：µ > 1.2（取α = 0.10）． 解：设鱼的含汞量X ~ N (µ , σ 2 )，假设H 0：µ = 1.2 vs H 1：µ > 1.2，
未知σ 2，选取统计量)1(~−−=
n t n
S
X T µ，
显著性水平α = 0.1，t 1 − α (n − 1) = t 0.9 (9) = 1.3830，右侧拒绝域W = {t ≥ 1.3830}， 因97.0=x ，µ = 1.2，s = 0.3302，n = 10， 则W t ∉−=−=
2030.210
3302
.02.197.0，并且检验的p 值p = P {T ≥ −2.2030} = 0.9725 > α = 0.10，
故接受H 0，拒绝H 1，即不能认为µ > 1.2 ． 11．如果一个矩形的宽度w 与长度l 的比
618.0)15(2
1
≈−=l w ，这样的矩形称为黄金矩形．下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形宽度与长度的比值．
0.693 0.749 0.654 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.628 0.668 0.611 0.606 0.609 0.553 0.570 0.844 0.576 0.933 0.630．
设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布，其均值为µ ，试检验假设（取α = 0.05）
H 0：µ = 0.618 vs H 1：µ ≠ 0.618．
解：设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值X ~ N (µ , σ 2 )，假设H 0：µ = 0.618 vs H 1：µ ≠ 0.618，
未知σ 2，选取统计量)1(~−−=
n t n
S X T µ
， 显著性水平α = 0.05，t 1 − α /2 (n − 1) = t 0.975 (19) = 2.0930，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.0930}，
因6620.0=x ，µ = 0.618，s = 0.0918，n = 20， 则W t ∈=−=
1422.220
0918.0618
.06620.0，并且检验的p 值p = 2P {T ≥ 2.1422} = 0.0453 < α = 0.05，
故拒绝H 0，接受H 1，即不能认为µ = 0.618．
12．下面给出两种型号的计算器充电以后所能使用的时间（h ）的观测值
型号A 5.5 5.6 6.3 4.6 5.3 5.0 6.2 5.8 5.1 5.2 5.9；
型号B 3.8 4.3 4.2 4.0 4.9 4.5 5.2 4.8 4.5 3.9 3.7 4.6．
设两样本独立且数据所属的两总体的密度函数至多差一个平移量．试问能否认为型号A 的计算器平均使用时间明显比型号B 来得长（取α = 0.01）？
解：设两种型号的计算器充电以后所能使用的时间分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，且2
221σσ=，
假设H 0：µ 1 = µ 2 vs H 1：µ 1 > µ 2，
未知22
21,σσ，但2
221σσ=，选取统计量)2(~11212
1−++
−=n n t n n S Y
X T w ，
显著性水平α = 0.01，t 1 − α (n 1 + n 2 − 2) = t 0.99 (21) = 2.5176，右侧拒绝域W = {t ≥ 2.5176}， 因5.5=x ，3667.4=y ，s x = 0.5235，s y = 0.4677，n 1 = 11，n 2 = 12，
4951.021
4677.0115235.0102
)1()1(2
2212
221=×+×=−+−+−=
n n s n s n s y
x w ，
则W t ∈=+×
−=
4844.512
11114951.03667
.45.5，并且检验的p 值p = P {T ≥ 5.4844} = 9.6391 × 10 −6 < α = 0.01，
故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为型号A 的计算器平均使用时间明显比型号B 来得长．
13．从某锌矿的东、西两支矿脉中，各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试，得样本含锌平均数及
样本方差如下：
东支：1337.0,230.0211==s x ；
西支：1736.0,269.02
22==s x ．
若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布且方差相同，问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以
