数理分析方法

数理分析方法

魏丽weili@

财政金融学院

中国人民大学

主要内容：

z第一讲绪论：从数理经济学到数理金融学的百年回顾。

z第二讲线性空间：定义、基和维数及其在金融学中的应用。

z第三讲线性函数：线性、双线性函数、内积及其在金融学中的应用

z第四讲无限维线性空间理论初步：无限维线性空间、凸集分离定理等

z第五讲数学规划简介：线性规划、非线性规划、多目标规划等

z第六讲组合最优化问题：最优分组、编排、筛选以及计算复杂性等

z第七讲概率统计基础知识：基本概念，常用分布、数字特征

z第八讲随机过程初步：一般概念，布朗运动、马尔科夫链和鞅简介

z第九讲金融中的最优化问题：凸函数及性质、Kuhn-Tucker条件等

z第十讲随机模拟：随机数的产生，Monte-Carlo模拟技术等

参考书

z《金融学中的数学》，史树中著，高等教育出版社，2006。

z《Mathematics for Finance: An Introduction to Financial Engineering》， Marek Capinski and Tomasz Zastawniak, Springer, 2003.

z《Mathematical Techniques in Finance》, Ales Cerny, Princeton, 2004.

z《概率论与数理统计教程》，魏宗舒等，高等教育出版社，1991。

z《运筹学》，第二版，刁在筠等，高等教育出版社，2002。

z《随机规划与模糊规划》，刘宝碇等，清华大学出版社，2004。

z《现代优化计算方法》，刑文训等，清华大学出版社，2003。

第一讲绪论：从数理经济学到数理金融学的百年回顾

一、一般经济均衡理论和数学公理化

二、从“华尔街革命”追溯到1900年

三、谁将是下一位因研究金融而成为诺贝尔经济学奖得主？

一、一般经济均衡理论和数学公理化

1.1838，A.A.Cournot，《财富理论的数学原理研究》

2.1874.1，L.Warlas，《交换的数学理论原理》,首次公开他的一般经济均衡理论的主要观点。一般经济均衡理论示意图

生产的最大利润消费的最大效用

生产者消费者

供给价格体系需求

z Warlas的数学表达：

商品1 商品2 …… …… …… 商品n

p1 p2 ………………pn

供F1(p1,p2,…,pn) G1(p1,p2,…,pn) 需

F2(p1,p2,…,pn) G2(p1,p2,…,pn)

：：

给Fn(p1,p2,…,pn) Gn(p1,p2,…,pn) 求

F总= G总

Warlas法则

z Warlas的“数学论证”对吗？

–方程组一定是线性的吗？

–如果方程组不是线性的会怎样？

z结论：在数学上站不住脚，没有坚实的基础

z数学家和经济学家们80年的努力

★ 20世纪30年代，J.von Neumann，经济增长模型

★ 20世纪30年代，W.Leontiev，投入产出法

实质上是一个一般经济均衡的线性模型

★ P.Samuelson，用数学方式研究一般经济均衡体系

★ J.R.Hicks ，用数学方式研究一般经济均衡体系

★ 1911，L.E.J.Brouwer，不动点定理

★ 1941，Kakutani Shizuo，不动点定理的推广

★ 1954，K.J.Arrow，G.Debreu，对一般经济均衡问题给出有经济含义的数学模型，得到一般经济均衡存在性的严格证明

z经济学为什么需要数学公理化方法?

–坚持数学严格性，使公理化已经不止一次地引导经济学家对新研究的问题有更深刻的理解，并使适合这些问题的数学技巧用得更好。这就为向新方向开

拓建立了一个可靠的基地。它使研究者从必须推敲前人工作的每一细节的桎

梏中脱身出来。严格性无疑满足了许多当代经济学家的智力需要，因此，他

们为了自身的原因而追求它，但是作为有效的思想工具，它也是理论的标志 ------ G.Debreu，《数学思辩形式的经济理论》

二、从“华尔街革命”追溯到1900年

z现代金融学第一篇文献：1953，K.J.Arrow，《证券在风险承担的最优配置中的作用》z第一次“华尔街革命”：1952年H.M.Markowitz的证券组合选择理论的问世。

z第二次“华尔街革命”：1973年F.Black-M.S.Scholes期权定价公式的问世

z R.C.Merton，《连续时间金融学》，1990。

z W.F.Sharpe，资本资产定价模型（CAPM）

z J.Tobin，二基金分离定理，宏观经济结论

z F.Modigliani，ler，公司理财，无套利假设，Modigliani-Miller定理

z数理金融学的“祖师爷”--- L.Bachelier，法国

1900年，《投机理论》，用布朗运动 20世纪50年代，P.Samuelson发现

三、谁将是下一位因研究金融而成为诺贝尔经济学奖得主

z1976，S.A.Ross，套利定价理论（APT）

资产定价基本定理：无套利假设等价于存在对未来不确定状态的某种等价概率测度，使得每一种金融资产对该等价概率测度的期望收益率都等于无风险证券的收益率。

z1979，S.A.Ross，J.C.Cox，M.Rubinstein 期权定价的离散模型。

z20世纪60年代末，E.F.Fama，市场有效性研究

z最近几年， E.F.Fama和K.French等人对CAPM批评

z1972，R.Radner，研究关于不完全证券市场的一般经济均衡模型

z1975，O.Hart，举出一反例

z1985，D.Duffie和W.Schafer，“极大多数”的不完全市场，均衡还是存在的；遗憾的是，不完全市场的“极大多数”均衡都不能达到“资源最优配置”

z20世纪末，M.Magill和M.Quinzii，不完全市场一般均衡理论专著

z1998，ler，《金融学的历史》报告

z经济系：宏观规范金融学

z商学院：微观规范金融学

z主要区别之一：是否要纳入一般经济均衡框架

z“规范研究”与“实证研究”的界线不清晰

z“微观规范研究”比“宏观规范研究”兴旺得多

z Fama：典型的“微观规范”与实证的研究

z Radner, Duffie, Schafer, Magill, Quinzii：宏观规范研究z2000年，诺贝尔经济学奖获得者：两位美国经济学家，J.J.Heckman，D.L.McFadden，表彰他们在微观计量经济学领域所作的贡献

z2001年，诺贝尔经济学奖获得者：三位美国经济学家， G.A.Akerlof，A.M.Spence，J.E.Stiglitz，以奖励他们对具有不对称信息的市场的分析

z2002年，诺贝尔经济学奖获得者：美国-以色列心理学家D.Kahneman和美国经济学家V.L.Smith，奖励他们在实验经济学和行为经济学方面的开创性工作。

z2003年，诺贝尔经济学奖获得者：美国经济学家R.F.Engle和英国经济学家

C.W.J.Granger，以奖励他们对于分析经济时间序列的方法上的贡献。

z J.H.Cochrane，《Asset Pricing》，2001。

z应该密切注意的几个关键词：

z信息

z行为

z时变

z随机折现因子

先修课程准备

z线性代数

z微积分

z实变函数

z概率论

z数理统计

z运筹学