第二章 静电场(二)

唯一
2) 给定每个导体上的总电量
n
ds qi i 或 i n
相差一常数
E grad
i
E 唯一
3) 一部分导体上给定电势， 另一部分导体上给 定带电量 (混合条件) 一部分满足
Ci
i
一部分满足 n
或 i n ds qi
静电屏蔽 接地的封闭导体壳内电荷不影响壳外电场
研究对象：壳外电场， 介质及电荷分布不变，即方程一定 边界条件：接地导体壳 唯一性 定理 壳外 电场 一定
0
边界形状及边界条件不变，即边界一定
封闭导体壳无论是否接地，壳内电场不受壳外电荷 影响
研究对象：封闭导体壳的壳内电场 方程一定 边界条件：导体壳 S n dS q内 边界一定 唯一性定理 壳内电场一定
2
3.平行双电轴法
无限长均匀带电的平行双输电线 等位面 导线的截面圆 等效 认为是双电轴所形成的等位面填充导电媒质
平行双电轴
外 部 电 场 等 效
1）.半径相等的平行双输电线
相距d=2x的平行双输电线导线半径均为 R0 等效
2
D 2 2 x R 0 0 2
相距D的平行双电轴
用镜象电荷代替大地的影响
镜像电荷
与场源电荷平行对称 与场源电荷大小相等，方向相反
2.无限大导电平面镜象法的应用
1 ）.
0 0
等效
0
0
2 ）.
0 0
0
等效
要求：2π/α为偶数
3）.长直圆柱导体对导电平面的镜象
等效
双电轴法和镜像法的综合应用
§2-4 球形导体面的镜象
§2-3 无限大导电平面的镜象法
唯一性定理需 满足的条件
被研究场域内部介质及电荷分布不变 被研究场域边界形状及边界条件不变
镜像法原理：以场外虚拟的集中电荷等效边界上的分布电荷
1.点电荷对无限大导电平面的镜象
镜像电荷在被研究场域之外， 不会改变内部介质及电荷分布
保证边界 条件不变
0
等效
大地对点电荷电场的影响 在被研究场域之外
上半场域
下半场域
q q D1n sin sin 2 2 4R 4R q q 1 41R 4R 1
q D2 n sin 2 4R q 2 4R 2
根据连接条件： D1n 12 D2 n 12
1 2
12
12
C
球心处放臵镜像电荷 q
§2-5 无限大介质交界平面的镜象
镜像法原理：以场外虚拟的集中电荷等效边界上的分布电荷 求解上半场域时 上半场域 ——研究对象，电荷及介质分布不变 下半场域——保证边界条件不变 将媒质电容率换为与上半场域相同 1 用镜像电荷 q 等效边界面上束缚电荷的作用
求解下半场域时 下半场域 ——研究对象 ，电荷及介质分布不变 上半场域——保证边界条件不变 将媒质电容率换为与下半场域相同 2 用镜像电荷q 等效边界面上束缚电荷的作用
1.接地导体球对点电荷的镜象
球面产生的 q 感应电荷 球面外电荷 q
0
球面
q q
利用镜像电荷等 效球面感应电荷 球面一点P的电位为
p
q 4 0 R1

q
4 0 R2
0
R2 q k R1 q
在圆上选取两特殊点C及D
Rb Rb k dR dR
2）.半径不等的平行双输电线
相距d的平行双输电线导线半径分别为 R0 和 R0
2 D 2 ( x0 )2 ( R0 )2 ( x0)2 ( R0)2
由
x0 x0 d 可得


2 )2 ( R )2 d ( R 0 0 x0 2d
2 )2 ( R )2 d ( R 0 0 x0 d x0 2d
§2-2 平行双电轴法
平行双输电线：忽略端部效应 理想化 无限长均匀带电的双输电线 两平行输电线表面电 两平行输电线表面电荷 荷分布不均匀 在等位线内侧 填充导电媒质 无限长均匀带电 假象平行双电轴电场 的双输电线 根据等位面法，等位面外侧， 即输电线外部电场分布一致
1.平行双电轴电场
平行双电轴电场是一个平行平面场，在垂直于电轴 的各个平面上，场有完全相同的分布图形。 设介质电容率为 0的空间有两无限长平行电轴，两 电轴所带有的电荷线密度分别为 , ，在空间P点产 生的电场强度分别为
1 2 q q 1 2
2 2 q q 1 2
从上两式镜象电荷可以求出，且有惟一确定的值，分 别求解所要求的上半场域与下半场域的电场。当ε1＝ε2时， q′=0，q″=q，整场域变为均匀媒质场域，束缚电荷将不复 存在。
如下图所示无限大介质平面上，臵有一带电长直导线 的电场，即可运用上述方法求解。
2.不接地导体球对点电荷的镜象
1. 球面为等位面 C 2. 球面感应电荷正负相等，球面总电量为零 先假定球面电位 0 求得镜像电荷 q
R2 b d
R q q d
再在球心处放臵电荷 q 球面外电荷 q 球面总电 量为零 镜像电荷 q
0

q 4 0 R
§2-1 静电场的唯一性定理及其应用
1.唯一性定理
静电场中，满足一定边界的条件的泊松方程或拉 氏方程的静电场有唯一解。
描述电场的方程一定 即研究场域内电荷分布确定（研究对象一定） 边界一定（按下列条件之一给定） 1) 给定每个导体的电势
Ci
i
（电荷分布于有限空间）