看作一样（取α = 0.05）？
解：设东、西两支矿脉的含锌量分别为),(~211σµN X ，),(~222σµN Y ，且2
221σσ=，
假设H 0：µ 1 = µ 2 vs H 1：µ 1 ≠ µ 2，
未知22
21,σσ，但2
221σσ=，选取统计量)2(~11212
12
1−++−=n n t n n S X X T w
，
显著性水平α = 0.05，t 1 − α /2 (n 1 + n 2 − 2) = t 0.975 (15) = 2.1314，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.1314}，
因1736.0,269.0,1337.0,230.02
22211====s x s x ，n 1 = 9，n 2 = 8，
3903.015
1736.071337.082)1()1(212
22211=×+×=−+−+−=n n s n s n s w ，
则W t ∉−=+
×−=
2056.08
1
913903.0269
.0230.0，并且检验的p 值p = 2P {T ≤ −0.2056} = 0.8399 > α = 0.05， 故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为东、西两支矿脉含锌量的平均值是一样的．
14．在针织品漂白工艺过程中，要考察温度对针织品断裂强力（主要质量指标）的影响．为了比较70°C
与80°C 的影响有无差别，在这两个温度下，分别重复做了8次试验，得数据如下（单位：N ）：
70°C 时的强力：20.5 18.8 19.8 20.9 21.5 19.5 21.0 21.2， 80°C 时的强力：17.7 20.3 20.0 18.8 19.0 20.1 20.0 19.1．
根据经验，温度对针织品断裂强力的波动没有影响．问在70°C 时的平均断裂强力与80°C 时的平均断裂强力间是否有显著差别？（假设断裂强力服从正态分布，α = 0.05）
解：设在70°C 和80°C 时的断裂强力分别为),(~211σµN X ，),(~2
22σµN Y ，且2221σσ=，
假设H 0：µ 1 = µ 2 vs H 1：µ 1 ≠ µ 2，
未知22
21,σσ，但2
221σσ=，选取统计量)2(~1
1212
1−++−=n n t n n S Y X T w
，
显著性水平α = 0.05，t 1 − α /2 (n 1 + n 2 − 2) = t 0.975 (14) = 2.1448，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.1448}， 因4.20=x ，375.19=y ，s x = 0.9411，s y = 0.8876，n 1 = 8，n 2 = 8，
9148.014
8876.079411.072
)1()1(2
2212
221=×+×=−+−+−=
n n s n s n s y
x w ，
则W t ∈=+
×−=
2410.28
1
819148.0375
.194.20，并且检验的p 值p = 2P {T ≥ 2.2410} = 0.0418 < α = 0.05， 故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为70°C 时的平均断裂强力与80°C 时的平均断裂强力间有显著差别． 15．一药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后至开始起作用的时间间隔较原有止痛片至少
缩短一半，因此厂方提出需检验假设
H 0：µ 1 = 2µ 2 vs H 1：µ 1 > 2µ 2．
此处µ 1 , µ 2分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后至开始起作用的时间间隔的总体的均值．设两总
体均为正态分布且方差分别为已知值2
221,σσ，现分别在两总体中取一样本X 1 , …, X n 和Y 1 , …, Y m ，
设两个样本独立．试给出上述假设检验问题的检验统计量及拒绝域．
解：设服用原有止痛片和新止痛片后至开始起作用的时间间隔分别为),(~211σµN X ，),(~2
22σµN Y ，
因X 1 , …, X n 和Y 1 , …, Y m 分别X 和Y 为来自的样本，且两个样本独立，
则),
(~211n N X σµ，,(~2
22m
N Y σµ，且X 与Y 独立，有4,2(~22
2
2
121m n N Y X σσµµ+−−， 标准化，得
)1,0(~4)
2()2(22
21
21N m
n
Y X σσ
µµ+
−−−，
假设H 0：µ 1 = 2µ 2 vs H 1：µ 1 > 2µ 2，
已知2
2
21,σσ，选取统计量)1,0(~4222
2
1
N m
n
Y
X U σσ
+
−=，
显著性水平α ，右侧拒绝域W = {u ≥ u 1 − α}．
16．对冷却到−0.72°C 的样品用A 、B 两种测量方法测量其融化到0°C 时的潜热，数据如下：
方法A ：79.98 80.04 80.02 80.04 80.03 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.00
80.02，
方法B ：80.02 79.94 79.98 79.97 80.03 79.95 79.97 79.97．
假设它们服从正态分布，方差相等，试检验：两种测量方法的平均性能是否相等？（取α = 0.05）．
解：设用A 、B 两种测量方法测量的潜热分别为),(~211σµN X ，),(~2
22σµN Y ，且2221σσ=，
假设H 0：µ1 = µ2 vs H 1：µ1 ≠ µ2，
未知22
21,σσ，但2
221σσ=，选取统计量)2(~11212
1−++
−=n n t n n S Y
X T w ，
显著性水平α = 0.05，t 1−α /2 (n 1 + n 2 − 2) = t 0.975 (19) = 2.0930，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.0930}， 因0208.80=x ，9787.79=y ，s x = 0.0240，s y = 0.0.314，n 1 = 8，n 2 = 8，
0269.019
0314.070240.0122
)1()1(2
2212
221=×+×=−+−+−=
n n s n s n s y
x w ，
则W t ∈=+×
−=
4722.38
11310269.09787
.790208.80，并且检验的p 值p = 2P {T ≥ 3.4722} = 0.0026 < α = 0.05，
故拒绝H 0，接受H 1，可以认为两种测量方法的平均性能不相等．
17．为了比较测定活水中氯气含量的两种方法，特在各种场合收集到8个污水样本，每个水样均用这两种
方法测定氯气含量（单位：mg /l ），具体数据如下：
水样号 方法一（x ） 方法二（y ） 差（d = x − y ） 1 0.36 0.39 −0.03 2 1.35 0.84 0.51 3 2.56 1.76 0.80 4 3.92 3.35 0.57 5 5.35 4.69 0.66 6 8.33 7.70 0.63 7 10.70 10.52 0.18 8 10.91 10.92 −0.01
设总体为正态分布，试比较两种测定方法是否有显著差异．请写出检验的p 值和结论（取α = 0.05）．
解：设用这两种测定方法测定的氯气含量之差为),(~2
d d N Y X D σµ−=，成对数据检验，
假设H 0：µ d = 0 vs H 1：µ d ≠ 0，
未知2
d σ，选取统计量)1(~−=
n t n
S D T d
，
显著水平α = 0.05，t 1−α /2 (n − 1) = t 0.975 (7) = 2.3646，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.3646}， 因4138.0=d ，s d = 0.3210，n = 8， 则W t ∈==
6461.38
3210.04138
.0，并且检验的p 值p = 2P {T ≥ 3.6461} = 0.0082 < α = 0.05，
故拒绝H 0，接受H 1，可以认为两种测定方法有显著差异．
18．一工厂的；两个化验室每天同时从工厂的冷却水取样，测量水中的含气量（10−6）一次，下面是7天
的记录：
室甲：1.15 1.86 0.75 1.82 1.14 1.65 1.90， 室乙：1.00 1.90 0.90 1.80 1.20 1.70 1.95．
设每对数据的差d i = x i − y i (i = 1, 2, …, 7)来自正态总体，问两化验室测定结果之间有无显著差异？（α = 0.01）
解：设两个化验室测定的含气量数据之差为),(~2
d d N Y X D σµ−=，成对数据检验，
假设H 0：µ d = 0 vs H 1：µ d ≠ 0，
未知2
d σ，选取统计量)1(~−=
n t n
S D T d
，
显著水平α = 0.01，t 1−α /2 (n − 1) = t 0.995 (6) = 3.7074，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 3.7074}， 因0257.0−=d ，s d = 0.0922，n = 7， 则W t ∉−=−=
7375.07
0922.00257
.0，并且检验的p 值p = 2P {T ≤ −0.7375} = 0.4886 > α = 0.05，
故接受H 0，拒绝H 1，可以认为两化验室测定结果之间没有显著差异．
19．为比较正常成年男女所含红血球的差异，对某地区156名成年男性进行测量，其红血球的样本均值为
465.13（104/mm 3），样本方差为54.802；对该地区74名成年女性进行测量，其红血球的样本均值为422.16，样本方差为49.202．试检验：该地区正常成年男女所含红血球的平均值是否有差异？（取α = 0.05）