平行双电轴电场中电轴和等位圆之间的位臵关系
R2 K R1
选择特殊点A及B
D A点 R2 2 ( x0 R0 ) D R1 x0 R0 2 D B点 R2 R0 ( x0 2 ) D R1 R0 x0 2
R2 R2 K R1 R1
D 2 2 x R 0 0 2
C0
E1 21R

U

lnR2 R1 lnR 3 R 2 21 2 2
1
R1、R2间电容为C1 21 C1 U1 ln R2 R 1
R2、R3间电容为C2
两电容串联 1 1 1 C0 C1 C2
C0
ln R2 R 1 ln R 3 R 2 21 2 2
D 2
2
)2 ( R )2 d 2 ( R 0 x0 0 2d
由x0′及x0″可求得 两电轴的距离D
平行双输电线电场及电位的求解步骤 已知相距d的平行双输电线导线半径为 R0和 R0 半径相同时有 R0 R0 R0
2
1. 由已知条件求的双电轴的位臵D
R2 p ln 2 0 R1
R1 正电轴在点P处的电位 R2 负电轴在点P处的电位
2.平行双电轴等位线
P K
等位圆 与电力 线处处 正交
R2 K R1
轨迹为一族圆心在x轴的圆
K>1 K=1
等位圆位于y轴右侧 等位圆位于y轴 等位圆位于y轴左侧
K<1
K=1时
等位圆圆心位于无限远处 Y轴为中性面 0
平行于介质交界 面的线分布电荷
线分布电荷在两种 不同介质中的电场
§2-6 电容与电容的计算
一.电容
线性媒质空间中 电容定义：两导体容纳电荷的能力 Q 空间仅有两导体 C 两导体分别带有等值而异号的电荷 U
C
Q

空间仅有一导体，即孤立导体 设另一导体位于无限远处
仅决定于两导体本身几何尺寸、相互位臵和空间媒质电容率， 而与两导体所带的电量以及两导体间电压的数值无关。
解上式得
R b d
2
q q
R b R d q q d R d R d
2 R R
球外电场：两点电荷 q 和 q 产生电场的矢量叠加 镜像电荷在被研究场域之外 原边界面所带电荷为 q 镜像电荷至镜面顶点的距离小于场源电荷至该顶点的距离
( R b) (d R) 即 k 1 q q
第二章 静电场(二)
第二章 静
电
场 (二 )
§2-1 静电场的唯一性定理及其应用 §2-2 平行双电轴法 §2-3 无限大导电平面的镜象法 §2-4 球形导体面的镜象 §2-5 无限大介质交界平面的镜象 §2-6 电容与电容的计算 §2-7 双输电线的电容 §2-8 多导体系统的部分电容 §2-9 带电导体系统的电场能量及其分布 §2-10 虚位移法计算电场力
每一绝缘层所承受的电压比较均匀 绝缘材料也使用得最为有效。
§2-7 双输电线的电容
不考虑地面影响即忽略大地的镜象效应 由于两线间距离远大于导线半径，在忽略电荷沿导线表面 圆周分布不均匀的情况下，可视导线的几何中心轴与导线的 等效电轴重合。
由x0′及x0″可求得两电轴的距离D
3）.偏心圆柱套筒
相互平行但半径不同的带电圆柱导体，轴心距离为d ，半径分别 为R0′和R0″
( x0 )2 ( R0 )2 ( x0 )2 ( R0 )2 xd x 由 0 可得 0 2 2 2 ( R0 ) ( R0 ) d x0 2d
孤立导体球的电容计算公式
C 4 0 R
在国际单位制中电容的单位为法拉(F) 微法(10-6F或表为μF)，皮法(10-12F或表为pF)。
二.电容的求解
1. 假定导体带电量q
电容大小与导 体带电量无关
2. 由高斯通量定理求电场强度E
q En dS
S
3. 求两导体间电压U
q 4. 求两导体间电容C C U
i
i
唯一
2.应用
等位面法 若沿场的等位面任意一侧，填充导电媒质， 则等位面另侧的电场保持不变
研究对象：等位面另一侧的电场
介质及电荷分变
边界条件：等位面
即边界一定
C
边界形状及边界条件不变
两平行输电线的电场
沿场的等位面一侧，填 充导电媒质后的电场
D 2 2 x R 0 0 2
2. 将平行双输电线外部电场等效为双电轴所产生的电场， 平行双输电线外部任意一点电场等效为双电轴在这一点 分别产生的电场的矢量叠加，电位为双电轴在这一点分 别产生的电位的代数和。
R2 ln 2 0 R1
1 1 0 E E E ( )R 2 0 R1 R2
1
2 2 C2 U 2 ln R3 R 2

E1max 21R1 E2 max 2 2 R2
若 E1max E2max
E1max 2 R2 E2 max 1 R1
2 R2 1R1
双层不同媒质的圆柱 形电容器内的电场
由于 R1 R2 ，有 1 2
E
E
0 R 2 0 R1
0 R 2 0 R2
选取坐标轴的原点o为零电位点 ， 点P电位为 D / 2 D P E dR ln ln R1 R1 2 0 2 D / 2 D P E dR ln ln R 2 R2 20 2 由叠加原理，点P的电位为 D D R2 p p p ln ln R ln ln R ln 1 2 2 0 2 2 2 0 R1
U E dl
l
三.双层媒质圆柱形电容器的电容
D线仅有法线分量，分界面上 有 D1n D2n ，D线连续 电荷在柱面上分布均匀，故D线的
分布应该是径向对称的，
R1 R R2
R3 R2 R R3 E2 U E dR U1 U 2 2 2 R R1 R2 dR R3 dR R2 R3 U ln ln R1 2 R R2 2 R 21 R1 2 2 R2 2 1 2