解：设该地区正常成年男女所含红血球分别为),(~211σµN X ，),(~2
22σµN Y ，
假设H 0：µ1 = µ2 vs H 1：µ1 ≠ µ2，
未知2
2
21,σσ，大样本场合，选取统计量)1,0(~2
212N n S n S
Y X U y
x
&+−=，
显著水平α = 0.05，u 1−α /2 = u 0.975 = 1.96，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 1.96}，
因22
2220.49,16.422,80.54,13.465====y x s y s x ，n 1 = 156，n 2 = 74，
则W u ∈=+−=
9611.574
20.4915680.5416.42213.4652
2，并且检验的p 值p = 2P {U ≥ 5.9611} = 2.5055 × 10−9 < α = 0.05，
故拒绝H 0，接受H 1，可以认为该地区正常成年男女所含红血球的平均值有差异．
20．为比较不同季节出生的女婴体重的方差，从去年12月和6月出生的女婴中分别随机地抽取6名及10
名，测其体重如下（单位：g ）：
12月：3520 2960 2560 2960 3260 3960，
6月：3220 3220 3760 3000 2920 3740 3060 3080 2940 3060．
假定新生女婴体重服从正态分布，问新生女婴体重的方差是否是冬季的比夏季的小（取α = 0.05）？
解：设12月和6月出生的女婴体重分别为),(~211σµN X ，),(~2
22σµN Y ，
假设H 0：2221σσ= vs H 1：2
221σσ<，
选取统计量)1,1(~2122−−=n n F S S F y
x
，
显著水平α = 0.05，21.077
.41
)5,9(1)9,5()1,1(95.005.021===
=−−F F n n F α，左侧拒绝域W = { f ≤ 0.21}，
因225960.491=x s ，225217.306=y s ，
则W f ∉==5721.25217.3065960.4912
2
，并且检验的p 值p = P {F ≤ 2.5721} = 0.8967 > α = 0.05，
故接受H 0，拒绝H 1，新生女婴体重的方差冬季的不比夏季的小．
21．已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布，且标准差为0.048．从某天产品中抽取5根纤维，测得
其纤度为
1.32 1.55 1.36 1.40 1.44
问这一天纤度的总体标准差是否正常（取α = 0.05）？
解：设这一天维尼纶纤度X ~ N (µ , σ 2)，假设H 0：σ 2 = 0.0482 vs H 1：σ 2 ≠ 0.0482，
选取统计量)1(~)1(22
2
2
−−=
n S n χσ
χ，
显著性水平α = 0.05，4844.0)4()1(2025.022/==−χχαn ，1433.11)4()1(2
975.022/1==−−χχαn ，
双侧拒绝域W = {χ 2 ≤ 0.4844或χ 2 ≥ 11.1433}， 因σ 2 = 0.0482，s 2 = 0.08822，n = 5，
则W ∈=×=5069.13048
.00882.042
2
2
χ，并且检验的p 值p = 2P {χ 2 ≥ 13.5069} = 0.0181 < α = 0.05， 故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为这一天纤度的总体方差不正常．
22．某电工器材厂生产一种保险丝．测量其熔化时间，依通常情况方差为400，今从某天产品中抽取容量
为25的样本，测量其熔化时间并计算得24.62=x ，s 2 = 404.77，问这天保险丝熔化时间分散度与通常有无显著差异（取α = 0.05，假定熔化时间服从正态分布）？ 解：设这天保险丝熔化时间分散度X ~ N (µ , σ 2)，假设H 0：σ 2 = 400 vs H 1：σ 2 ≠ 400，
选取统计量)1(~)1(22
2
2
−−=
n S n χσ
χ，
显著性水平α = 0.05，4012.12)24()1(2025.022/==−χχαn ，3641.39)24()1(2
975.022/1==−−χχαn ，
双侧拒绝域W = {χ 2 ≤ 12.4012或χ 2 ≥ 39.3641}， 因σ 2 = 400，s 2 = 404.77，n = 25，
则W ∉=×=2862.24400
77
.404242χ，并且检验的p 值p = 2P {χ 2 ≥ 24.2862} = 0.8907 > α = 0.05，
故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为这天保险丝熔化时间分散度与通常没有显著差异． 23．某种导线的质量标准要求其电阻的标准差不得超过0.005（Ω）．今在一批导线中随机抽取样品9根，
测得样本标准差s = 0.007（Ω），设总体为正态分布．问在显著水平α = 0.05下，能否认为这批导线的标准差显著地偏大？
解：设这批导线的电阻X ~ N (µ , σ 2)，假设H 0：σ 2 = 0.005 2 vs H 1：σ 2 > 0.005 2，
选取统计量)1(~)1(22
2
2
−−=
n S n χσ
χ，
显著性水平α = 0.05，5073.15)8()1(2
95.021==−−χχαn ，右侧拒绝域W = {χ 2 ≥ 15.5073}，
因σ 2 = 0.005 2，s 2 = 0.007 2，n = 9，
则W ∈=×=68.15005
.0007.082
2
2
χ，并且检验的p 值p = P {χ 2 ≥ 15.68} = 0.0472 < α = 0.05， 故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为这批导线的标准差显著地偏大．
24．两台车床生产同一种滚珠，滚珠直径服从正态分布．从中分别抽取8个和9个产品，测得其直径为
甲车床：15.0 14.5 15.2 15.5 14.8 15.1 15.2 14.8；
乙车床：15.2 15.0 14.8 15.2 15.0 15.0 14.8 15.1 14.8．
比较两台车床生产的滚珠直径的方差是否有明显差异（取α = 0.05）．
解：设两台车床生产的滚珠直径分别为),(~211σµN X ，),(~2
22σµN Y ，
假设H 0：2221σσ= vs H 1：2
221σσ≠，
选取统计量)1,1(~2122
−−=n n F S S F y
x
，
显著性水平α = 0.05，2041.09
.41
)7,8(1)8,7()1,1(975.0025.0212/===
=−−F F n n F α，
F 1 − α /2 (n 1 − 1, n 2 − 1) = F 0.975 (7, 8) = 4.53，双侧拒绝域W = {F ≤ 0.2041或F ≥ 4.53}，
因223091.0=x s ，221616.0=y s ，
则W F ∉==6591.31616.03091.02
2
，并且检验的p 值p = 2P {F ≥ 3.6591} = 0.0892 > α = 0.05，
故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为两台车床生产的滚珠直径的方差没有明显差异． 25．有两台机器生产金属部件，分别在两台机器所生产的部件中各取一容量为m = 14和n = 12的样本，测
得部件质量的样本方差分别为46.1521=s ，66.92
2=s ，设两样本相互独立，试在显著性水平α = 0.05
下检验假设
H 0：2221σσ= vs H 1：2
221σσ>．
解：设两台机器生产金属部件质量分别为),(~211σµN X ，),(~2
22σµN Y ，
假设H 0：2221σσ= vs H 1：2
221σσ>，
选取统计量)1,1(~22
2
1−−=n m F S S F ，
显著性水平α = 0.05，F 1 − α (m − 1, n − 1) = F 0.95 (13, 11) = 2.7614，右侧拒绝域W = {F ≥ 2.7614}，
因46.1521=s ，66.92
2=s ，
则W F ∉==
6004.166
.946
.15，并且检验的p 值p = P {F ≥ 1.6004} = 0.2206 > α = 0.05， 故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为2
221σσ=．
26．测得两批电子器件的样品的电阻（单位：Ω）为
A 批（x ） 0.140 0.138 0.143 0.142 0.144 0.137；
B 批（y ） 0.135 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140．
设这两批器材的电阻值分别服从),(211σµN ，),(2
22σµN ，且两样本独立．
（1）试检验两个总体的方差是否相等（取α = 0.05）？ （2）试检验两个总体的均值是否相等（取α = 0.05）？
解：设两批电子器件样品的电阻分别为),(~211σµN X ，),(~2
22σµN Y ，
（1）假设H 0：2221σσ= vs H 1：2
221σσ≠，
选取统计量)1,1(~2122
−−=n n F S S F y
x
，
显著性水平α = 0.05，1399.015
.71
)5,5(1)5,5()1,1(975.0025.0212/===
=−−F F n n F α，
F 1 − α /2 (n 1 − 1, n 2 − 1) = F 0.975 (5, 5) = 7.15，双侧拒绝域W = {F ≤ 0.1399或F ≥ 7.15}，
因22002805.0=x s ，22002665.0=y s ，
则W F ∉==1080.1002665
.0002805.02
2
，并且检验的p 值p = 2P {F ≥ 1.1080} = 0.9131 > α = 0.05， 故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为两个总体的方差相等； （2）假设H 0：µ 1 = µ 2 vs H 1：µ 1 ≠ µ 2，
未知22
21,σσ，但2221σσ=，选取统计量)2(~11212
1−++
−=n n t n n S Y
X T w ，
显著性水平α = 0.05，t 1 − α /2 (n 1 + n 2 − 2) = t 0.975 (10) = 2.2281，双侧拒绝域W = {| t | ≥ 2.2281}， 因1407.0=x ，1385.0=y ，s x = 0.002805，s y = 0.002665，n 1 = 6，n 2 = 6，
002736.010
002665.05002805.052
)1()1(2
221222
1=×+×=−+−+−=
n n s n s n s y
x w ，
则W t ∉=+
×−=
3718.16
1
61002736.01385
.01407.0，并且检验的p 值p = 2P {T ≥ 1.3718} = 0.2001 > α = 0.05， 故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为两个总体的均值相等．
27．某厂使用两种不同的原料生产同一类型产品，随机选取使用原料A 生产的样品22件，测得平均质量
为2.36（kg ），样本标准差为0.57（kg ）．取使用原料B 生产的样品24件，测得平均质量为2.55（kg ），样本标准差为0.48（kg ）．设产品质量服从正态分布，两个样本独立．问能否认为使用原料B 生产的产品质量较使用原料A 显著大（取α = 0.05）？
解：设两种原料生产的产品质量分别为),(~211σµN X ，),(~2
22σµN Y ，
假设H 0：µ 1 = µ 2 vs H 1：µ 1 < µ 2 ，
未知2
221,σσ，大样本，选取统计量)1,0(~2
212N n S n S
Y X U y
x
&+−=
，
显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W ≈ {u ≤ −1.645}， 因36.2=x ，55.2=y ，s x = 0.57，s y = 0.48，n 1 = 22，n 2 = 24， 有W u ∉−=+−=
2171.124
48
.02257.055.236.22
2
，并且检验的p 值p = P {U ≤ −1.2171} = 0.1118 > α = 0.05，
故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为使用原料B 生产的产品质量较使用原料A 不是显著大．
习题7.3
1． 从一批服从指数分布的产品中抽取10个进行寿命测试，观测值如下（单位：h ）： 1643 1629 426 132 1522 432 1759 1074 528 283
根据这批数据能否认为其平均寿命不低于1100 h （取α = 0.05）？ 解：设这批产品的寿命X ~ Exp (1/θ )，假设H 0：θ = 1100 vs H 1：θ < 1100，
选取统计量)2(~222n X
n χθ
χ=
，
显著性水平α = 0.05，8508.10)20()2(2
05.02==χχαn ，左侧拒绝域W = {χ 2 ≤ 10.8508}，
因8.942=x ，n = 10，θ = 1100，
则W ∉=××=1418.171100
8
.9421022χ，并且检验的p 值p = P {χ 2 ≤ 17.1418} = 0.3563 > α = 0.05，
故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为其平均寿命不低于1100 h ．
2． 某厂一种元件平均使用寿命为1200 h ，偏低，现厂里进行技术革新，革新后任选8个元件进行寿命试
验，测得寿命数据如下：
2686 2001 2082 792 1660 4105 1416 2089
假定元件寿命服从指数分布，取α = 0.05，问革新后元件的平均寿命是否有明显提高？ 解：设革新后元件的寿命X ~ Exp (1/θ )，假设H 0：θ = 1200 vs H 1：θ > 1200，
选取统计量)2(~222n X
n χθ
χ=
，
显著性水平α = 0.05，2962.26)16()2(2
95.021==−χχαn ，右侧拒绝域W = {χ 2 ≥ 26.2962}，
因875.2103=x ，n = 8，θ = 1200，
则W ∈=××=
0517.281200
875
.2103822χ，并且检验的p 值p = P {χ 2 ≥ 28.0517} = 0.0312 < α = 0.05，
故拒绝H 0，接受H 1，即可以认为革新后元件的平均寿命有明显提高．
3． 有人称某地成年人中大学毕业生比例不低于30%，为检验之，随机调查该地15名成年人，发现有3
名大学毕业生，取α = 0.05，问该人看法是否成立？并给出检验的p 值．
解：设该地n 名成年人中大学毕业生人数为∑==n
i i X X n 1，有),(~p n b X n ，
假设H 0：p = 0.3 vs H 1：p < 0.3， 选取统计量),(~p n b X n ，
显著性水平α = 0.05，n = 15，p = 0.3， 有1268.07.03.005.00353.07
.03.02
15151
01515
=⋅⋅<<=⋅⋅∑∑=−=−k k k k
k k
k
k
C C ，左侧拒绝域}1{≤=x n W ，
因W x n ∉=3，并且检验的p 值2969.07.03.0}3{3
1515=⋅⋅=≤=∑=−k k k k
C X n P p ，
故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为该人看法成立．
4． 某大学随机调查120名男同学，发现有50人非常喜欢看武侠小说，而随机调查的85名女同学中有23
人喜欢，用大样本检验方法在α = 0.05下确认：男女同学在喜爱武侠小说方面有无显著差异？并给出检验的p 值． 解：设n 1名男同学中有∑==1
11n i i X X n 人喜欢看武侠小说，n 2名女同学中有∑==2
1
2n j j Y Y n 人喜欢看武侠小说，
有),(~111p n B X n ，),(~222p n B Y n ，大样本，有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−1111)1(,~n p p p N X &，⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝
⎛−2222
)1(,~n p p p N Y &， 则⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝⎛−+−−−22211121)1()1(,~n p p n p p p p N Y X &，即)1,0(~)
1()1()
()(2
2211121N n p p n p p p p Y X &−+−−−−，
当p 1 = p 2 = p 但未知时，此时用总频率2
121ˆn n Y
n X n p
++=作为p 的点估计替换p ，在大样本场合，有
)1,0(~1
1)ˆ1(ˆ2
1N n n p p
Y X U &+−−=，
假设H 0：p 1 = p 2 vs H 1：p 1 ≠ p 2， 大样本，选取统计量)1,0(~1
1)ˆ1(ˆ2
1N n n p p
Y X U &+−−=
，
显著性水平α = 0.05，u 1 − α /2 = u 0.975 = 1.96，双侧拒绝域W = {| u | ≥ 1.96}，
因n 1 = 120，n 2 = 85，501=x n ，232=y n ，有3561.085
12023
50ˆ2121=++=++=n n y n x n p
，
则W u ∈=+−×−=
1519.285
11201)
3561.01(3561.085
23
12050，
并且检验的p 值p = 2P {U ≥ 2.1519} = 0.0314 < α = 0.05，
故拒绝H 0，接受H 1，可以认为男女同学在喜爱武侠小说方面有显著差异．
5． 假定电话总机在单位时间内接到的呼叫次数服从泊松分布，现观测了40个单位时间，接到的呼叫次
数如下：
0 2 3 2 3 2 1 0 2 2 1 2 2 1 3 1 1 4 1 1 5 1 2 2 3 3 1 3 1 3 4 0 6 1 1 1 4 0 1 3．
在显著性水平0.05下能否认为单位时间内平均呼叫次数不低于2.5次？并给出检验的p 值． 解：设电话总机在单位时间内接到的呼叫次数X ~ P
(λ
)，有)(~1λn P X X n n
i i ∑==，
大样本，有
)1,0(~N n
X n n X n &λλ
λλ−=−，
假设H 0：λ = 2.5 vs H 1：λ < 2.5， 大样本，选取统计量)1,0(~N n
X U &λλ
−=
， 显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，左侧拒绝域W = {u ≤ −1.645}， 因975.1=x ，n = 40，λ = 2.5， 则W u ∈−=−=
1.240
5.25
.2975.1，并且检验的p 值p = P {U ≤ −2.1} = 0.0179 < α = 0.05，
故拒绝H 0，接受H 1，不能认为单位时间内平均呼叫次数不低于2.5次；
6． 通常每平方米某种布上的疵点数服从泊松分布，现观测该种布100 m 2，发现有126个疵点，在显著性
水平0.05下能否认为该种布每平方米上平均疵点数不超过1个？并给出检验的p 值． 解：设每平方米该种布上的疵点数X ~ P
(λ
)，有)(~1λn P X X n n
i i ∑==，
大样本，有
)1,0(~N n
X n n X n &λλ
λλ−=−，
假设H 0：λ = 1 vs H 1：λ > 1， 大样本，选取统计量)1,0(~N n
X U &λλ
−=
，
显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，右侧拒绝域W = {u ≥ 1.645}，
因26.1=x ，n = 100，λ = 1， 则W u ∈=−=
6.2100
11
26.1，并且检验的p 值p = P {U ≥ 2.6} = 0.0047 < α = 0.05， 故拒绝H 0，接受H 1，不能认为该种布每平方米上平均疵点数不超过1个； 7． 某厂的一批电子产品，其寿命T 服从指数分布，其密度函数为
p (t ; θ ) = θ −1exp{− t /θ } I t > 0，
从以往生产情况知平均寿命θ = 2000 h ．为检验当日生产是否稳定，任取10件产品进行寿命试验，到全部失效时停止．试验得失效寿命数据之和为30200．试在显著性水平α = 0.05下检验假设
H 0：θ = 2000 vs H 1：θ ≠ 2000．
解：假设H 0：θ = 2000 vs H 1：θ ≠ 2000，
选取统计量)2(~222n X
n χθ
χ=
，
显著性水平α = 0.05，5908.9)20()2(2025.022/==χχαn ，1696.34)20()2(2
975.022/1==−χχαn ，
双侧拒绝域W = {χ 2 ≤ 9.5908或χ 2 ≥ 34.1696}，
因302010
30200
==
x ，n = 10，θ = 2000， 则W ∉=××=20.302000
3020
1022χ，并且检验的p 值p = P {χ 2 ≥ 30.20} = 0.0667 > α = 0.05，
故接受H 0，拒绝H 1，即可以认为其平均寿命等于2000 h ． 8． 设X 1, X 2, …, X n 为取自两点分布b (1, p )的随机样本．
（1）试求单侧假设检验问题H 0：p ≤ 0.01 vs H 1：p > 0.01的显著水平α = 0.05的检验； （2）若要这个检验在p = 0.08时犯第二类错误的概率不超过0.10，样本容量n 应为多大？ 解：（1）假设H 0：p = 0.01 vs H 1：p > 0.01，
若为小样本，选取统计量),(~1p n b X X n n
i i ∑==，
显著性水平α = 0.05，p = 0.01，
取⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅⋅=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤⋅⋅=∑∑−=−=−95.099.001.0min 05.099.001.0min 102c k k n k k n n c k k
n k k n C C c ，
当n ≤ 5时，c 2 = 1；当6 ≤ n ≤ 35时，c 2 = 2；当36 ≤ n ≤ 82时，c 2 = 3；当83 ≤ n ≤ 137时，c 2 = 4； 右侧拒绝域}{2c x n W ≥=， 根据x n ，作出决策； 若为大样本，选取统计量)1,0(~)1(N n
p p p
X U &−−=
，
显著性水平α = 0.05，u 1 − α = u 0.95 = 1.645，右侧拒绝域W = {u ≥ 1.645}， 计算u ，作出决策；
（2）在p = 0.08时，)08.0,(~1n b X X n n
i i ∑==，
则犯第二类错误的概率
10.092.008.0}08.0|{}08.0|{1
022≤⋅⋅==<==∉=∑−=−c k k n k k
n C p c X n P p W X n P β，
当n ≤ 5时，c 2 = 1，β = 0.92n ≥ 0.6591；
当6 ≤ n ≤ 35时，c 2 = 2，2184.092.008.01
≥⋅⋅=∑=−k k n k k
n C β；
当36 ≤ n ≤ 82时，c 2 = 3， 若n = 64，1050.092
.008.02
=⋅⋅=∑=−k k
n k
k
n
C β；若n = 65，0991.092.008.02
=⋅⋅=∑=−k k n k k
n C β；
故n ≥ 65．
9． 有一批电子产品共50台，产销双方协商同意找出一个检验方案，使得当次品率p ≤ p 0 = 0.04时拒绝的
概率不超过0.05，而当p > p 1 = 0.30时，接受的概率不超过0.1，请你帮助找出适当的检验方案． 解：设这批电子产品中的次品数为∑==n
i i X X n 1，有),(~p n b X n ，
假设H 0：p = 0.04 vs H 1：p > 0.04， 小样本，选取统计量),(~p n b X n ， 显著性水平α = 0.05，p = 0.04，。